Examen traitement du signal tds -Traitement de signal - Tél
Télécharger PDFIntroduction au Traitement du Signal : Exercices et Concepts Clés
Ce contenu explore des concepts fondamentaux en Traitement du Signal (TDS) à travers une série de questions et d'exercices. Il couvre des sujets essentiels tels que l'autocorrélation, les transformées de Fourier, la quantification, l'échantillonnage et les séries de Fourier. L'objectif est de renforcer la compréhension des signaux et de leurs représentations dans les domaines temporel et fréquentiel.
Notations Utilisées
*: Produit de convolution.: Multiplication scalaire (ou simple multiplication)δ(t): Impulsion de DiracIII_T(t)ouComb_T(t): Peigne de Dirac (modélisation de l'échantillonnage idéal)Π_τ(t): Signal "porte" d'amplitude 1 et de largeur τ (rectangulaire)
Questions de Cours sur le Traitement du Signal (QCM)
1. Autocorrélation d'un signal porte
Question : Soit le signal porte $x(t) = A \cdot \Pi_T(t)$, centré sur l'origine, d'amplitude A et de durée T. L'autocorrélation de $x(t)$ est :
Réponse : Une fonction triangle. L'autocorrélation d'un signal porte rectangulaire est une fonction triangulaire. Cette fonction est paire (symétrique par rapport à l'axe vertical) et atteint son maximum en $\tau = 0$. Sa valeur maximale est $A^2T$.
2. Spectre d'un signal réel continu périodique
Question : Le spectre d'un signal réel continu périodique, calculé à partir de la Transformée de Fourier généralisée, est :
Réponse : Discret. Un signal périodique dans le domaine temporel se traduit par un spectre discret (une série d'impulsions de Dirac) dans le domaine fréquentiel, indiquant la présence de fréquences harmoniques spécifiques.
3. Quantification linéaire et bruit de quantification
Question : On considère une opération de quantification linéaire centrée sur une plage de 0 à 10V sur 8 bits. L'erreur suit une loi uniforme. Soient $E_{err}$ l'énergie du bruit de quantification et $R_{sb}$ le rapport signal à bruit.
Réponse : Le rapport signal à bruit ($R_{sb}$) augmente d'environ 6 dB lorsque la résolution augmente d'un bit. Pour une quantification linéaire, l'énergie du bruit de quantification est $E_{err} = \Delta^2/12$, où $\Delta$ est le pas de quantification. Pour une plage de 10V et 8 bits, $\Delta = 10 / 2^8 = 10/256$ V. L'énergie du bruit est alors $E_{err} = (10/256)^2 / 12 \approx 127 \cdot 10^{-6}$ V$^2$. La règle des 6 dB par bit est une approximation courante de l'amélioration du $R_{sb}$ en fonction du nombre de bits de résolution.
4. Théorème de Shannon-Nyquist
Question : Pour respecter le théorème de Shannon (échantillonnage) d'un signal $x(t)$ à une fréquence d'échantillonnage $f_e$, il faut :
Réponse : Vérifier que la fréquence maximale du spectre du signal $x(t)$ soit inférieure à la moitié de la fréquence d'échantillonnage ($f_{max} < f_e/2$). C'est la condition de Nyquist essentielle pour éviter le phénomène de repliement de spectre (aliasing), qui déforme le signal échantillonné.
5. Propriétés d'un signal sinusoïdal
Question : Le signal $x(t)=A \cdot \sin(2 \pi f_0 t)$, avec $A>0$ et $f_0 > 0$, possède :
Réponse : Une énergie totale infinie. Les signaux périodiques, comme la sinusoïde, sont des signaux de puissance. Leur énergie totale sur l'axe réel est infinie, car ils existent de façon continue dans le temps, mais ils ont une puissance moyenne finie.
