Td traitement du signal smp s6 -Traitement de signal

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Chapitre 1 : Généralités sur les signaux

Introduction

Le traitement du signal est une discipline indispensable de nos jours. L'objectif est l'élaboration ou l'interprétation des signaux porteurs d'information. Les techniques de traitement du signal se basent sur la théorie du signal, dont le rôle est la description mathématique ou la modélisation des signaux, et sur la théorie de l'information. Les ressources de l'électronique et de l'informatique sont des outils pour l'interprétation et l'extraction d'information.

I. Définition

I.1 Signal

Le signal est la représentation physique d'un phénomène qui évolue dans le temps ou dans l'espace. Ainsi, c'est une représentation physique d'une information issue d'un capteur et envoyée d'une source vers un destinataire, évoluant selon une ou plusieurs variables.

I.2 Bruit

Le bruit est un phénomène perturbateur gênant la transmission ou l'interprétation d'un signal. La notion de bruit est relative, elle dépend du contexte. Exemple : Pour le technicien en télécom, les ondes d'un satellite sont un signal, tandis que les signaux provenant d'une source astrophysique sont un bruit. On définit le rapport signal sur bruit d'un signal comme le rapport des énergies du signal et du bruit. Il s'exprime par le rapport des puissances du signal (P_S) et du bruit (P_B). Il est souvent donné en décibels (dB).

R_dB = 10 log₁₀ (P_S / P_B)

I.3 Système

Le système est un dispositif qui effectue sur un signal d'entrée un ensemble d'opérations de base (filtrage, amplification, modulation, …) et le transforme en un signal de sortie.

I.4 Le traitement du signal

Le traitement du signal est une discipline technique s'appuyant sur les ressources de l'électronique, de l'informatique et de la physique appliquée, dont le but est l'élaboration ou l'interprétation des signaux porteurs d'information. Il peut être schématisé autour de quatre mots clés :

Fonctions :
- Description temporelle et fréquentielle des signaux et des systèmes.
- Analyse des signaux et des systèmes.
- Formalisme mathématique.
- Propriétés des signaux et des systèmes.
Méthodes :
- Analyse spectrale.
- Filtrage.
- Méthodes de conception de filtres.
- Traitement et synthèse de la parole.
- Compression des données, du son et d'image.
- Codage, modulation, etc.
Algorithmes :
- Langages informatiques nécessaires à l'implémentation des filtres.
- Techniques d'optimisation de la programmation.
- C, C++, Assembleur, etc.
- Temps réel, etc.
Calculateurs :
- Microprocesseur.
- Microcontrôleur.
- Circuit logique numérique, DSP.

II. Classification des signaux

Il existe plusieurs modes de classification des signaux, suivant leurs propriétés.

II.1 Classification dimensionnelle

Tension électrique v(t) = signal unidimensionnel.
Image statique niveaux de gris (photo) ⇔ luminance I(x,y) = signal bidimensionnel (mesure radiologique scanner).
Séquence d’images (vidéo) ⇔ I(x,y,t) = signal tridimensionnel.

II.2 Classification phénoménologique

Signaux déterministes : ce sont les signaux dont l'évolution peut être parfaitement prédite par un modèle mathématique approprié (signaux périodiques, signaux apériodiques, signaux transitoires).
Signaux aléatoires : ce sont les signaux dont l'évolution est imprévisible. Ils sont décrits par des descriptions statistiques. Parmi ces signaux, on cite : la parole.

Les sous-signaux déterministes : Un signal temporel est déterministe s'il est défini par une équation mathématique. Ainsi, la connaissance de cette fonction permet de prédire la valeur du signal à tout moment. Parmi les signaux déterministes les plus connus, on peut citer les signaux périodiques tels que :

Signaux périodiques : Un signal déterministe, représenté par sa fonction s(t), est dit périodique de période T si s(t) = s(t+T). Le signal sinusoïdal est le plus représentatif de ces signaux périodiques :
s(t) = A sin(2π t/T + φ) = A sin(ωt+φ) = A sin(θ(t)) = A cos(θ(t)-π/2)
- A : l'amplitude du signal sinusoïdal.
- ω = 2π /T = 2 πf : la pulsation du signal en rad/s.
- θ(t) = ωt+φ : la phase du signal en rad (appelée phase instantanée du signal).
- Soit φ = ωτ la phase à l'origine (ou déphasage) du signal en rad et τ le décalage du signal sinusoïdal par rapport à l'origine.
Les signaux non périodiques : Ce sont les signaux qui ne sont pas périodiques. On distingue deux types : les signaux apériodiques (ou non transitoires) et les signaux transitoires.
- Signal Transitoire (support borné).
- Signal Apériodique (support non borné).

