Exercices corrigés pdf thermodynamique 2

Exercices corrigés pdf thermodynamique 2 -Thermodynamique -

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Travaux Dirigés - Série I

Module: Thermodynamique 2 (Filière SMP-S4, A.U. 2011/2012)

I. Transformation polytropique

Une transformation polytropique réversible se caractérise par : δW = k δQ

1. Montrer que l'équation de la polytropique est : PVⁿ = Cte.
2. Exprimer k en fonction de n et de γ.
3. Sachant qu'on peut écrire : δQ = c dT, exprimer c en fonction de c_v et k, puis de c_v, n et γ.
4. Pour quelles valeurs de c la polytropique est : une isotherme, une adiabatique, une isochore, une isobare ?
5. Calculer le travail W échangé lors d'une transformation polytropique d'une mole d'un gaz parfait qui le fait passer de l'état d'équilibre A(P₁,V₁,T₁) à l'état d'équilibre B(P₂, V₂,T₂). Exprimer W en fonction de k, γ, P₁,V₁, P₂, V₂. Comparer W au travail W_s échangé lors d'une isentropique.

II. Compression d'un gaz parfait

Une mole d'un gaz parfait subit une compression rapide de l'état (P_i,V_i,T_i) à l'état (P_f,V_f,T_f), sous la pression extérieure P_r.

1. Déterminer (V_f/V_i) en fonction de α = (P_f/P_i) et de γ.
2. Vérifier que la variation d'entropie du gaz s'écrit sous la forme : ΔS = c_v F(α) + c_p G(α,γ) où F et G sont deux fonctions à déterminer.
3. Discuter le signe de ΔS(α), est-elle en accord avec le second principe ?

III. Solide en contact thermique avec une source

Un solide de capacité thermique (m c), initialement à T₀, est mis en contact thermique avec une source de chaleur de température T_e, invariable. Exprimer entre l'état initial et l'état final :

1. La variation d'entropie du solide.
2. La création d'entropie. Vérifier son signe pour : T_e = T₀ (1 + ε) avec ε << 1.
3. Quelle conclusion opérationnelle peut-on tirer sur la réversibilité de cette transformation dans le cas où les températures T_e et T₀ sont très différentes ?

IV. Énergie interne et entropie pour un système compressible

En partant de la définition de la température T pour un système compressible, montrer que pour une isochore, l'énergie interne U varie en fonction de T. Vérifier qu'une variation d'énergie interne dU à V = Cte engendre une faible variation d'entropie à haute température, tandis qu'aux basses températures, l'entropie est fortement altérée.

Travaux Dirigés - Série II

Module: Thermodynamique 2 (Filière SMP-S4, A.U. 2011/2012)

I. Compression brusque d'un gaz parfait

Une mole d'un gaz parfait est comprimée de manière brusque sous une pression extérieure P₁ constante de l'état A(P₀,T₀, V₀) à l'état B(P₁,T₁,V₁).

1. En supposant qu'au cours de cette transformation la température du gaz demeure constante, exprimez le travail de compression W en fonction de : R, T₀ et x = P₁/P₀.
2. Calculer la valeur de W pour x = 3, R = 8,314 J·mol^-1·K^-1 et T₀ = 300 K.
3. Le bilan entropique du système s'écrit : ΔS = ΔS_e + S_c où ΔS_e est l'entropie échangée avec le milieu extérieur et S_c est l'entropie créée à l'intérieur du système. Exprimez ΔS_e et S_c en fonction de x et déduisez ΔS et calculez leurs valeurs.

II. Fil en caoutchouc

Les variables d'état d'un fil en caoutchouc sont sa longueur L, sa température T et la force de tension F à laquelle il est soumis. L'équation d'état du fil s'écrit : F(T,L) = F₀ + ρ (L-L₀) + σ (T-T₀) où F₀, L₀ et T₀ sont des valeurs relatives à un état de référence fixé, ρ et σ sont des constantes positives. Le travail relatif à un allongement infinitésimal dL est : δW = F dL, tandis que la différentielle de la chaleur échangée est : δQ = C dT + A dL où A est une fonction de T et L et C = C(T).

1. Indiquez les variables intensives et extensives du système.
2. Exprimez A en fonction de T et σ.
3. Vérifiez que C est indépendante de L.
4. Évaluez la variation d'entropie ΔS du fil lors de son passage de l'état (T₀,L₀) à l'état (T,L).

