Examen traitement du signal estaca 3eme année -Traitement de
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1 - Signaux discrets et causaux
Parmi les signaux suivants, quels sont les signaux de type discret et causal :
- a- X[n]=sin(2.π.ν n/N) avec n∈
- b- X[n]=1/n² avec n∈
- c- X(t)= U(t).sin(2.π.f.t) avec U(t) la fonction de Heaviside et t ∈
- d- X(t)=U(5-t)*sin(t) avec t ∈
- e- Aucune des réponses précédentes ne convient.
2 - Le filtre anti-repliement
Le filtre « anti-repliement » :
- a- est un filtre passe-bas numérique
- b- est un filtre passe-haut analogique
- c- possède une fréquence de coupure inférieure à la moitié de la fréquence d'échantillonnage
- d- doit avoir une fréquence de coupure au moins 2 fois plus grande que la fréquence d'échantillonnage
- e- Aucune des réponses précédentes ne convient.
3 - Signal continu périodique dans le domaine temporel
Un signal continu périodique dans le domaine temporel est…
- a- continu et périodique dans le domaine fréquentiel
- b- discret dans le domaine fréquentiel
- c- réel et pair dans le domaine fréquentiel
- d- imaginaire impair dans le domaine fréquentiel
- e- Aucune des réponses précédentes ne convient.
4 - Transformée de Fourier d'un signal réel
Un signal réel possède une Transformée de Fourier :
- a- à partie réelle paire
- b- à partie réelle impaire
- c- à partie imaginaire paire
- d- à partie imaginaire impaire
- e- Aucune des réponses précédentes ne convient.
5 - Quantum d'une voie d'acquisition
Le quantum d'une voie d'acquisition ±5V codée sur 2 octets est environ de :
- a- 2,5 V
- b- 20 mV
- c- 0,15 mV
- d- 153 µV
- e- Aucune des réponses précédentes ne convient.
Exercice 1 : Échantillonnage d'un signal
Soit le signal s(t) = a₀ + a₁.cos(2.π.f₁.t) + a₂.cos(2.π.3.f₁.t) avec f₁=20 Hz, a₀=1, a₁=2, a₂=1.
Le signal sₙ(t) est le signal s(t) échantillonné avec une fréquence Fₑ=100 Hz pendant une durée τ de 0,2s.
1 - Périodicité du signal s(t)
Le signal s(t) est-il périodique ? Si oui, de quelle période ? Sinon, pourquoi ?
2 - Expression de S(f)
Donner l'expression de S(f) (Transformée de Fourier de s(t)).
S(f) =
3 - Expression de sₙ(t) et Sₙ(f)
Donner l'expression de sₙ(t) et Sₙ(f) (Transformée de Fourier de sₙ(t)).
Sₙ(t) =
Sₙ(f) =
4 - Représentation des modules de S(f) et Sₙ(f)
Représenter sur le même graphe le module de S(f) et de Sₙ(f) entre -Fₑ et Fₑ.
f -Fₑ 0 Fₑ
5 - Artéfacts de la numérisation
Quels sont les principaux artéfacts (différences entre S(f) et Sₙ(f)) introduits par la numérisation de ce signal ?
Exercice 2 : Développement en série de Fourier
Développez en série de Fourier la fonction f de période T = 2π définie par : f(t) = t si t ∈ ]-π , π[.
Représenter cette fonction dans le domaine temporel et dans le domaine fréquentiel.
Exercice 3 : Développement en série de Fourier d'une fonction créneau
Développez en série de Fourier la fonction créneau paire de période T = a définie par : f(t) = 1 si t ∈ ]-a/4 , a/4[.
F(t) = 0 sur les autres domaines de la période.
Représenter cette fonction dans le domaine temporel et dans le domaine fréquentiel.
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'un signal discret et causal ?
Un signal discret est défini uniquement pour des valeurs entières de la variable indépendante (souvent le temps, noté n), contrairement à un signal continu. Un signal causal est un signal dont la valeur est nulle pour toutes les valeurs négatives de la variable indépendante, signifiant qu'il ne commence qu'à partir d'un certain instant.
Pourquoi utilise-t-on un filtre anti-repliement avant l'échantillonnage ?
Le filtre anti-repliement, ou filtre anti-crénelage, est un filtre passe-bas analogique utilisé avant la numérisation (échantillonnage) d'un signal. Son rôle est de supprimer les composantes fréquentielles du signal dont la fréquence est supérieure à la moitié de la fréquence d'échantillonnage (fréquence de Nyquist). Cela permet d'éviter le phénomène de repliement de spectre (aliasing), où des fréquences hautes seraient mal interprétées comme des fréquences plus basses après l'échantillonnage, faussant ainsi le signal numérisé.
Comment la numérisation affecte-t-elle la représentation fréquentielle d'un signal ?
La numérisation d'un signal continu introduit plusieurs modifications dans sa représentation fréquentielle. Premièrement, l'échantillonnage transforme le spectre continu du signal en un spectre périodique. Si la fréquence d'échantillonnage est trop faible par rapport à la bande passante du signal original, un repliement de spectre (aliasing) se produit. Deuxièmement, la quantification (discrétisation de l'amplitude) ajoute un bruit de quantification qui se manifeste dans le domaine fréquentiel. Enfin, la durée finie de l'échantillonnage (fenêtrage) conduit à un étalement spectral.