Td correction serie 1 mecanique quantique smp4 corps noir mé

Télécharger PDF

T.D. de Mécanique Quantique - Correction Série N°1

Solution 1: Rayonnement du corps noir

1) L'expression de la loi du rayonnement de Planck

L'expression de la loi du rayonnement de Planck en fonction de la longueur d'onde λ est : u(λ, T) = 8 π h c / (λ⁵ × (e^{h c / (λ k T)} − 1)).

En fonction de la fréquence ν : u(ν, T) = 8 π h ν³ / (c³ × (e^{h ν / (k T)} − 1)).

Remarque sur l'équivalence

L'équivalence u(λ, T) dλ ≡ u(ν, T) dν découle du fait que c = λ ν. Cela implique ν = c / λ et par conséquent dν / dλ = −c / λ². Physiquement parlant, le signe (−) signifie qu'une variation qui tend à accroître λ entraîne une diminution de ν, et inversement.

2) Dérivation de l'équation pour le maximum d'émission

Pour trouver la longueur d'onde λ_m où la densité d'énergie est maximale, on annule la dérivée de u(λ, T) par rapport à λ : d u(λ, T) / dλ = 0. Cette condition mène à l'équation : −5e^x − 1 + x e^x = 0. En réarrangeant, on obtient 5 − x = 5e^−x, où x = h c / (λ k T).

3) Loi de Wien

La loi de Planck décrit la variation de la densité d'énergie d'un corps noir : u(λ, T) = 8 π h c / (λ⁵ × (e^{h c / (λ k T)} − 1)).

D'après les observations expérimentales, u(λ, T) est maximale pour une valeur spécifique λ_m à chaque température T. La condition d u(λ, T) / dλ = 0, comme vu précédemment, donne l'équation 5 − x = 5e^−x, dont la solution approximative est x ≈ 4.965.

Puisque x = h c / (λ_m k T) = 4.965, on peut établir la relation : λ_m.T = h c / (k × 4.965). En utilisant les valeurs numériques des constantes (h ≈ 6.626 × 10⁻³⁴ J.s, c ≈ 3 × 10⁸ m/s, k ≈ 1.38 × 10⁻²³ J/K), on trouve λ_m.T ≈ 2.9 × 10⁻³ SI. Cette relation est connue sous le nom de loi de déplacement de Wien.

4) Calcul de l'énergie totale rayonnée (Loi de Stefan)

L'intégrale I = ∫₀^∞ u(λ, T)dλ représente l'énergie totale, U(T), rayonnée par le corps noir à la température T.

Pour le calcul, on effectue le changement de variable : x = h c / (λ k T). L'intégrale devient : I = (8 π h c / (k T)⁵) × (h c / (k T))³ ∫₀^∞ x³ / (e^x − 1)dx.

Sachant que ∫₀^∞ x³ / (e^x − 1)dx = π⁴ / 15, on obtient I = (8 π (k T)⁴ / (h³ c³)) × (π⁴ / 15). Cette expression peut être simplifiée en I = a T⁴, ce qui correspond à la loi de Stefan-Boltzmann, avec la constante a = 8 π⁵ k⁴ / (15 h³ c³).

Solution 2: Effet Photo-Électrique

Une cellule au Potassium est éclairée par deux radiations monochromatiques : i) une ultraviolette (raie du Hg) de longueur d'onde λ_Hg = 2537 Å (2.537 × 10⁻⁷ m), et ii) l'autre visible (raie jaune du Na) dont λ_Na = 5890 Å (5.890 × 10⁻⁷ m).

1) Énergie maximale des photo-électrons éjectés

L'énergie cinétique maximale des photo-électrons est donnée par E_{c max} = 1/2 m v²_max = e|V₀|. Pour la radiation ultraviolette, E_{c UV max} = 3.14 eV. Pour la radiation visible, E_{c visible max} = 0.36 eV.

2) Calcul de la constante de Planck

L'équation de l'effet photo-électrique est E_{c max} = h (ν − ν_s) = h c (1/λ − 1/λ_s), où ν_s est la fréquence seuil (ou λ_s la longueur d'onde seuil).