III. Gaz réel

L'équation d'état d'une mole d'un gaz réel est donnée par : PV = RT + B(T) P Avec : B(T) = b - a/(RT) où : a, b et R sont des constantes.

1. Calculez pour ce gaz, la température d'inversion de l'effet Joule-Thomson T_i.
2. Déterminez le signe de la variation de température dT lors d'une détente de Joule-Thomson qui fait passer le gaz de l'état A(P,T) à l'état B(P + dP, T + dT) pour les cas suivants : T < T_i et T > T_i. On donne : h = -T (∂V/∂T)_P.

IV. Éther éthylique

L'équation d'état de l'éther éthylique est donnée par : V = V₀ (1 + αT + χ_TP)

1. Exprimez h en fonction de T, V₀ et α.
2. Calculez : ΔP = P₁ - P₀ si l'éther subit une compression adiabatique de l'état (T₀ = 273 K, P₀ = 10⁵ Pa) à l'état (T₁ = 274 K, V₁, P₁).
3. Déterminez la variation de volume : ΔV = V₁ - V₀. On donne : C_p = 2,22·10³ J·K^-1, α = 1,5·10^-3 K^-1, χ_T = -1,9·10^-9 Pa^-1, V₀ = 714 m³.

Travaux Dirigés - Série III

Module: Thermodynamique 2 (Filière SMP-S4, A.U. 2011/2012)

I. Détente isotherme d'un gaz

Au cours de la détente quasi-statique isotherme d'une mole de gaz maintenue à la température T par un thermostat, le gaz fournit un travail (-W = W_op > 0) à un opérateur extérieur. Si les volumes, initial V_i et final V_f sont donnés, il est possible de définir ce travail isotherme comme une fonction W_op(T) de la température entre deux isochores (V_i et V_f). On se propose d'en étudier la loi de variation.

1. Exprimer W_op en fonction des valeurs de l'énergie libre F_i et F_f aux états initial et final. En déduire une expression de [T (dW_op/dT)] en fonction de W_op et de la variation ΔU de l'énergie interne du gaz (cette relation est nommée « isochore de Van 't Hoff »).
2. Calculer W_op dans le cas du gaz parfait. En déduire l'isochore de Van 't Hoff pour le gaz parfait et montrer qu'elle impose à ce gaz la vérification de la première loi de Joule.
3. D'où provient l'énergie fournie à l'opérateur ?
4. Calculer W_op dans le cas du gaz de Van der Waals d'équation : (P + 3)(V - b) = RT.
5. Écrire l'isochore de Van 't Hoff pour le gaz de Van der Waals à la température T. Que peut-on conclure sur la variation de l'énergie interne du gaz de Van der Waals lors de la détente isotherme ?
6. Montrer que, dans le cas des basses pressions (lorsque le covolume molaire b devient petit devant V et que l'on peut faire un développement limité au premier ordre en (b/V)), il existe une température d'inversion T_i pour laquelle le travail isotherme du gaz parfait et le travail isotherme du gaz de Van der Waals sont identiques.

II. Potentiel thermodynamique G* et travail utile maximum

On se propose de montrer comment tirer parti du potentiel thermodynamique G* pour prévoir quelle quantité maximum de travail un utilisateur peut extraire à partir d'un système thermodynamique donné. Ainsi, on considère un système thermodynamique constitué de n moles de gaz parfait en équilibre interne à la température T₁ et sous la pression P₁. On admet que ce gaz a une capacité calorifique à volume constant C_V = nR/(γ-1) indépendante de la température T, ce qui veut dire que γ est une constante. Ce système peut interagir avec l'environnement extérieur de pression P_e et de température T₀ fixes (pression et température de l'atmosphère environnante). Dans les échanges de travail avec l'extérieur, on distinguera le travail des forces de pression W_p qui est un échange de travail entre le système et son environnement qui est inévitable dès que le système change de volume et le complément, qui est le travail utile W_u (travail autre que celui des forces de pression). Avec la convention de signe habituelle, W_p et W_u sont les travaux reçus par le système. Le travail récupéré par l'utilisateur sera donc -W_u.

1. Quel est le travail utile maximum, -W_u,max, qu'un utilisateur peut extraire de ce système en interaction avec son environnement ?
2. Montrer que -W_u,max peut s'écrire : C_V [ΔT - T₀ ln(T₁/T₀)] + P_e [ΔV - V_i ln(V_f/V_i)].

   Avec : ΔT = T₁ - T₀, V_f volume final du gaz (noté V₀ dans le texte original), V_i volume initial du gaz, et ΔV = V_f - V_i.

