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Télécharger PDFExamen de Traitement du Signal FIP 1re Année (2016-2017)
Examen de traitement du signal. Feuille A4 recto-verso autorisée. Durée : 1 h 45. Appareils électroniques personnels interdits. Mardi 3 janvier 2017. Les réponses non justifiées ne seront pas prises en compte !
Exercice 1 : Convolution de signaux
Quel est le résultat de la convolution d’un signal x(t) par aδ(t − T) + bδ(t + T), où a et b sont des constantes ?
La convolution est une opération mathématique fondamentale en traitement du signal qui décrit comment la forme d'une fonction est modifiée par une autre. Dans cet exercice, il s'agit de comprendre l'effet de la convolution d'un signal continu avec une somme d'impulsions de Dirac décalées et pondérées. La propriété de translation de l'impulsion de Dirac est essentielle ici.
Exercice 2 : Caractéristiques d'une sinusoïde
1. Donnez l’amplitude, la fréquence et la phase de la sinusoïde x(t) = 3 sin(10π(t − 2)).
2. Représentez cette sinusoïde sur l'intervalle [0,1]. Prenez soin de bien annoter les axes et de préciser les échelles.
Pour cette question, il est essentiel de reconnaître la forme standard d'une sinusoïde A sin(ωt + φ) ou A sin(2πft + φ) pour en extraire les paramètres demandés. La représentation graphique demande une compréhension des valeurs clés (amplitude maximale/minimale, période, passage par zéro).
Exercice 3 : Association signal temporel et spectre fréquentiel
Associez pour chaque signal temporel (identifié par une lettre) le spectre correspondant (identifié par un chiffre). Justifiez chaque association !
Remarques : Les signaux (temporels ou spectres) sont représentés en fonction des échantillons (temporels ou fréquentiels). Seul le module des spectres est représenté. Les transformées de Fourier discrètes sont représentées sur 10 fois plus de points que les signaux temporels. Un zoom sur le centre des spectres est effectué.
Cet exercice met l'accent sur la relation entre un signal dans le domaine temporel et sa représentation dans le domaine fréquentiel via la Transformée de Fourier. Différents types de signaux (impulsions, sinusoïdes, signaux carrés, etc.) ont des spectres caractéristiques. Par exemple, un signal périodique dans le temps aura un spectre discret, tandis qu'une impulsion courte dans le temps aura un spectre étendu.
Exercice 4 : Échantillonnage et repliement spectral
1. Quelle condition sur la fréquence d’échantillonnage doit-on respecter pour éviter le repliement spectral lors de la numérisation d’un signal ?
2. Pour une fréquence d’échantillonnage fe, quelle est la valeur limite de la fréquence de coupure du filtre anti-repliement ? Est-ce une valeur maximale ou minimale ?
Ces questions abordent le théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon, un principe fondamental en traitement numérique du signal. Le repliement spectral (aliasing) est un phénomène indésirable où les hautes fréquences d'un signal sont mal interprétées comme des basses fréquences après échantillonnage. Le filtre anti-repliement est crucial pour éviter cela en limitant la bande passante du signal avant l'échantillonnage.
Exercice 5 : Signal échantillonné et Transformée de Fourier Discrète
Le signal échantillonné x[n] est défini sur {0, ..., N − 1}. Les N/2 premiers échantillons valent 1 ; les autres sont nuls.
1. Sur combien d’échantillons est défini x[n] ?
2. Représentez x[n] pour N = 10.
3. Donnez l’expression mathématique de x[n].
4. Calculez la transformée de Fourier discrète (TFD) de x[n], et exprimez le résultat en fonction du noyau de Dirichlet Da(b).
Le noyau de Dirichlet Da(b) est défini comme (1 + 2a) si b est un multiple de 2π, et comme (sin((a + 1/2)b) / sin(b/2)) dans les autres cas.
Cet exercice explore la représentation et l'analyse fréquentielle d'un signal discret de type "porte" (rectangle). La Transformée de Fourier Discrète (TFD) est l'équivalent numérique de la Transformée de Fourier pour les signaux discrets et finis.
Exercice 6 : Échantillonnage et quantification pour la reconnaissance vocale
Les logiciels de reconnaissance vocale présents dans les smartphones ne font pas le traitement proprement dit : ils transmettent le signal sonore à un serveur qui effectuera la reconnaissance puis renverra la phrase reconnue. Environ 50 ko sont nécessaires pour transmettre un message de 2 secondes.
1. Proposez une valeur de fréquence d’échantillonnage et un nombre de niveaux de quantification nécessaires pour transmettre un tel message.
Cette question relie les concepts théoriques d'échantillonnage et de quantification aux applications réelles de traitement audio. Elle invite à réfléchir sur l'équilibre entre la qualité du signal (déterminée par la fréquence d'échantillonnage et le nombre de niveaux de quantification ou la profondeur de bits) et la quantité de données générées. Pour la voix, une fréquence d'échantillonnage de 8 kHz est courante pour la téléphonie, et une quantification sur 8 ou 16 bits est typique, selon la qualité désirée.
Exercice 7 : Orthogonalité et base de signaux
On considère les deux signaux s1 et s2 dans R10. Ces deux signaux sont orthogonaux.