Pour les deux radiations, nous avons un système d'équations :

E_{c UV max} = h c (1/λ_Hg − 1/λ_s)
E_{c visible max} = h c (1/λ_Na − 1/λ_s)

En soustrayant la deuxième équation de la première, on obtient : E_{c UV max} − E_{c visible max} = h c (1/λ_Hg − 1/λ_Na).

Ainsi, la constante de Planck peut être calculée comme : h = (E_{c UV max} − E_{c visible max}) / (c × (1/λ_Hg − 1/λ_Na)).

Application numérique : h = ((3.14 − 0.36) × 1.6 × 10⁻¹⁹ J) / (3 × 10⁸ m/s × (1/(2537 × 10⁻¹⁰ m) − 1/(5890 × 10⁻¹⁰ m))) ≈ 6.6 × 10⁻³⁴ J.s.

3) Énergie d'extraction minimale des électrons du potassium

L'énergie d'extraction minimale, notée W_e (ou W_extraction), est l'énergie minimale qu'un photon incident doit avoir pour extraire un électron de la surface du matériau et le laisser sans énergie cinétique. Elle est donnée par W_e = hν_s.

Si l'énergie du photon incident (hν) est supérieure à W_e, l'excès d'énergie est converti en énergie cinétique pour l'électron : E_c = hν − W_e = h c / λ − W_e.

En utilisant la radiation ultraviolette : W_e = h c / λ_Hg − E_{c (UV) max}.

Application numérique : W_e = (6.62 × 10⁻³⁴ J.s × 3 × 10⁸ m/s) / (2537 × 10⁻¹⁰ m × 1.6 × 10⁻¹⁹ J/eV) − 3.14 eV ≈ 1.74 eV. Il est à noter que l'on obtiendrait le même résultat en utilisant les données de la radiation visible.

4) Longueur d'onde maximale produisant l'effet photo-électrique

La longueur d'onde maximale (λ_s), également appelée longueur d'onde seuil, est la longueur d'onde du photon dont l'énergie est juste suffisante pour extraire un électron (E = W_e). Ainsi, W_e = hν_s = h c / λ_s, ce qui donne λ_s = h c / W_e.

Application numérique : λ_s = (6.62 × 10⁻³⁴ J.s × 3 × 10⁸ m/s) / (1.74 eV × 1.6 × 10⁻¹⁹ J/eV) ≈ 7.12 × 10⁻⁷ m = 0.712 µm.

5) Nombre d'électrons reçus par l'anode en une seconde

Le nombre N d'électrons reçus par l'anode en une seconde est déterminé à partir de l'intensité du courant I = Q/Δt, où Q est la charge totale et e est la charge élémentaire d'un électron (Q = N e). Donc, N = I Δt / e.

Application numérique : N = (4 × 10⁻⁶ A × 1 s) / (1.6 × 10⁻¹⁹ C) = 2.5 × 10¹³ électrons.

Solution 3: Effet Compton

I-) Formule relativiste reliant l'énergie, la masse au repos et la quantité de mouvement

Pour une particule de masse au repos m₀ et de quantité de mouvement p, l'énergie relativiste E est liée par la formule : E² − p²c² = m₀²c⁴.

Démonstration : L'énergie relativiste est E = γm₀c² et la quantité de mouvement relativiste est p = γm₀v, où γ = 1/√(1 − v²/c²). En substituant ces expressions, on obtient : E² − p²c² = (γm₀c²)² − (γm₀v)²c² = γ²m₀²c⁴ − γ²m₀²v²c² = γ²m₀²c²(c² − v²). En remplaçant γ² par c²/(c² − v²), on a E² − p²c² = (c²/(c² − v²)) m₀²c²(c² − v²) = m₀²c⁴.

II-) La variation Δλ de la longueur d'onde

1) Conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie

Lors de la diffusion Compton, les lois de conservation s'appliquent. La conservation de la quantité de mouvement s'écrit : &vec;p_γ + &vec;0 = &vec;p'_γ + &vec;p_e− (1), où &vec;p_γ est la quantité de mouvement du photon incident, &vec;p'_γ celle du photon diffusé, et &vec;p_e− celle de l'électron.

La conservation de l'énergie (expressions relativistes) est : p_γc + m₀c² = p'_γc + √(m₀²c⁴ + p_e−²c²) (2).