II.3 Classification morphologique

Selon leur nature discrète ou continue :

Signal analogique : c'est un signal à amplitude et temps continu.
Signal numérique : c'est un signal à amplitude et temps discret (voir plus loin).

II.4 Classification énergétique

Pour un signal s(t), l'énergie du signal pour un intervalle de temps [t1,t2] est donnée par :

E_s(t) (t1, t2) = ∫_t1^t2 s²(t) dt

L’énergie totale du signal est :

E = ∫_-∞^+∞ s²(t) dt

Pour un signal s(t), la puissance moyenne du signal est :

P = (1/(t2-t1)) ∫_t1^t2 s²(t) dt

La puissance moyenne totale du signal est :

P = lim_T→∞ (1/T) ∫_-T/2^T/2 s²(t) dt

Signaux à énergie finie : ce sont des signaux tels que leur énergie est bornée et leur puissance moyenne est nulle. Ex : signaux transitoires.
Signaux à puissance moyenne finie : ce sont des signaux tels que leur puissance moyenne est bornée mais non nulle, par contre leur énergie totale est infinie. Exemple : signaux périodiques.

II.5 Classification spectrale

Un signal peut être classé selon sa distribution de son énergie ou de sa puissance en fonction de la fréquence (spectre du signal). La largeur de la bande en fréquence ΔF d’un signal est le domaine principal de fréquences (positives ou négatives) occupé par son spectre. Soit ΔF = F_max - F_min. On distingue donc :

Les signaux de basses fréquences.
Les signaux de hautes fréquences.
Les signaux à bande étroite (avec F_min ≈ F_max).
Les signaux à large bande (avec F_min < F_max).

III. Les signaux particuliers

Afin de simplifier les opérations ainsi que les formules obtenues, certains signaux fréquemment rencontrés en traitement du signal disposent d'une modélisation spécifique.

Fonction signe

La fonction signe, notée sgn(t), est définie par :

sgn(t) = 1 si t > 0
sgn(t) = -1 si t < 0

Par convention, on admet pour valeur à l'origine sgn(t) = 0 pour t = 0.

Fonction échelon

La fonction échelon unité, notée u(t), est définie par :

u(t) = 1 si t ≥ 0
u(t) = 0 si t < 0

Fonction rampe

Cette fonction est définie par :

r(t) = t si t ≥ 0
r(t) = 0 si t < 0

On peut aussi l'écrire : r(t) = t.u(t)

Fonction rectangulaire ou porte

Cette fonction, notée rect(t/T), est définie par :

rect(t/T) = 1 si |t| < T/2
rect(t/T) = 0 si |t| ≥ T/2

Une autre écriture de la fonction est : rect(t) = u(t + T/2) - u(t - T/2).

D'une manière générale, pour une impulsion rectangulaire d'amplitude A, de durée T, centrée en t = τ : s(t) = A.rect((t-τ)/T) = Π_T(t-τ).

Impulsion de Dirac

L'impulsion de Dirac est une fonction porte dont la durée tend vers 0 et l'aire est égale à un. Elle est définie par :

δ(t) = ∞ si t = 0
δ(t) = 0 ailleurs

δ(t) ne peut être représentée graphiquement. On la schématise par le symbole ↑.

On peut encore considérer δ(t) comme la dérivée de la fonction échelon :

δ(t) = du(t)/dt

Propriétés :

Intégrale : ∫_-∞^+∞ δ(t) dt = 1
∫_-∞^+∞ s(t)δ(t - t₀) dt = s(t₀)
∫_-∞^+∞ s(t)δ(t) dt = s(0)
Produit :
s(t).δ(t) = s(0).δ(t)
s(t).δ(t - t₀) = s(t₀).δ(t - t₀)
Identité :
s(t) * δ(t) = s(t) (où * représente le produit de convolution)
s(t - t₁) * δ(t - t₀) = s(t - t₁ - t₀)

Peigne de Dirac

C'est une somme infinie d'impulsions de Dirac régulièrement espacées de T₀ :

comb(t) = ∑_n=-∞^+∞ δ(t - nT₀)

IV. Notion de système

Définition :

Un système est un dispositif qui effectue sur un signal d'entrée un ensemble d'opérations de base (filtrage, amplification, modulation, …) et le transforme en un signal de sortie.