Exercice 1 : Analyse de signaux temps-fréquence
Soient les signaux suivants : $x(t) = e^{-at} \cdot \varepsilon(t)$ avec $a > 0$, $y(t) = \cos(2 \pi f_0 t)$ et $z(t) = y(t) \cdot x(t)$, où $\varepsilon(t)$ est la fonction échelon de Heaviside.
Question 1 : Allure temporelle des signaux
Question : En prenant $a = 1$ et $f_0 = 1$ Hz, tracer l'allure de $x(t)$, $y(t)$ et $z(t)$ sur le même graphique.
Réponse qualitative :
- $x(t) = e^{-t} \cdot \varepsilon(t)$ : une exponentielle décroissante partant de 1 à $t=0$ et s'annulant pour $t<0$.
- $y(t) = \cos(2 \pi t)$ : une fonction cosinusoïdale de période 1 seconde et d'amplitude 1.
- $z(t) = \cos(2 \pi t) \cdot e^{-t} \cdot \varepsilon(t)$ : une cosinusoïde amortie. Son amplitude décroît exponentiellement pour $t>0$ et est nulle pour $t<0$.
Question 2 : Transformée de Fourier du signal $y(t)$
Question : Déterminer $Y(f)$, la transformée de Fourier de $y(t)$, et tracer l'allure de son spectre en module.
Réponse : La transformée de Fourier du cosinus est :
$Y(f) = \mathcal{F}\{\cos(2 \pi f_0 t)\} = \frac{1}{2} [\delta(f - f_0) + \delta(f + f_0)]$
Le spectre en module de $Y(f)$ consiste en deux impulsions de Dirac, chacune d'amplitude $1/2$, situées aux fréquences $f_0$ et $-f_0$.
Question 3 : Transformée de Fourier du signal $z(t)$
Question : Déterminer $Z(f)$, la transformée de Fourier de $z(t)$, et tracer l'allure de son spectre en module en supposant $f_0 \gg a$.
Réponse : Puisque $z(t) = x(t) \cdot y(t)$, sa transformée de Fourier est la convolution des transformées de Fourier de $x(t)$ et $y(t)$ : $Z(f) = (X * Y)(f)$.
La transformée de Fourier de $x(t) = e^{-at} \cdot \varepsilon(t)$ est :
$X(f) = \mathcal{F}\{e^{-at} \cdot \varepsilon(t)\} = \frac{1}{a + j2\pi f}$
En convoluant $X(f)$ avec $Y(f)$ :
$Z(f) = X(f) * \left( \frac{1}{2} [\delta(f - f_0) + \delta(f + f_0)] \right)$
$Z(f) = \frac{1}{2} [X(f - f_0) + X(f + f_0)]$
Soit :
$Z(f) = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{a + j2\pi (f - f_0)} + \frac{1}{a + j2\pi (f + f_0)} \right]$
Le spectre en module de $Z(f)$ est la somme de deux versions décalées du spectre de $X(f)$. Chaque version est centrée autour de $f_0$ et $-f_0$. L'hypothèse $f_0 \gg a$ signifie que ces deux lobes spectraux sont bien séparés et ne se chevauchent pas significativement.
Question 4 : Effets de la numérisation et de l'observation sur le spectre
Question : On numérise le signal $z(t)$ (avec $f_0 = 1$ Hz) pendant $\tau = 1$ s à une fréquence d'échantillonnage $f_e = 10$ Hz. On note $z_{oe}(t)$ le modèle du signal échantillonné pendant $\tau$. Expliquer l'allure du spectre de $z_{oe}(t)$.
Réponse :
- Répétition du spectre : L'échantillonnage idéal d'un signal dans le domaine temporel provoque une répétition périodique de son spectre original dans le domaine fréquentiel, avec une période égale à la fréquence d'échantillonnage $f_e$. Le spectre de $z_{oe}(t)$ montrera donc des copies du spectre de $z(t)$ centrées à $0, \pm f_e, \pm 2f_e, \dots$.
