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Télécharger PDFCorrection des Travaux Dirigés de Thermodynamique II
Prof. : H. Chaib
Filière : TEER, Semestre : 2, Année : 2013/2014, Série : 03
Exercice 1
1. Application de l'équation d'état des gaz parfaits
Selon l'équation d'état des gaz parfaits, on peut écrire : V₁ = nRT₁/p₁ avec n = m/M (1). Et on a : h₁ = V₁/S* (2).
A.N. : n = 0,25 mol et h₁ = 0,624 m.
2. Premier principe de la thermodynamique et variation d'entropie
Selon le premier principe de la thermodynamique, on peut écrire : dU = CᵥdT = δW + δQ (3) soit : δQ = CᵥdT − δW = CᵥdT + pdV (4). Or pour un gaz parfait Cᵥ = nR/(γ−1), alors : δQ = nR/(γ − 1) dT + nRT/V dV (5). D'où : dSₑ = δQ/T = nR/(γ − 1) (dT/T) + nR (dV/V) (6).
3. Calcul de la pression et de la hauteur finale
On a : p₂ = p₀ + F/S* (7) soit : p₂ = p₁ + F/S* (8) alors : τ = p₂/p₁ = 1 + F/(S*p₁) (9).
Conditions isothermes et variation de volume
Les parois sont perméables à la chaleur, donc T₂ = T₀ = T₁. Par conséquent : V₂ = nRT₂/p₂ = nRT₁/p₂ = p₁V₁/p₂ = V₁/τ (10). Or V₂ = h₂S* et V₁ = h₁S*, alors d'après la dernière équation on obtient : h₂ = h₁/τ (11).
A.N. : τ = 2 et h₂ = 0,312 m.
4. Calcul du travail à pression constante
Cette transformation se fait à pression constante, alors : δW = −pdV = −p₂dV (12) soit : W = −p₂ ∫ᵥ₁ᵥ₂ dV (13). D'où : W = −p₂(V₂ − V₁) (14). W = −p₂S*(h₂ − h₁) = −τp₁S*(h₂ − h₁) (15).
A.N. : W = 623,55 J.
5. Variation d'entropie du système à température constante
Selon la question 2, on a : dSₑ = nR/(γ − 1) (dT/T) + nR (dV/V) (16) alors : ΔSₑ = nR/(γ − 1) ln(T₂/T₁) + nR ln(V₂/V₁) (17). Or T₂ = T₁, alors : ΔSₑ = nR ln(V₂/V₁) (18). D'où : ΔSₑ = nR ln(h₂/h₁) (19).
A.N. : ΔSₑ = −1,441 J K⁻¹.
6. Bilan énergétique et entropique global
La température finale du système est identique à sa température initiale (T₂ = T₁), alors on a : ΔU = W + Q = CᵥΔT = 0 (20) ce qui implique : Q = −W (21). Cependant, la chaleur échangée par le milieu extérieur est : Q₀ = −Q = W (22). D'où la variation d'entropie du milieu extérieur est : ΔS₀ = Q₀/T₀ = W/T₀ (23).
A.N. : ΔS₀ = 2,079 J K⁻¹.
7. Entropie globale et critère de réversibilité
La variation d'entropie ΔSg de l'ensemble constitué du gaz et du milieu extérieur s'écrit : ΔSg = ΔSₑ + ΔS₀ (24).
A.N. : ΔSg = 0,638 J K⁻¹.
Cette quantité représente l'entropie créée au cours de la transformation ou aussi l'entropie globale. Il est important de noter que l'entropie créée est nulle pour une transformation réversible et strictement positive pour une transformation irréversible, servant ainsi de critère pour la nature de la transformation.
Exercice 2
1. Caractérisation d'une transformation adiabatique
Pour une transformation adiabatique réversible, la variation d'entropie est nulle (c'est-à-dire ΔS = 0) et, par conséquent, l'entropie reste constante. Ainsi, la transformation étudiée n'est pas réversible, car elle s'accompagne d'une augmentation d'entropie S (informations fournies, par exemple, dans un tableau).
2. Travail d'une détente adiabatique
La détente est adiabatique, ce qui signifie que la chaleur échangée Q = 0. Par conséquent, d'après le premier principe : W = ΔU = U₂ − U₁ (25).
A.N. : W = −10,69 kJ.
3. Calcul du coefficient polytropique
La transformation est considérée comme polytrope de coefficient η, alors : p₁V₁η = p₂V₂η (26) ce qui implique : p₁/p₂ = (V₂/V₁)η (27). D'où : η = ln(p₁/p₂)/ln(V₂/V₁) (28).
A.N. : η = 1,238.
4. Détermination du travail pour une transformation polytropique
Pour une transformation polytrope, on a : δW₀ = −pdV = −p₁V₁η/Vη dV (29) soit : W₀ = −p₁V₁η ∫ᵥ₁ᵥ₂ V−η dV (30). D'où : W₀ = −p₁V₁η / (1 − η) (V₂(1−η) − V₁(1−η)) (31).
A.N. : W₀ = −13,275 kJ.
5. Évaluation de l'efficacité du modèle polytrope
On remarque que le modèle polytrope utilisé donne une description du travail avec une erreur relative (W₀−W)/W de 24,18%. Cela signifie que ce modèle n'est pas suffisamment efficace pour décrire précisément la détente en question.