3. Montrer que -W_u,max est toujours positif.
4. Donner une expression simplifiée de -W_u,max pour ΔT et ΔV très petits.

Travaux Dirigés - Série IV

Module: Thermodynamique 2 (Filière SMP-S4, A.U. 2011/2012)

I. Cycle de Stirling

Une machine utilisant comme fluide l'air assimilé à un gaz parfait diatomique [C_V = (5/2)R et R = 8,314 J·mol^-1·K^-1], fonctionne réversiblement selon le cycle de Stirling composé d'une compression isotherme 1-2, suivie d'un échauffement isochore 2-3 puis d'une détente isotherme 3-4 et d'un refroidissement isochore 4-1.

À l'état initial (1), la pression est P₁ = 10⁵ Pa et la température est T₁ = 300 K. À l'état 3, la pression est P₃ = 4·10⁵ Pa et la température est T₃ = 600 K.

1. Calculer les quantités de chaleur : Q₁₂, Q₂₃, Q₃₄ et Q₄₁ échangées par une mole de gaz au cours d'un cycle.
2. Calculer les travaux W₁₂ et W₃₄ échangés par une mole de gaz au cours du cycle et déduire le travail total W.
3. Déterminer l'efficacité thermodynamique η du cycle de Stirling. Comparer cette efficacité à celle que l'on obtiendrait si la machine fonctionnait selon le cycle de Carnot entre les mêmes sources aux températures T₁ et T₃. Expliquer la différence.
4. Comparer Q₂₃ et Q₄₁. En déduire un procédé original permettant d'obtenir l'efficacité maximale du cycle de Carnot.

II. Turbine à gaz (TAG) à combustion externe

On se propose d'étudier le fonctionnement et les performances d'une turbine à gaz (TAG) à combustion externe (machine thermique) dans laquelle un gaz que l'on supposera parfait décrit en circuit fermé composé des transformations réversibles suivantes :

• Le gaz initialement dans l'état (P₁,T₁) traverse un compresseur dans lequel il subit une évolution adiabatique jusqu'à l'état 2 (P₂,T₂) ;
• Il est réchauffé de manière isobare, dans une chaudière jusqu'à la température T₃, pour atteindre l'état 3 (P₂,T₃) ;
• Le gaz subit ensuite dans la turbine une détente adiabatique jusqu'à la pression P₁ pour se trouver à l'état 4 (P₁,T₄) ;
• Il subit un refroidissement à la pression P₁, jusqu'à la température T₁ pour retrouver l'état 1.

1. Tracer en diagramme (P,V) et (T,S) le cycle théorique de cette machine.
2. Déterminer en fonction de P₁, P₂, T₁ et T₃ les volumes : V₁, V₂, V₃ et V₄ d'une mole de gaz ainsi que les températures T₂ et T₄.
3. Préciser les quantités de chaleur Q_ch et Q_fr échangées par une mole de gaz avec les sources chaude et froide, ainsi que le travail global W de cette mole au cours du cycle.
4. Exprimer uniquement en fonction du rapport de compression : r = P₂/P₁ l'efficacité théorique η de cette machine.
5. Le rapport r = 4 étant imposé par les limites de résistance de l'installation, avec lequel des trois gaz suivants la machine aurait la meilleure efficacité ? Argon γ = 1,667 ; Air γ = 1,40 ; Dioxyde de Carbone γ = 1,31.
6. Préciser alors pour le gaz ainsi choisi et pour les valeurs : P₁ = 10⁵ Pa, T₁ = 300 K et T₃ = 900 K, les valeurs de η, V₁, V₂, V₃, V₄, T₂, T₄ et W.
7. Déterminer le rendement ρ de cette machine.

Travaux Dirigés - Série V

Module: Thermodynamique 2 (Filière SMP-S4, A.U. 2011/2012)

I. Climatisation d'un local et machine frigorifique à hélium

Un local de spectacle public de volume V = 300 m³, doit être maintenu à T₁ = 20°C. On admet que l'air extérieur est à T₂ = 40°C et que la pression est constante P = 10⁵ Pa. L'air du local est totalement renouvelé en une heure (le taux de renouvellement d'air est égal à 1).