- Convolution par un sinus cardinal : L'observation du signal sur une durée finie $\tau$ (fenêtrage rectangulaire dans le temps) se traduit par une convolution du spectre original avec une fonction sinus cardinal (sinc) dans le domaine fréquentiel. Cette convolution élargit les lobes spectraux de $Z(f)$ et introduit des lobes secondaires, affectant la résolution spectrale.
Question 5 : Transformée de Fourier Discrète (TFD)
Question : On décide de déterminer numériquement le spectre de $z_{oe}(t)$ en calculant $Z_{oe}[k]$, la TFD du signal numérisé. Donner l'expression de $Z_{oe}[k]$ en fonction de $Z_{oe}(f)$, de $\tau$ et de $f_e$. Tracer $Z_{oe}[k]$ sur le graphique précédent.
Réponse : La Transformée de Fourier Discrète (TFD) $Z_{oe}[k]$ est une version échantillonnée du spectre continu du signal échantillonné et fenêtré. Pour un signal échantillonné avec $N = f_e \cdot \tau$ points, la relation est :
$Z_{oe}[k] = Z_{oe}(k \cdot f_e / N)$ pour $k = 0, 1, \dots, N-1$.
Ici, $N = 10 \cdot 1 = 10$ échantillons. Ainsi, $Z_{oe}[k]$ représente les valeurs du spectre continu $Z_{oe}(f)$ évaluées à des fréquences discrètes $k \cdot (10/10) = k$ Hz.
Le tracé impliquerait des bâtons discrets aux positions $k \cdot f_e/N$, dont les amplitudes suivent l'enveloppe du spectre continu théorique $Z_{oe}(f)$.
Exercice 2 : Puissance, Énergie et Séries de Fourier
Soient les signaux suivants : $x(t)$ est un signal porte d'amplitude A et de durée T (centré sur 0). $y(t)$ est une répétition périodique de $x(t)$ avec une période $T_0 = 2T$.
Question 1 : Puissance et énergie des signaux
Question : Déterminer la puissance totale et l'énergie totale des signaux $x(t)$ et $y(t)$.
Réponse :
- Signal $x(t)$ (signal d'énergie) :
- Énergie totale : $E_{tot}(x) = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt = \int_{-T/2}^{T/2} A^2 dt = A^2 T$.
- Puissance totale : $P_{tot}(x) = 0$ (pour un signal d'énergie).
- Signal $y(t)$ (signal de puissance, car périodique) :
- Énergie totale : $E_{tot}(y) = +\infty$ (pour un signal de puissance).
- Puissance totale : $P_{tot}(y) = \frac{1}{T_0} \int_{T_0} |y(t)|^2 dt = \frac{1}{2T} \int_{-T/2}^{T/2} A^2 dt = \frac{1}{2T} (A^2 T) = \frac{A^2}{2}$.
- Note : Le document source mentionne un signal $z(t)$ non défini ici, mais avec $E_{tot}(z) = 2 A^2 T$ et $P_{tot}(z) = 0$. Cela pourrait faire référence à une combinaison de $x(t)$ qui resterait un signal d'énergie.
Question 2 : Transformée de Fourier de $x(t)$
Question : Déterminer $X(f)$, la transformée de Fourier de $x(t)$.
Réponse : Pour un signal porte $x(t) = A \cdot \Pi_T(t)$, la transformée de Fourier est :
$X(f) = A \cdot T \cdot \frac{\sin(\pi f T)}{\pi f T} = A \cdot T \cdot \text{sinc}(f T)$
Note : Dans la convention du Traitement du Signal, $\text{sinc}(x) = \sin(\pi x) / (\pi x)$.
Question 3 : Spectre en module de $x(t)$
Question : Tracer le spectre en module de $x(t)$ avec $A=3$ et $T=2$.