Classe des systèmes :

On se limite aux systèmes ayant une seule entrée et une seule sortie.

Système stable : quelque soit l'entrée du système bornée, la sortie est bornée.
Système linéaire : c'est un système qui satisfait au principe de superposition (addition et homogénéité).
Si x₁(t) donne y₁(t) et x₂(t) donne y₂(t), alors αx₁(t) + βx₂(t) donne αy₁(t) + βy₂(t).
Système invariant : c'est un système dont les caractéristiques sont indépendantes du temps.
Si s(t) donne y(t), alors s(t - t₀) donne y(t - t₀).
Système causal : c'est un système pour lequel si s(t<0) = 0 alors y(t<0) = 0. En d'autres termes, la sortie à l'instant t ne dépend que des valeurs de l'entrée à l'instant t et aux instants antérieurs.
Système instantané ou statique : le signal de sortie y(t=t₀) ne dépend que du signal d'entrée s(t=t₀). Il n'a pas de mémoire.
Système dynamique ou à mémoire : le signal de sortie y(t=t₀) dépend du signal d'entrée s(t<t₀). Il a une mémoire des états passés.

Quelques Définitions :

La théorie du signal est l'ensemble des outils mathématiques qui permet de décrire les signaux et de mettre en évidence les principales caractéristiques d'un signal : énergie ou puissance, spectre d'amplitude, phase, etc.
La théorie des systèmes est la description temporelle et fréquentielle de l'entrée – sortie d'un système.
Le traitement du signal est la discipline technique s'appuyant sur les ressources de l'électronique, de l'informatique et de la physique appliquée. Son objectif est l'élaboration ou l'interprétation des signaux porteurs d'information.

Applications :

Le traitement du signal touche tous les domaines. Parmi les principales applications :

L'émission et la réception des signaux de communication.
L'analyse, la synthèse et la compréhension du signal vocal, des signaux biomédicaux (électrocardiogramme, électroencéphalogramme), des signaux radar, des signaux sous-marins, etc.
L'analyse des images photographiées par satellites ou mesurées en radiologie (scanner, RMN, etc.).

Chapitre 2 : Énergie et puissance

I. Énergie d'un signal

L'énergie d'un signal est une propriété très importante à étudier. Par définition, l'énergie E d'un signal continu s(t) est :

E = ∫_-∞^+∞ s(t)s*(t) dt = ∫_-∞^+∞ |s(t)|² dt

Elle est exprimée en Joules.

Si E est finie, on parle de signal à énergie finie. Les signaux de durée limitée sont à énergie finie. On définit la puissance instantanée par p(t) = s(t).s*(t).

II. Puissance d'un signal

On définit la puissance moyenne d'un signal s(t) pour une durée (t2-t1), si elle existe, par :

P = lim_T→∞ (1/T) ∫_-T/2^T/2 s(t)s*(t) dt

Si cette limite est finie, on parle de signaux à puissance moyenne finie. Dans le cas des signaux périodiques de période T₀, la puissance moyenne du signal correspond à la puissance moyenne sur une période :

P = (1/T₀) ∫_-T0/2^T0/2 s(t)s*(t) dt

Elle est exprimée en watts (Joules par seconde).

Remarque : Un signal d'énergie finie (E < ∞) a une puissance moyenne nulle. Tous les signaux physiques sont à énergie finie, mais on les modélise mathématiquement comme des signaux "éternels" dont on observe une certaine durée.

Signaux nuls : E = 0.
Signaux à énergie finie : E < ∞ et P = 0. Ce sont des signaux de module fini et de support borné.
Signaux à puissance moyenne finie : E = ∞ et P < ∞. Ce sont des signaux périodiques.
Autres signaux : E = ∞ et P = ∞ (exemple : s(t) = t, bruit blanc, Dirac).

III. Énergie d'interaction de deux signaux

On considère deux sources ponctuelles S1 et S2 qui produisent en un même point un signal s1(t) et s2(t). Lorsque ces deux ondes agissent simultanément, l'onde résultante en ce point est s(t) = s1(t) + s2(t). L'énergie est donc :

E = ∫_-∞^+∞ (s₁(t) + s₂(t))(s₁*(t) + s₂*(t)) dt

E = ∫_-∞^+∞ s₁(t)s₁*(t) dt + ∫_-∞^+∞ s₂(t)s₂*(t) dt + ∫_-∞^+∞ s₁(t)s₂*(t) dt + ∫_-∞^+∞ s₂(t)s₁*(t) dt

E = E₁ + E₂ + E₁₂ + E₂₁

On obtient l'énergie de chacune des deux ondes, ainsi que des termes croisés relatifs à l'interaction des deux signaux.