2) Variation de la longueur d'onde en fonction de l'angle de diffusion θ

De l'équation (1), &vec;p_e− = &vec;p_γ − &vec;p'_γ. En élevant au carré, p_e−² = p_γ² + p'_γ² − 2&vec;p_γ.&vec;p'_γ, ce qui donne p_e−² = p_γ² + p'_γ² − 2p_γp'_γcos θ (?).

De l'équation (2), en isolant le terme de l'électron et en élevant au carré, on trouve p_e−² = (p_γ − p'_γ)² + 2m₀c(p_γ − p'_γ) (??).

En identifiant les expressions (?) et (??), on obtient la relation : p_γp'_γ(1 − cosθ) = m₀c(p_γ − p'_γ).

En utilisant la relation entre quantité de mouvement et longueur d'onde pour un photon (p = h/λ), on déduit la formule de Compton pour la variation de la longueur d'onde Δλ = λ'_γ − λ_γ : Δλ = λ_C(1 − cos θ), où λ_C = h / (m₀c) est la longueur d'onde de Compton, dont la valeur est d'environ 0.024 Å. Une forme alternative de cette formule est Δλ = 2λ_C sin²(θ/2).

3) Énergie cinétique transférée à l'électron après diffusion

L'énergie cinétique acquise par l'électron, E_ec, est égale à la perte d'énergie du photon : E_ec = hν_γ − hν'_γ.

En utilisant la relation pour Δλ, on peut exprimer λ'_γ = λ_γ + λ_C(1 − cos θ). L'énergie du photon diffusé est alors hν'_γ = h c / (λ_γ + λ_C(1 − cos θ)).

L'énergie E_ec est maximale lorsque le terme (1 − cos θ) est maximal, ce qui se produit pour cos θ = −1, soit θ = π (diffusion à 180°). Dans ce cas, E_{ec max} = hν_γ − hν_γ / (1 + 2hν_γ / (m₀c²)).

III-) Application numérique : Électron frappé par un Rayon X

Un électron est frappé par un rayon X d'énergie E_γ = 0.5 MeV et acquiert une énergie de 0.1 MeV.

1) Énergie du photon diffusé

Par la conservation de l'énergie totale (E_initiale = E_finale) : E_γ = E'_γ + E_e−. Donc, 0.5 MeV = E'_γ + 0.1 MeV, ce qui implique E'_γ = 0.4 MeV.

La longueur d'onde du photon diffusé λ'_γ est donnée par λ'_γ = h c / E'_γ. En utilisant la relation h c ≈ 1241.25 eV.Å, on a λ'_γ = (1241.25 eV.Å) / (0.4 × 10⁶ eV) ≈ 31 × 10⁻³ Å.

2) Angle du photon diffusé

Pour calculer l'angle θ du photon diffusé, nous avons besoin de la longueur d'onde du photon incident, λ_γ : λ_γ = h c / E_γ = (1241.25 eV.Å) / (0.5 × 10⁶ eV) ≈ 24.8 × 10⁻³ Å.

D'après la formule de Compton pour Δλ : λ'_γ − λ_γ = λ_C(1 − cos θ).

Application numérique : (31 × 10⁻³ Å) − (24.8 × 10⁻³ Å) = 0.024 Å (1 − cos θ).

Cela donne 6.2 × 10⁻³ Å = 0.024 Å (1 − cos θ). Donc, 1 − cos θ ≈ 0.258, ce qui signifie cos θ ≈ 0.742. Par conséquent, l'angle de diffusion θ est d'environ 42°.

Solution 4: Traitement classique ou quantique

L'action est une grandeur physique ayant les dimensions d'une quantité de mouvement multipliée par une longueur, ou d'une énergie multipliée par un temps. La pertinence d'une description classique ou quantique d'un système est déterminée par la comparaison de l'action typique du système avec la constante de Planck (h ≈ 6.626 × 10⁻³⁴ J.s).

Si l'action du système est du même ordre de grandeur que h (action ≈ h) : le système doit être décrit par la théorie quantique.
Si l'action du système est beaucoup plus grande que h (action >> h) : le système peut être décrit par la théorie classique.