Réponse qualitative : Le spectre en module $|X(f)|$ est une fonction $\text{sinc}$ dont le lobe principal est centré sur $f=0$. Avec $A=3$ et $T=2$, l'amplitude maximale à $f=0$ est $A \cdot T = 3 \cdot 2 = 6$. Les premiers zéros de la fonction $\text{sinc}(fT)$ se trouvent à $f = \pm 1/T$, soit $\pm 1/2$ Hz dans ce cas. Le lobe principal s'étend donc de $-1/2$ Hz à $1/2$ Hz. Des lobes secondaires de plus faible amplitude se répètent des deux côtés.
Question 4 : Transformée de Fourier de $y(t)$
Question : Déterminer $Y(f)$ à partir de $X(f)$.
Réponse : Le signal $y(t)$ est la répétition périodique de $x(t)$ avec une période $T_0 = 2T$. Sa transformée de Fourier est une série d'impulsions de Dirac pondérées par les coefficients de la série de Fourier et espacées par $1/T_0$ :
$Y(f) = \frac{1}{T_0} \sum_{k=-\infty}^{\infty} X\left(\frac{k}{T_0}\right) \delta\left(f - \frac{k}{T_0}\right)$
Avec $T_0 = 2T$, on a :
$Y(f) = \frac{1}{2T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} X\left(\frac{k}{2T}\right) \delta\left(f - \frac{k}{2T}\right)$
En substituant $X(f) = A \cdot T \cdot \text{sinc}(fT)$ :
$Y(f) = \frac{1}{2T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} A \cdot T \cdot \text{sinc}\left(\frac{k}{2T} \cdot T\right) \delta\left(f - \frac{k}{2T}\right)$
$Y(f) = \frac{A}{2} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \text{sinc}\left(\frac{k}{2}\right) \delta\left(f - \frac{k}{2T}\right)$
Question 5 : Développement en série de Fourier de $y(t)$
Question : Développer $y(t)$ en série de Fourier à coefficients complexes. Comparer avec les résultats de la question 4.
Réponse : Le développement en série de Fourier complexe de $y(t)$ est $y(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{j n (2\pi/T_0) t}$. Les coefficients $c_n$ sont donnés par :
$c_n = \frac{1}{T_0} \int_{-T_0/2}^{T_0/2} y(t) e^{-j n (2\pi/T_0) t} dt$
Puisque $y(t)$ est une répétition de $x(t)$ sur une période $T_0 = 2T$, l'intégrale se réduit à celle de $x(t)$ sur sa durée $T$ :
$c_n = \frac{1}{2T} \int_{-T/2}^{T/2} A e^{-j n (\pi/T) t} dt$
Cette intégrale est proportionnelle à la transformée de Fourier de $x(t)$ évaluée à $f = n/(2T)$ (à un facteur près). En résolvant l'intégrale, on obtient :
$c_n = \frac{A}{n\pi} \sin(n\pi/2) = \frac{A}{2} \text{sinc}(n/2)$
Comparaison : La Transformée de Fourier de $y(t)$ est $Y(f) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \delta(f - n/T_0)$. En comparant avec la Question 4, on constate que les coefficients $c_n$ déterminent les amplitudes des impulsions de Dirac dans le spectre de $Y(f)$, et sont directement liés aux échantillons de $X(f)$ à des fréquences discrètes $n/T_0$. Les deux approches sont cohérentes.
Question 6 : Spectre en module de $y(t)$
Question : Tracer le spectre en module de $y(t)$. Faire apparaître l'allure du spectre de $x(t)$ et les valeurs des coefficients du développement en séries.
Réponse qualitative : Le spectre en module de $y(t)$, $|Y(f)|$, est un train d'impulsions de Dirac situées à des fréquences $f = n/(2T)$. L'amplitude de chaque impulsion est donnée par $|c_n| = \frac{A}{2} |\text{sinc}(n/2)|$. Ces amplitudes sont modulées par l'enveloppe du spectre de $x(t)$, $|X(f)| = A \cdot T \cdot |\text{sinc}(fT)|$, qui passe par 0 aux fréquences $f = \pm 1/T, \pm 2/T, \dots$. Ainsi, les impulsions correspondant à $n$ multiples pairs de 2 (par exemple, $n=2, 4, 6, \dots$) seront nulles car $\text{sinc}(n/2)$ sera zéro pour ces valeurs. Les impulsions significatives apparaîtront pour les valeurs impaires de $n$ (ou $n=0$).