L'énergie d'interaction de deux signaux est :

E₁₂ = ∫_-∞^+∞ s₁(t)s₂*(t) dt, avec |E₁₂|² < E₁E₂.

On définit la puissance instantanée d'interaction de deux signaux s1(t) et s2(t) par : P = s1(t).s2*(t).

IV. Autocorrélation, Intercorrélation

IV.1 L'autocorrélation :

La fonction d'autocorrélation traduit la similitude d'un signal au niveau de la forme en fonction d'un décalage temporel. C'est une mesure de la ressemblance du signal avec lui-même au cours du temps.

L'autocorrélation d'un signal à énergie finie est :

C_ss(τ) = ∫_-∞^+∞ s(t)s*(t - τ) dt

Pour un signal à puissance moyenne finie :

C_ss(τ) = lim_T→∞ (1/T) ∫_-T/2^T/2 s(t)s*(t - τ) dt

Pour un signal périodique :

C_ss(τ) = (1/T₀) ∫_-T0/2^T0/2 s(t)s*(t - τ) dt

Le temps nécessaire pour que l'autocorrélation tende vers 0 est appelé temps de décorrélation.

IV.2 Propriétés de la fonction d'autocorrélation :

C_ss(0) = E_s ≥ 0 : l'autocorrélation est maximum en 0 et correspond à l'énergie du signal.
Dans le cas où s(t) est un signal réel, la fonction d'autocorrélation est paire : C_ss(τ) = C_ss(-τ).
Dans le cas où s(t) est un signal complexe, la fonction d'autocorrélation est à symétrie hermitienne : C_ss(τ) = C*_ss(-τ).

IV.3 La fonction d'intercorrélation :

La fonction d'intercorrélation est une mesure de similitude. Pour les signaux à énergie finie, on définit la fonction d'intercorrélation par :

C_s1s2(τ) = ∫_-∞^+∞ s₁(t)s₂*(t - τ) dt

Pour les signaux à puissance moyenne finie :

C_s1s2(τ) = lim_T→∞ (1/T) ∫_-T/2^T/2 s₁(t)s₂*(t - τ) dt

La fonction d'intercorrélation est maximum pour une valeur de τ lorsque la similitude est la plus grande.

V. Produit de convolution

Le produit de convolution est une opération très importante et fondamentale en analyse des systèmes et traitement des signaux.

Le produit de convolution de deux signaux s1(t) et s2(t) est donné par la relation suivante :

s₁(t) * s₂(t) = ∫_-∞^+∞ s₁(τ)s₂(t - τ) dτ

La sommation sous l'intégrale se fait en fonction de t, ce qui montre que le signal ainsi obtenu est une fonction de t et non pas un nombre, contrairement au cas d'un produit scalaire simple. Le calcul de la convolution consiste donc à calculer la surface du produit s1(τ)s2(t-τ). Le signal s2(t-τ) est simplement le signal initial s2(τ), retourné dans le temps pour donner s2(-τ), puis translaté de t. En calculant alors l'ensemble des surfaces obtenues en faisant « glisser » s2, c'est-à-dire pour tous les décalages de t, on obtient le produit de convolution pour tout t.

Exercice d'application : Calculer le produit de convolution des signaux suivants :

s(t) = e^-atu(t), a > 0

Soit y(t) = s(t) * s(t) = ∫_-∞^+∞ s(τ)s(t - τ) dτ

On distingue 3 cas.

Valeur moyenne

La valeur moyenne (moyenne temporelle) d'un signal s(t) est donnée par :

s_moy = lim_T1→∞ (1/T1) ∫_-T1/2^T1/2 s(t) dt

Avec T1 le temps d'intégration.

Moyenne et puissance d'un signal déterministe périodique :

Par définition, un signal déterministe est un signal connu, c'est-à-dire dont on connaît la fonction. Soit x, la fonction du signal déterministe (ex : x(t) = 1 + sin(2πf₀t)). On définit :

La Moyenne : par l'intégrale de la fonction sur une période (d'où la nécessité d'un signal périodique).