Exemples

1) Atome d'hydrogène

Pour un atome d'hydrogène dont l'énergie d'ionisation est de 13 eV et émettant une radiation de longueur d'onde λ = 100 nm (100 × 10⁻⁹ m).

L'énergie E ≈ 13 eV ≈ 2 × 10⁻¹⁸ J. La fréquence angulaire ω = 2πc/λ ≈ 2 × 10¹⁶ s⁻¹.

L'action est estimée par E/ω = 1.15 × 10⁻³⁴ J.s. Cette valeur est comparable à la constante de Planck h, donc le traitement est quantique.

2) Montre à ressort

Pour une montre à ressort avec des parties mobiles de taille typique d = 0.1 mm (10⁻⁴ m), de masse typique m = 0.1 mg (10⁻⁷ kg), et un temps typique t = 1 s.

L'action A peut être estimée comme m v d. En considérant une vitesse typique v = d/t, l'action A ≈ m (d/t) d = m d² / t.

Application numérique : A = (10⁻⁷ kg) × (10⁻⁴ m)² / (1 s) = 10⁻¹⁵ J.s. Cette valeur est beaucoup plus grande que h, ce qui indique que le traitement est classique.

3) Noyau atomique

Pour un noyau dont l'énergie de liaison est de l'ordre de 8 MeV.

E = 8 MeV. La masse d'un nucléon (par exemple, un proton ou un neutron) est m ≈ 1.6 × 10⁻²⁷ kg. La quantité de mouvement p = √(2mE) ≈ 6 × 10⁻²⁰ kg.m/s. Le rayon typique d'un noyau est r ≈ 10⁻¹⁵ m.

L'action A = p r ≈ 6 × 10⁻³⁵ kg.m²/s (J.s). Cette valeur est comparable à h, ce qui indique que le traitement est quantique.

Solution 5: Diffraction sur un cristal

Des expériences de diffraction ont été réalisées sur un cristal en utilisant divers types de particules.

1) Ordre de grandeur de la longueur d'onde des rayons X pour la diffraction

Un cristal est caractérisé par un arrangement régulier d'atomes ou d'ions disposés sur des plans réticulaires. La distance inter-réticulaire (d) est typiquement d'environ 1 Å (10⁻¹⁰ m).

Pour que le phénomène de diffraction soit observable, la longueur d'onde (λ) des particules utilisées doit être du même ordre de grandeur que la distance inter-réticulaire d. Ainsi, pour les rayons X, λ ≈ 1 Å. Ce principe est à la base de la loi de Bragg : 2d sin θ_n = n λ.

Énergie des photons correspondants

L'énergie E des photons est donnée par E = hν = h c / λ.

Application numérique (pour λ = 10⁻¹⁰ m) : E = (6.62 × 10⁻³⁴ J.s × 3 × 10⁸ m/s) / (10⁻¹⁰ m) = 1.986 × 10⁻¹⁵ J. Pour convertir en électrons-volts : E = (1.986 × 10⁻¹⁵ J) / (1.6 × 10⁻¹⁹ J/eV) ≈ 12.4 KeV.

2) Diffraction avec des neutrons thermiques

La longueur d'onde de De Broglie (λ) associée aux neutrons thermiques est calculée à partir de leur quantité de mouvement.

L'énergie cinétique moyenne d'un neutron thermique est E_c = 3/2 k_B T. D'autre part, E_c = p² / (2m_n), où m_n est la masse du neutron. Ainsi, la quantité de mouvement p = √(3 m_n k_B T).

La longueur d'onde λ = h / p = h / √(3 m_n k_B T).

Application numérique (pour T = 300 K) : λ = (6.62 × 10⁻³⁴ J.s) / √(3 × 1.67 × 10⁻²⁷ kg × 1.38 × 10⁻²³ J/K × 300 K) ≈ 1.45 × 10⁻¹⁰ m = 1.45 Å.

Puisque la longueur d'onde associée aux neutrons (1.45 Å) est du même ordre de grandeur que la distance séparant les atomes du cristal (d ≈ 1 Å), il serait possible d'observer une figure de diffraction.