Graphiquement, on verrait l'enveloppe en forme de sinc de $X(f)$, et des "bâtons" (Dirac) en dessous, dont la hauteur correspond à $|c_n|$.
Question 7 : Transformée de Fourier de $z(t)$
Question : Déterminer $Z(f)$ et tracer le spectre en module de $z(t)$, où $z(t) = x(t + T) - x(t - T)$.
Réponse : En utilisant la propriété de décalage temporel de la transformée de Fourier ($\mathcal{F}\{x(t-t_0)\} = X(f)e^{-j2\pi f t_0}$) :
$Z(f) = \mathcal{F}\{x(t+T)\} - \mathcal{F}\{x(t-T)\}$
$Z(f) = X(f)e^{j2\pi f T} - X(f)e^{-j2\pi f T}$
$Z(f) = X(f) [e^{j2\pi f T} - e^{-j2\pi f T}]$
Sachant que $e^{j\theta} - e^{-j\theta} = 2j \sin(\theta)$ :
$Z(f) = X(f) \cdot 2j \sin(2\pi f T)$
En substituant $X(f) = A \cdot T \cdot \text{sinc}(fT)$ :
$Z(f) = A \cdot T \cdot \text{sinc}(fT) \cdot 2j \sin(2\pi f T)$
Le spectre en module $|Z(f)|$ est donné par :
$|Z(f)| = |A \cdot T \cdot \text{sinc}(fT) \cdot 2j \sin(2\pi f T)| = A \cdot T \cdot |\text{sinc}(fT)| \cdot |2 \sin(2\pi f T)|$
Réponse qualitative du spectre : Le spectre en module sera le produit de la forme $|\text{sinc}(fT)|$ (enveloppe de $X(f)$) et de la forme $|2 \sin(2\pi f T)|$. La fonction sinus introduit des zéros supplémentaires dans le spectre, là où $\sin(2\pi f T) = 0$, c'est-à-dire à $f = k/(2T)$ pour $k \in \mathbb{Z}$. Cela donne un spectre avec des "trous" ou des annulations périodiques.
Question 8 : Modulation par un signal porte
Question : Soit le signal $s(t) = \cos(2 \pi f_0 t) \cdot x(t)$. Tracer l'allure de $s(t)$. Quel phénomène « physique » est modélisé par la multiplication par $x(t)$ ?
Réponse :
- Allure de $s(t)$ : $s(t)$ est une cosinusoïde d'amplitude $A$ et de fréquence $f_0$, qui est "tronquée" ou fenêtrée par le signal porte $x(t)$. Cela signifie que la cosinusoïde n'existe que pour la durée de $x(t)$, c'est-à-dire de $-T/2$ à $T/2$, et est nulle en dehors de cet intervalle.
- Phénomène modélisé : La multiplication par une fonction porte (ici $x(t)$) modélise l'observation ou la mesure d'un signal sur une durée finie. Dans la pratique, aucun signal ne peut être observé pendant une durée infinie, et cette opération simule l'acquisition d'un segment de signal.
Question 9 : Transformée de Fourier de $s(t)$
Question : Déterminer $S(f)$ et tracer le spectre en module de $s(t)$.