1. Calculer la masse d'air qui doit pénétrer en une heure dans le local. On supposera que l'air est un gaz parfait. [M = 29 g/mol ; R = 8,32 J·mol^-1·K^-1 ; c_p = 1000 J·kg^-1·K^-1]
2. Calculer l'énergie thermique Q perdue par cette masse d'air pour passer de T₂ à T₁. Déduire la puissance thermique P_th correspondante.
3. On constate qu'en absence de climatisation et de ventilation, la température du local passe à 21 °C en Δt = 10 minutes. Donner l'ordre de grandeur de la puissance des fuites thermiques P_fuite.
4. Quelle doit-être la puissance thermique extraite par le système de climatisation ? Par la suite, on prendra cette puissance égale à P_th = 3 kW.

On envisage d'installer une machine frigorifique utilisant 1 kg d'hélium (gaz parfait, M_He = 4 g/mol et γ = c_p/c_v = 5/3) qui décrit le cycle suivant :

• Une compression adiabatique réversible qui l'amène de A(T₁ = 293 K,P₁) à B(T₃,P₂ = 3 bar)
• Un échange thermique fluide/source chaude [Q₂] qui amène le fluide au point E(T₂ = 313 K,P₂)
• Une détente adiabatique réversible qui l'amène en F(T₄,P₁ = 2 bar).
• Un échange thermique fluide/source froide [Q₁] qui ramène le fluide à A(T₁,P₁).

5. Calculer la capacité thermique massique à pression constante de l'hélium c_p et les températures T₃ et T₄.
6. Calculer les volumes V_A, V_B, V_E et V_F.
7. Tracer l'allure du cycle en coordonnées (P,V). On fera apparaître les isothermes T₁ et T₂. Préciser le sens de parcours du cycle.
8. Calculer les énergies thermiques Q₁ et Q₂. En déduire W reçu par l'hélium lors de la compression.
9. Définir et calculer le coefficient de performance de l'installation (le COP).
10. Calculer la masse d'hélium qui doit, par seconde (le débit massique ṁ_He), décrire le cycle afin d'obtenir la puissance nécessaire au refroidissement du local, soit 3 kW.
11. Calculer la puissance minimale du moteur qui actionne le compresseur.

II. Pile hydroélectrique

Considérons une pile hydroélectrique de f.e.m. E et dont le volume reste constant durant son fonctionnement. L'état de la pile est caractérisé par sa température T et par la quantité d'électricité q que la pile débite dans un circuit extérieur. On suppose E indépendante de q. Pour les variables d'état (T,q), l'énergie électrique infinitésimale échangée entre la pile et le milieu extérieur est δW = -E dq et l'énergie thermique est δQ = c dT + a dq où c est la capacité thermique massique de la pile et a un coefficient relatif à un échange de chaleur pendant une variation de la charge dq de la pile à température constante.

1. Par application des principes, calculer a.
2. Donner les expressions de dU et dS en prenant T et q pour variables indépendantes du système. Que deviennent ces relations pour une isotherme ?
3. Montrer que la variation de l'énergie interne ΔU peut être exprimée en fonction de celle de l'énergie libre ΔF au cours d'une transformation isotherme. De quelle relation s'agit-il ?
4. Calculer la variation d'énergie libre ΔF de la pile au cours de son fonctionnement isotherme.

Travaux Dirigés - Série VI

Module: Thermodynamique 2 (Filière SMP-S4, A.U. 2011/2012)

I. Mélange eau-glace

On considère 600 g d'eau à T₁ = 60 °C que l'on mélange à 500 g de glace à T₂ = -14 °C. Si, à l'état final d'équilibre, on a un mélange d'eau liquide (l) et de glace (s), déterminer les masses finales respectives de chaque phase. On donne : c_eau = 4,184 J·g^-1·K^-1, c_glace = 2,092 J·g^-1·K^-1 et L_f = 334,72 J·g^-1.

II. Évaporation d'eau dans une bouteille fermée

Le quart d'une bouteille fermée de volume V₀ est rempli d'eau chauffée à T₁ = 300 K. On suppose que l'air enfermé avec l'eau dans la bouteille est parfaitement sec à l'instant initial et que la bouteille est adiabatique. La pression de vapeur saturante de l'eau (P_s = 7·10³ Pa) est supposée constante dans l'intervalle de température étudié et la chaleur massique de vaporisation de l'eau est : L_v = 3·10⁶ J·kg^-1. On donne pour l'eau liquide : c_eau = 4,2·10³ J·kg^-1·K^-1 ; ρ_eau = 10³ kg·m^-3 et M = 18 g/mole.