3) Diffraction avec des électrons accélérés sous une tension U

Calculons la tension U nécessaire pour que la longueur d'onde de De Broglie associée aux électrons accélérés soit de l'ordre de λ ≈ 1 Å (10⁻¹⁰ m).

L'énergie cinétique des électrons accélérés sous une tension U est E_c = e U. De plus, E_c = p² / (2m_e), où m_e est la masse de l'électron. La longueur d'onde de De Broglie est λ = h / p, donc p = h / λ.

En substituant p dans l'expression de E_c : e U = (h / λ)² / (2m_e). On en déduit U = h² / (2m_e e λ²).

Application numérique : U = (6.62 × 10⁻³⁴ J.s)² / (2 × 9.11 × 10⁻³¹ kg × 1.6 × 10⁻¹⁹ C × (10⁻¹⁰ m)²) ≈ 152 Volt.

Solution 6: Atome d'hydrogène

La fonction d'onde décrivant l'état fondamental de l'électron de l'atome d'hydrogène s'écrit, en coordonnées sphériques : ψ(r) = C e^−r/a, où C est une constante réelle et positive, et a est le rayon de Bohr (a ≈ 0.53 × 10⁻¹⁰ m).

1) La constante de normalisation C

La condition de normalisation de la fonction d'onde est ∫∫∫ |ψ(x, t)|²dv = 1. Pour une distribution sphérique, l'élément de volume est dv = 4 π r²dr.

Donc, 1 = 4 π |C|² ∫₀^+∞ r²e^−2r/a dr.

Après évaluation de l'intégrale (qui est une intégrale de type gamma), on trouve que C = 1 / √(π a³).

2) Densité de probabilité de présence de l'électron

La fonction d'onde normalisée pour l'état fondamental de l'hydrogène est : ψ(r) = (1 / √(π a³)) e^−r/a.

La densité de probabilité de trouver l'électron en un point r est donnée par le carré du module de la fonction d'onde : |ψ(r)|² = ψ^∗(r)ψ(r) = (1 / (π a³)) e^−2r/a.

Cette densité de probabilité est maximale pour r = 0, c'est-à-dire au centre de l'atome.

3) Probabilité de trouver l'électron entre r et r + dr

La probabilité dP de trouver l'électron dans une couche sphérique d'épaisseur dr, située à un rayon r, est dP = |ψ(r)|²dv. En remplaçant dv = 4 π r²dr, on obtient : dP = (1 / (π a³)) e^−2r/a (4 π r²dr) = (4/a³) e^−2r/a r²dr.

Pour trouver la valeur de r pour laquelle cette probabilité dP est maximale (le rayon le plus probable, r₀), on dérive dP par rapport à r et on annule la dérivée : d(dP)/dr |_r0 = 0.

Ceci mène à : (4/a³) (2r₀ − 2r₀²/a) e^−2r0/a = 0. Étant donné que e^−2r0/a n'est jamais nul et r₀ ≠ 0, on a 2r₀ − 2r₀²/a = 0, ce qui simplifie à 1 − r₀/a = 0. Donc, r₀ = a.

Ainsi, le rayon le plus probable pour trouver l'électron dans l'état fondamental de l'hydrogène coïncide avec le rayon de Bohr.

Solution 7: Paquet d'ondes gaussien (facultatif)

Une particule libre de masse m, d'impulsion p = ℏk et d'énergie E est décrite par le paquet d'ondes ψ(x, t) à une dimension, donné par la transformée de Fourier : ψ(x, t) = (1 / √(2π)) ∫ g(k)e^i(kx−ωt)dk (1).

1) Relation entre E et k

Pour une particule libre, l'énergie potentielle est considérée comme nulle. La fonction d'onde ψ(x, t) doit satisfaire l'équation de Schrödinger dépendante du temps : iℏ &partial;ψ(x, t)/&partial;t = −ℏ²/(2m) &partial;²ψ(x, t)/&partial;x².

En substituant l'expression de ψ(x, t) et ses dérivées temporelle et spatiale, on déduit la relation de dispersion entre l'énergie E et le nombre d'onde k : E = ℏω = ℏ²k² / (2m).