Cas général : Puissance et Énergie d'un signal déterministe non nécessairement périodique :

Soit un signal quelconque U traversant une résistance R. En appliquant la loi d’Ohm, on mesure le courant par i=U/R. La puissance est exprimée en Watt et correspond à l'énergie fournie (Joule) à la résistance sur une durée d’une seconde (1 Watt = 1 Joule/seconde). Remarque : 1 Watt heure = 1 watt pendant une heure = 3600 joules. L'énergie instantanée est le produit du courant et de la tension, soit E(t)=u(t).i(t). Dans le cas de la résistance, l'énergie instantanée E(t) = u²(t)/R. En traitement du signal, quand aucune information n’est donnée sur R, on normalise la résistance à 1 Ohm, donc l'énergie instantanée s'écrit E(t)=u²(t). En général, on calcule l'Énergie sur un laps de temps ΔT = t2 - t1.

LA VALEUR EFFICACE : La valeur efficace, dite aussi valeur RMS (Root Mean Square : racine de la moyenne du carré) d’un signal est la racine carrée de la moyenne de cette grandeur au carré, sur un intervalle de temps donné. La valeur efficace d’un signal s(t) est donnée par la relation suivante :
s_eff = √[(1/(t₂-t₁)) ∫_t1^t2 s²(t) dt]
Avec (t₂-t₁) l’intervalle d’intégration.

Chapitre 3 : Représentation fréquentielle

Introduction

La transformée de Fourier est l'un des outils fondamentaux du traitement du signal. Elle permet d'associer à la « forme d'onde » habituelle, qui représente un signal en fonction de la variable de son évolution (temporelle ou spatiale), une autre représentation complémentaire dans le domaine fréquentiel. L'introduction de la transformée et des séries de Fourier permet de donner une autre représentation des signaux très intéressante pour le traitement de l'information et du signal. Cette décomposition exponentielle ou trigonométrique permet d'exprimer le signal en fonction de ses harmoniques.

I. Rappels mathématiques

Normes et orthogonalité d'une fonction :

On considère la fonction x(t) définie sur C. Elle est supposée de carré intégrable :

∫_-∞^+∞ |x(t)|² dt < +∞

La norme de la fonction x(t), notée ||x(t)||, est définie par la relation suivante :

||x|| = { ∫_-∞^+∞ |x(t)|² dt }^1/2

On considère deux fonctions x(t) et y(t), supposées de carré intégrable. On définit le produit scalaire de x(t) par y(t), noté <x,y>, par la relation suivante :

<x, y> = ∫_-∞^+∞ x(t)y*(t) dt

On dit que x(t) et y(t) sont orthogonales si <x, y> = 0. Les deux fonctions sont dites orthonormales si elles sont orthogonales et de norme unitaire.

II. Série de Fourier

La décomposition en série de Fourier consiste à exprimer un signal périodique comme une combinaison linéaire de signaux sinusoïdaux. Somme de sinus et de cosinus : facile à interpréter. Soit s(t) un signal périodique de période T, quelconque, alors s(t) peut s'écrire de la manière suivante :

s(t) = a₀ + ∑_n=1^∞ (a_n cos(nω_pt) + b_n sin(nω_pt))

Avec :

a₀ = (1/T) ∫_-T/2^T/2 s(t) dt
a_n = (2/T) ∫_-T/2^T/2 s(t) cos(nω_pt) dt
b_n = (2/T) ∫_-T/2^T/2 s(t) sin(nω_pt) dt

Les coefficients a_n et b_n sont appelés les coefficients de la série de Fourier, ω_p = 2πf_p est la pulsation, avec f_p = 1/T.

En appliquant les formules d’Euler, on peut écrire :

cos(x) = (e^jx + e^-jx)/2

sin(x) = (e^jx - e^-jx)/(2j)

En remplaçant les cosinus et les sinus par l'expression précédente, on peut écrire l'équation de la série de Fourier sous forme exponentielle :

s(t) = ∑_n=-∞^+∞ C_n e^jnω_pt

Où les coefficients complexes C_n sont donnés par :

C_n = (1/T) ∫_-T/2^T/2 s(t) e^-jnω_pt dt

Et on a les relations entre les coefficients trigonométriques et exponentiels :

C₀ = a₀
C_n = (a_n - jb_n)/2 pour n > 0
C_-n = C_n* pour n > 0 (ou C_-n = (a_n + jb_n)/2)

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