1. Proposez un signal s3 orthogonal à s1 et s2 (justifiez votre réponse).
2. Proposez un signal s4 orthogonal à s1, s2 et s3 (justifiez votre réponse).
3. Calculez la norme de ces quatre signaux.
4. Calculez la distance de s1 à s2, puis à s3, puis à s4.
5. Combien de signaux sont nécessaires pour construire une base dans R10 ?
Cet exercice est axé sur les concepts d'orthogonalité et de base orthonormée dans un espace vectoriel R10. Deux signaux sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul. Une base est un ensemble de vecteurs linéairement indépendants qui peuvent être utilisés pour représenter n'importe quel autre vecteur de l'espace. Dans un espace de dimension N (ici R10, donc N=10), une base nécessite N vecteurs orthogonaux.
Exercice 8 : Représentation de signaux discrets et convolution
1. Représentez les signaux x[n] et y[n] pour n ∈ {−10, ..., 10} :
x[n] est défini comme (2 − |n|) pour n ∈ {−2, ..., 2}, et 0 sinon.
y[n] est défini comme (−1)n pour n ∈ {−10, ..., 10}, et 0 sinon.
2. Calculez le produit de convolution (x ∗ y)[n].
Cet exercice demande de représenter des signaux discrets définis par des expressions mathématiques, puis de calculer leur convolution. La convolution discrète est une opération essentielle pour l'analyse des systèmes linéaires invariants dans le temps (LTI) et pour comprendre comment un système modifie un signal d'entrée.
Exercice 9 : Modulation et démodulation d'amplitude en quadrature
Deux signaux m1(t) et m2(t) sont modulés en amplitude avec des porteuses de même fréquence fp mais en quadrature de phase : x1(t) = m1(t) cos(2πfpt) et x2(t) = m2(t) sin(2πfpt). Un émetteur radio émet la somme y(t) = x1(t) + x2(t). Le récepteur effectue une démodulation cohérente en multipliant le signal reçu par un cosinus à la fréquence fp : z(t) = y(t) cos(2πfpt), puis en appliquant un filtre passe-bas (supposé idéal).
Par ailleurs, les signaux m1(t) et m2(t) sont à bande limitée : M1(f) = 0 et M2(f) = 0 pour |f| > fp, où M1(f) et M2(f) sont les transformées de Fourier de m1(t) et m2(t).
On rappelle que la transformée de Fourier de cos(2πf0t) est (1/2)[δ(f − f0) + δ(f + f0)] et que celle de sin(2πf0t) est (1/(2j))[δ(f − f0) − δ(f + f0)].
1. Déterminez les transformées de Fourier de x1(t) et x2(t) en fonction de M1(f) et M2(f).
2. En déduire la transformée de Fourier de y(t).
3. Déterminez la transformée de Fourier de z(t).
4. Le filtre passe-bas idéal a une fréquence de coupure égale à fp. Quel est le signal w(t) en sortie du filtre passe-bas ?
Cet exercice traite de la modulation d'amplitude en quadrature (QAM), une technique de modulation efficace pour transmettre deux signaux d'information simultanément sur la même bande de fréquences. La démodulation cohérente utilise une porteuse synchronisée pour récupérer les signaux originaux. La compréhension des propriétés de la Transformée de Fourier, notamment la modulation et la linéarité, est essentielle pour résoudre cet exercice.
Foire aux Questions (FAQ) sur le Traitement du Signal
Qu'est-ce que le repliement spectral (aliasing) ?
Le repliement spectral, ou aliasing, est un phénomène qui se produit lorsque la fréquence d'échantillonnage d'un signal est trop basse par rapport à la fréquence la plus élevée du signal original. Cela entraîne une distorsion où les hautes fréquences du signal sont représentées de manière erronée comme des basses fréquences dans le signal échantillonné, rendant impossible la reconstruction fidèle du signal original. Pour l'éviter, la fréquence d'échantillonnage doit être au moins le double de la fréquence maximale du signal, conformément au théorème de Nyquist-Shannon.
Pourquoi utilise-t-on la Transformée de Fourier en traitement du signal ?
La Transformée de Fourier est un outil mathématique fondamental qui permet de décomposer un signal en ses fréquences constitutives. Elle est utilisée pour analyser le contenu spectral d'un signal, comprendre sa composition fréquentielle, filtrer des composants indésirables, et pour la conception de systèmes de communication et de traitement audio/image. Elle offre une perspective différente (le domaine fréquentiel) pour comprendre et manipuler les signaux, simplifiant souvent l'analyse de systèmes complexes.
Qu'est-ce que la modulation d'amplitude en quadrature (QAM) ?
La modulation d'amplitude en quadrature (QAM) est une technique de modulation qui transmet des données en modifiant à la fois l'amplitude et la phase d'un signal porteur. Elle utilise deux porteuses de même fréquence mais déphasées de 90 degrés (en quadrature), chacune étant modulée par un signal d'information distinct. Cela permet de doubler l'efficacité spectrale par rapport à la modulation d'amplitude simple, en transmettant deux flux d'information simultanément, ce qui est très utile dans les systèmes de communication modernes comme le Wi-Fi ou la télévision numérique.