2) Paquet d'ondes à l'instant initial t = 0

À l'instant initial t = 0, le paquet d'ondes s'écrit : ψ(x, t = 0) = ψ(x) = (1 / √(2π)) ∫ g(k)e^ikxdk (2).

a) Transformée de Fourier de ψ(x)

La transformée de Fourier (TF) de ψ(x) est définie comme f(k) = TF[ψ(x)] = (1 / √(2π)) ∫ ψ(x)e^−ikxdx.

La transformée de Fourier inverse est ψ(x) = TF⁻¹[f(k)] = (1 / √(2π)) ∫ f(k)e^ikxdk.

Par identification avec l'expression (2) de ψ(x), on conclut que g(k) = f(k) = TF[ψ(x)], ce qui signifie que g(k) est la transformée de Fourier de ψ(x).

b) Égalité de Parseval-Plancherel

L'égalité de Parseval-Plancherel pour les fonctions d'onde s'énonce comme suit : ∫_−∞^+∞ |ψ(x)|²dx = ∫_−∞^+∞ |g(k)|²dk.

Remarques :

|ψ(x)|² et |g(k)|² représentent respectivement la densité de probabilité de la particule dans l'espace des positions et dans l'espace des vecteurs d'onde (ou des impulsions, car p = ℏk).
|ψ(x)|²dx est la probabilité de trouver la particule dans l'intervalle de position [x, x + dx].
|g(k)|²dk est la probabilité de trouver le vecteur d'onde de la particule dans l'intervalle [k, k + dk].
∫_−∞^+∞ |ψ(x)|²dx et ∫_−∞^+∞ |g(k)|²dk représentent la probabilité totale de présence de la particule dans les espaces des positions et des impulsions, respectivement. Ces intégrales doivent être égales à 1 pour une fonction d'onde normalisée.

On suppose par la suite que la fonction g(k) est une gaussienne centrée en k₀ : g(k) = (a² / (2π))^1/4 exp(−a²/4 (k − k₀)²), où a est une constante ayant la dimension d'une longueur.

3) Paquet d'ondes à l'instant t = 0

a) Expression de ψ(x, 0)

En remplaçant g(k) par son expression gaussienne dans la relation (2) et en calculant l'intégrale de Fourier, l'expression du paquet d'onde à l'instant t = 0 est : ψ(x, 0) = (√2 / (πa²))^1/4 e^ik₀x e^−x²/a².

b) Position x_M du centre du paquet d'ondes

Le centre x_M du paquet d'ondes correspond au point où la densité de probabilité |ψ(x, 0)|² est maximale. La densité de probabilité est |ψ(x, 0)|² = (√2 / (πa²))^1/2 exp(−2x²/a²).

En dérivant cette expression par rapport à x et en annulant la dérivée (d|ψ(x, 0)|²/dx = 0), on trouve x_M = 0. Ainsi, à t = 0, le centre du paquet d'ondes est situé à l'origine.

c) Probabilité totale de présence

La probabilité de trouver la particule dans tout l'espace est donnée par l'intégrale : ∫_−∞^+∞ |ψ(x, 0)|²dx = (√2 / (πa²))^1/2 ∫_−∞^+∞ exp(−2x²/a²)dx. Cette intégrale est égale à √(πa²/2), ce qui donne un résultat de 1, confirmant la normalisation du paquet d'ondes.

d) Détermination des largeurs Δx(0) et Δk(0)

Définition : La largeur Δy d'une fonction gaussienne de la forme f(y) = exp(−y²/b²) est donnée par Δy = b / √2.

Largeur Δx(0) de |ψ(x, 0)|² : Pour |ψ(x, 0)|² = (√2 / (πa²))^1/2 exp(−2x²/a²), le paramètre b² est a²/2. Donc, Δx(0) = (a/√2) / √2 = a/2.

Largeur Δk(0) de |g(k)|² : Pour |g(k)|² = (a² / (2π))^1/2 exp(−a²/2 (k − k₀)²), le paramètre b² est 2/a². Donc, Δk(0) = (√2/a) / √2 = 1/a.

Relation de Heisenberg : Le produit des largeurs est Δx(0).Δk(0) = (a/2) × (1/a) = 1/2. En multipliant par ℏ, on obtient Δx(0).Δp(0) = ℏ/2. Cette relation est conforme au principe d'incertitude de Heisenberg.