1. Qualitativement, que va-t-il se passer dans la bouteille ? Que peut-on prévoir quant à la température d'équilibre final du système ? À 300 K, très peu de liquide s'évapore, ainsi le volume du liquide peut être considéré comme constant.
2. On considèrera dans ce problème comme négligeables les capacités thermiques massiques de l'eau vapeur et de l'air vis-à-vis de celle de l'eau liquide c_eau. On admettra aussi que la transformation a lieu approximativement à P et V constants. On appelle T_eq la température à l'équilibre. Exprimer en fonction de V₀, R, T_eq, P_s et M la masse d'eau qui a été vaporisée m_e, à l'équilibre.
3. À l'aide d'un bilan énergétique et en négligeant tout transfert thermique avec l'extérieur, en déduire l'expression donnant : ΔT = T_eq - T₁, pour l'évaluer numériquement en supposant que : (T_eq - T₁) << T_eq.

III. Équilibres de phase de l'eau au voisinage du point triple

On se propose d'étudier les équilibres entre les phases solide, liquide et gazeuse de l'eau au voisinage du point triple qui correspond à une température T₀ = 0,01 °C.

1. Donner l'équation de l'isotherme relative à 1 g d'eau pour la température de 0 °C, en admettant que la vapeur d'eau peut être assimilée à un gaz parfait, et sachant que la pression de vapeur saturante de la glace est de 4,6 mm Hg, à 0 °C. On exprimera les volumes en cm³ et les pressions en mm Hg.
2. On admet que la courbe de sublimation et la courbe de fusion peuvent être assimilées à des droites entre 0 °C et la température du point triple. Sachant que la chaleur de sublimation de la glace à 0 °C est égale à 684 cal/g, calculer la pression du point triple.
3. Calculer la chaleur de fusion de la glace à la température de 0 °C. On donne : v_l = 1 cm³·g^-1, v_s = 1,09 cm³·g^-1 et V_molaire (vapeur d'eau) = 22,4 litres.

IV. Compression et liquéfaction de vapeur d'eau

Une mole d'eau (M = 18 g) à l'état de vapeur est enfermée dans un cylindre muni d'un piston. Les parois du cylindre sont supposées perméables à la chaleur et placées dans un bain de température T réglable. On considèrera la vapeur, même à l'état de vapeur saturante, comme un gaz parfait.

1. La vapeur est comprimée, à T₀ = 300 K de manière réversible, du volume V₀ = 3 m³ au volume V₁ = 0,63 m³. De ce fait, elle se trouve partiellement liquéfiée, la pression étant P₁ = 1300 Pa.
   1. Calculer le volume V_s où apparaît la première goutte de liquide (volume de saturation).
   2. Quel est le travail échangé pendant cette compression ?
   3. Le volume massique de l'eau liquide étant v_l = 1 cm³·g^-1, calculer la fraction de mole de vapeur d'eau à l'état (P₁, V₁).
2. Le volume étant fixé à V₁, on élève la température de T₁ à T₂. Sachant que la chaleur latente de vaporisation de l'eau varie avec la température selon la loi empirique : L = aT + b où : a = -248,66 J·mol^-1·K^-1 et b = 56587 J·mol^-1.
   1. Montrer que, si l'on néglige le volume molaire de l'eau liquide devant celui de la vapeur saturante, la pression de vapeur saturante est liée à T par une relation de la forme : ln(P) = A - B/T + C ln(T).
   2. Trouver une relation donnant la température T₂ à laquelle la phase liquide disparaît (on calculera une valeur approchée de T₂ en posant : T₂ = T₀ + δT et en considérant que : δT << T₀).

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce qu'une transformation polytropique ?

Une transformation polytropique est un processus thermodynamique qui suit la relation PVⁿ = constante, où P est la pression, V le volume et n est l'indice polytropique. C'est une généralisation des transformations isobares (n=0), isothermes (n=1), isochores (n=∞) et adiabatiques (n=γ).

Quel est le second principe de la thermodynamique ?

Le second principe de la thermodynamique stipule que l'entropie totale d'un système isolé ne peut qu'augmenter au cours du temps, ou rester constante pour une transformation réversible. Il introduit la notion d'irréversibilité des processus naturels et la direction spontanée des transformations.

Qu'est-ce que l'effet Joule-Thomson ?

L'effet Joule-Thomson décrit le changement de température d'un gaz lorsqu'il subit une détente à travers une soupape ou un orifice poreux, sans échange de chaleur avec l'extérieur (isenthalpique). Cet effet est utilisé dans les systèmes de réfrigération et de liquéfaction des gaz.

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