Examen mécanique quantique i smp4 rattrapage agadir 2022 méc

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Examen de Mécanique Quantique I - SMP4

Année Universitaire 2021-2022 - 20 Juin 2022 - Session de Rattrapage

Université Ibn Zohr, Faculté des Sciences d’Agadir, Département de Physique

DURÉE 2H00 - AUCUN DOCUMENT N’EST AUTORISÉ

N.B. : TOUTE RÉPONSE NON DÉMONTRÉE OU NON JUSTIFIÉE NE SERA PAS NOTÉE !

Questions de cours

Rappeler les hypothèses de Bohr utilisées pour expliquer le spectre de l’atome d’hydrogène.
Dans le modèle de Bohr, l’énergie obtenue pour un hydrogénoïde de numéro atomique Z a pour expression : E_n = Z² ⋅ E_I / n² avec E_I = −13.6eV et n = 1,2,3,...
1. Faire application pour l’électron de l’ion lithium Li²⁺ dans son état fondamental et son 1^er état excité.
2. Calculer la longueur d’onde (en Å) mise en jeu entre ces états. On donne : Z(Li)=3 et h⋅c = 12400eV⋅Å
Soit ψ(~r,t) la fonction d’onde décrivant une particule de masse m se déplaçant sous l’action d’un potentiel réel V(~r,t). Donner l’équation de Schrödinger dépendante du temps satisfaite par ψ(~r,t).
Soient X et D_x les opérateurs “multiplication par x” et “dérivation par rapport à x”, respectivement. Calculer le commutateur [X,D_x].
Montrer que si C et D sont deux observables qui commutent et si |φ₁⟩ et |φ₂⟩ sont des kets propres de C associés à deux valeurs propres différentes λ₁ et λ₂, alors l’élément de matrice ⟨φ₁|D|φ₂⟩ est nul.

Problème

On considère un système physique dont l’espace des états à trois dimensions est rapporté à la base orthonormée {|u₁⟩, |u₂⟩, |u₃⟩}, dans laquelle deux opérateurs L_x et L_y sont définis par :

L_x |u₁⟩ = ℏ / √2 |u₂⟩
L_x |u₂⟩ = ℏ / √2 (|u₁⟩ + |u₃⟩)
L_x |u₃⟩ = ℏ / √2 |u₂⟩
L_y |u₁⟩ = iℏ / √2 |u₂⟩
L_y |u₂⟩ = -iℏ / √2 (|u₁⟩ - |u₃⟩)
L_y |u₃⟩ = -iℏ / √2 |u₂⟩

L’hamiltonien H du système est donné par : H = ωℏ(L_x² − L_y²) où ω est une constante réelle positive.

1. Écrire les matrices associées aux opérateurs L_x et L_y dans la base {|u_k⟩} (k=1,2,3).
2. Vérifier que ces opérateurs sont hermitiques.
3. En déduire que l’opérateur H est défini, sur la base {|u_k⟩}, par : H|u₁⟩ = ℏω |u₃⟩ , H|u₂⟩ = 0 , H|u₃⟩ = ℏω |u₁⟩
4. Déterminer les valeurs propres (énergies E_k) et les états propres normés |φ_k⟩ du système (on supprimera tout facteur de phase n’ayant pas de sens physique).

On considère maintenant l’opérateur L_z représenté, dans la base {|u_k⟩}, par la matrice :

(L_z) = ℏ

1	0	0
0	0	0
0	0	-1

Montrer que L_z est une observable.

On suppose qu’à l’instant t = 0, le système est dans l’état |ψ(0)⟩ = |u₁⟩.
1. On mesure à cet instant la grandeur physique L_z représentée par L_z. Quels résultats peut-on trouver et avec quelles probabilités ?
2. On suppose qu’on mesure l’observable L_z². Quelle est la probabilité d’obtenir comme résultat la valeur ℏ² ?
3. Si le résultat est bien ℏ², quel sera l’état du système juste après la mesure ?
1. Donner l’expression de l’opérateur d’évolution U(t,0) dans ce cas.
2. En déduire le ket |ψ(t)⟩ décrivant l’état du système à un instant t ultérieur ? |ψ(t)⟩ et |ψ(0)⟩ décrivent-ils des états physiquement indiscernables ? Justifier votre réponse.
3. Exprimer |ψ(t)⟩ en fonction des kets {|u_k⟩} et calculer, à l’instant t, les probabilités des différents résultats de mesure de L_z. Tracer ces probabilités dans l’intervalle [t = 0, t = π/ω] ; commenter.
4. Calculer, dans l’état |ψ(t)⟩, les valeurs moyennes ⟨L_x⟩_t, ⟨L_y⟩_t et ⟨L_z⟩_t. Quel est le mouvement effectué par le vecteur ⟨L⃗⟩_t ?

Foire aux questions (FAQ)

Qu'est-ce que le modèle de Bohr en mécanique quantique ?

Le modèle de Bohr, bien que dépassé par la mécanique quantique moderne, fut une étape cruciale pour comprendre la structure atomique. Il postule que les électrons orbitent autour du noyau sur des orbites stables et quantifiées, sans émettre de rayonnement. Les transitions entre ces orbites correspondent à l'absorption ou l'émission de photons d'énergie spécifique, expliquant ainsi les spectres discrets des atomes.

Pourquoi un opérateur hermitique est-il important en mécanique quantique ?

En mécanique quantique, les observables (grandeurs physiques mesurables comme l'énergie, la position, l'impulsion) sont représentées par des opérateurs. Pour que ces grandeurs soient réelles (c'est-à-dire que leurs valeurs mesurées soient des nombres réels), les opérateurs correspondants doivent être hermitiques. Cela garantit que les valeurs propres de l'opérateur sont réelles et que les états propres associés à des valeurs propres différentes sont orthogonaux.

Qu'est-ce qu'une observable en mécanique quantique ?

Une observable en mécanique quantique est une grandeur physique dont la mesure peut être effectuée sur un système quantique. Mathématiquement, une observable est représentée par un opérateur linéaire hermitique agissant sur l'espace des états du système. Les résultats possibles d'une mesure d'une observable sont les valeurs propres de l'opérateur correspondant.