4) Évolution du paquet d'ondes ψ(x, t) dans le temps

À l'instant t > 0, l'expression du paquet d'ondes ψ(x, t) est de la forme (à ne pas démontrer) : ψ(x, t) = (2/πa²)^1/4 e^iφe^ik₀x ( ( − (x − ℏk₀t/m)² ) / (a⁴ + 4ℏ²t²/m²)^1/4 ) exp(a² + 2iℏt/m).

a) La densité de probabilité |ψ(x, t)|² associée à la particule à l'instant t

La densité de probabilité est donnée par : |ψ(x, t)|² = (2/πa²)^1/2 × (1 / (1 + (4ℏ²t² / (m²a⁴))))^1/2 × exp(− (2/a²) (x − ℏk₀t/m)² / (1 + (4ℏ²t² / (m²a⁴)))).

b) Position x_M(t) du centre du paquet d'ondes à l'instant t

Le centre du paquet d'ondes x_M(t) est la position où la densité de probabilité |ψ(x, t)|² est maximale. En annulant la dérivée de |ψ(x, t)|² par rapport à x (&partial;|ψ(x, t)|²/&partial;x = 0), on trouve x_M(t) = ℏk₀t/m.

La vitesse de déplacement du centre du paquet est v = d x_M(t) / dt = ℏk₀/m. Le mouvement du centre du paquet d'ondes est uniforme.

Comparaison avec la vitesse de groupe associée au paquet : Par définition, la vitesse de groupe v_g = dω(k)/dk |_k=k0. Puisque ω(k) = ℏk²/(2m), on a v_g = ℏk₀/m. On constate que la vitesse de groupe associée au paquet d'ondes coïncide avec la vitesse du centre du paquet.

c) Détermination de la largeur Δx(t) et de l'amplitude A(t) de |ψ(x, t)|²

La densité de probabilité |ψ(x, t)|² à l'instant t est une gaussienne de la forme A(t)e^−(X)²/b².

L'amplitude du paquet est A(t) = (2/πa²)^1/2 × (1 / (1 + (4ℏ²t² / (m²a⁴))))^1/2.

La largeur du paquet est Δx(t) = (a/√2) × √(1 + (4ℏ²t² / (m²a⁴))).

Évolution de la forme de la densité de probabilité au cours du temps : Quand le temps t augmente, l'amplitude A(t) diminue, tandis que la largeur Δx(t) augmente. Ce phénomène est connu sous le nom d'étalement du paquet d'ondes.

FAQ - Mécanique Quantique

Qu'est-ce que le rayonnement du corps noir et la loi de Planck ?

Le rayonnement du corps noir est le rayonnement électromagnétique émis par un objet idéal qui absorbe toutes les radiations électromagnétiques incidentes. La loi de Planck décrit la distribution spectrale de l'énergie de ce rayonnement en fonction de la longueur d'onde (ou de la fréquence) et de la température. Elle a introduit la notion de quanta d'énergie, marquant le début de la mécanique quantique.

Comment l'effet photo-électrique a-t-il contribué à la physique quantique ?

L'effet photo-électrique est l'émission d'électrons par un matériau lorsqu'il est exposé à un rayonnement électromagnétique. Les observations de cet effet (comme l'existence d'une fréquence seuil et l'indépendance de l'énergie cinétique des photo-électrons par rapport à l'intensité lumineuse) ne pouvaient pas être expliquées par la physique classique. Albert Einstein a proposé en 1905 que la lumière est composée de paquets d'énergie discrets appelés photons, expliquant ainsi l'effet et renforçant la théorie quantique de Planck.

Quelle est la signification du principe d'incertitude de Heisenberg ?

Le principe d'incertitude de Heisenberg est un concept fondamental de la mécanique quantique qui stipule qu'il est impossible de connaître simultanément avec une précision arbitraire certaines paires de propriétés physiques d'une particule, telles que sa position et sa quantité de mouvement, ou son énergie et le temps. Cela signifie que plus on mesure précisément l'une de ces propriétés, moins on peut connaître l'autre avec précision, révélant une limite fondamentale à la connaissance que l'on peut avoir des systèmes quantiques.