Réponse : Puisque $s(t) = x(t) \cdot \cos(2 \pi f_0 t)$, sa transformée de Fourier est la convolution des transformées de Fourier de $x(t)$ et de $\cos(2 \pi f_0 t)$ :
$S(f) = \mathcal{F}\{x(t)\} * \mathcal{F}\{\cos(2 \pi f_0 t)\}$
$S(f) = X(f) * \frac{1}{2} [\delta(f - f_0) + \delta(f + f_0)]$
$S(f) = \frac{1}{2} [X(f - f_0) + X(f + f_0)]$
En substituant $X(f) = A \cdot T \cdot \text{sinc}(fT)$ :
$S(f) = \frac{A \cdot T}{2} [\text{sinc}((f - f_0)T) + \text{sinc}((f + f_0)T)]$
Réponse qualitative du spectre : Le spectre en module $|S(f)|$ est composé de deux fonctions $\text{sinc}$ décalées, l'une centrée autour de $f_0$ et l'autre autour de $-f_0$. Chaque $\text{sinc}$ a une amplitude maximale de $A \cdot T / 2$ et la même forme que $|X(f)|$. Ce type de spectre est caractéristique d'un signal modulé en amplitude (DSB-LC si $f_0$ est la porteuse).
Question 10 : Échantillonnage d'un signal modulé et fenêtré
Question : On échantillonne $s(t)$ à la fréquence d'échantillonnage $f_e$. On suppose l'échantillonnage idéal. Donner l'allure du spectre du signal échantillonné. Commentez.
Réponse : Le spectre du signal échantillonné idéal est une répétition périodique du spectre original $S(f)$, avec une période égale à la fréquence d'échantillonnage $f_e$.
- Répétition du spectre : Chaque copie du spectre $S(f)$ sera centrée à $0, \pm f_e, \pm 2f_e, \dots$.
- Effets du fenêtrage : Comme $S(f)$ est déjà composé de lobes $\text{sinc}$ (en raison du fenêtrage temporel par $x(t)$), ces lobes se répéteront.
- Repliement de spectre (aliasing) : Si la fréquence d'échantillonnage $f_e$ n'est pas suffisamment élevée (c'est-à-dire si $f_e < 2 \cdot (f_0 + \text{largeur du lobe sinc}))$, les lobes spectraux répétés se chevaucheront. Cela entraînera un repliement de spectre, où les hautes fréquences du signal original apparaîtront comme des basses fréquences, déformant irréversiblement le signal. Il est crucial de choisir $f_e$ appropriée pour éviter ce phénomène.
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce que le théorème de Shannon-Nyquist et pourquoi est-il important ?
Le théorème de Shannon-Nyquist établit la fréquence d'échantillonnage minimale requise pour numériser un signal analogique sans perte d'information. Il stipule que la fréquence d'échantillonnage ($f_e$) doit être au moins le double de la fréquence maximale ($f_{max}$) présente dans le signal analogique ($f_e \ge 2f_{max}$). Il est crucial car il garantit qu'un signal peut être fidèlement reconstruit à partir de ses échantillons, évitant le repliement de spectre (aliasing) qui causerait une distorsion permanente.
Quelle est la différence entre un signal d'énergie et un signal de puissance ?
Un signal d'énergie est un signal dont l'énergie totale est finie ($0 < E < \infty$). Ces signaux sont généralement de courte durée ou s'amortissent au fil du temps. Leur puissance moyenne est nulle. Exemples : une impulsion unique, une exponentielle décroissante. Un signal de puissance est un signal dont la puissance moyenne est finie ($0 < P < \infty$), mais dont l'énergie totale est infinie. Ces signaux sont généralement périodiques ou aléatoires de durée infinie. Exemples : une onde sinusoïdale, un bruit stationnaire.
Comment la transformée de Fourier est-elle utilisée pour analyser un signal périodique ?
Pour un signal périodique, la transformée de Fourier est une série d'impulsions de Dirac situées aux fréquences harmoniques du signal. L'amplitude de chaque impulsion correspond aux coefficients de la série de Fourier du signal. Cela révèle directement les fréquences fondamentales et les harmoniques présentes, ainsi que leur importance relative, permettant une analyse claire de la composition fréquentielle du signal. C'est le lien direct entre la série de Fourier et la transformée de Fourier pour les signaux périodiques.