6. Analyse d'une nouvelle transformation linéaire sur diagramme (T,S)
La nouvelle transformation est représentée sur le diagramme (T,S) par une évolution linéaire. Elle est donc régie par une équation de la forme : T = αS + β (32).
Calcul de la chaleur et du travail pour une transformation linéaire (T,S)
Où la pente α de cette évolution et l'ordonnée β à l'origine des abscisses sont données par : α = (T₂ − T₁)/(S₂ − S₁) et β = T₁ − αS₁ (33).
Selon la définition de l'entropie, on peut écrire : dS = δQ*/T (34) alors : δQ* = TdS (35) ce qui implique : Q* = ∫S₁S₂ TdS (36). Soit, en remplaçant T par son expression : Q* = ∫S₁S₂ (αS + β) dS = [αS²/2 + βS]S₁S₂ (37). D'où : Q* = α/2 (S₂² − S₁²) + β(S₂ − S₁) (38).
Le travail mis en jeu au cours de cette transformation s'écrit : W* = ΔU − Q* (39) soit : W* = U₂ − U₁ − Q* (40).
A.N. : Q* = 2,865 kJ et W* = −13,555 kJ.
7. Efficacité du modèle polytrope pour la nouvelle transformation
Cette deuxième transformation peut être décrite, de manière efficace, par le modèle polytrope précédent, car l'erreur relative (W₀ − W*)/W* faite sur le calcul du travail, qui est de 2,066%, est relativement faible, indiquant une meilleure adéquation du modèle dans ce cas.
Exercice 3
1. Caractéristiques de la détente de Joule-Gay-Lussac pour la vapeur d'eau
La vapeur d'eau n'est pas assimilable à un gaz parfait car sa température change au cours de la détente de Joule-Gay-Lussac. En effet, pour un gaz parfait, la température resterait constante lors de cette détente.
2. Variation d'énergie interne lors d'une détente de Joule-Gay-Lussac
La variation de l'énergie interne ΔU lors d'une détente de Joule-Gay-Lussac est nulle, quelle que soit la nature du gaz (c'est-à-dire parfait ou réel), car il n'y a ni travail ni échange de chaleur avec l'extérieur. Alors : U₀ = U (41).
A.N. : U₀ = 54,78 kJ.
3. Variation d'entropie échangée lors d'une détente de Joule-Gay-Lussac
Pour une transformation de Joule-Gay-Lussac, δQ = 0 car les parois sont adiabatiques. Alors : dSₑ = δQ/T = 0 (42). D'où : ΔSₑ = 0 (43).
A.N. : ΔSₑ = 0 J K⁻¹.
4. Calcul de l'entropie créée
Étant donné que la variation d'entropie échangée ΔSₑ est nulle, alors : ΔS = ΔSₑ + Sc = Sc (44). D'où : Sc = ΔS = S₀ − S (45).
A.N. : Sc = 0,161 kJ K⁻¹.
Exercice 4
1. Expressions de la variation d'entropie pour un gaz parfait
Pour un gaz parfait, on a : dH = dU + d(pV) = δQ − pdV + d(pV) (46) soit : δQ = dU + pdV = dH − Vdp (47) ou encore : δQ = CᵥdT + pdV = CₚdT − Vdp (48).
D'où la variation d'entropie s'écrit : dS = δQ/T = CᵥdT/T + p/T dV = CₚdT/T − V/T dp (49). Qui s'écrit aussi : dS = CᵥdT/T + nR/V dV = CₚdT/T − nR/p dp (50).
2. Conditions de réalisation d'une transformation isentrope
Une transformation isentrope est une transformation adiabatique réversible. Pour sa réalisation en pratique, les parois du récipient contenant le gaz doivent être adiabatiques (imperméables à la chaleur) et la transformation doit être réalisée d'une manière très lente (quasi-statique).
3. Dérivation de la loi de Laplace pour une transformation isentrope
Pour une transformation isentrope, on a dS = 0. Il en résulte : CᵥdT/T + nR/V dV = 0 et CₚdT/T − nR/p dp = 0 (51). Soit CᵥdT/T = −nR/V dV et CₚdT/T = nR/p dp (52).
En divisant la deuxième équation par la première (membre à membre), on obtient : Cₚ/Cᵥ = (nR/p dp) / (−nR/V dV) = −(V dp)/(p dV) (53). Soit : γ dV/V = −dp/p (54).
En intégrant les membres de cette équation, il vient : γ ln V = −ln p + Cte (55) soit : ln(pVγ) = Cte (56). D'où la loi de Laplace : pVγ = Cte (57).
FAQ
Qu'est-ce qu'une transformation réversible en thermodynamique ?
Une transformation réversible est une transformation idéalisée qui peut être inversée en repassant par tous les états intermédiaires, sans laisser de trace dans l'environnement. L'entropie créée est alors nulle. Dans la pratique, les transformations réelles sont toujours irréversibles.
Quand la variation d'énergie interne est-elle nulle ?
La variation d'énergie interne (ΔU) est nulle pour toute transformation isotherme (à température constante) d'un gaz parfait. Elle est également nulle pour une détente de Joule-Gay-Lussac, que le gaz soit parfait ou réel, car il n'y a ni travail ni échange de chaleur.
Quel est le rôle du coefficient adiabatique (γ) dans l'équation des gaz parfaits ?
Le coefficient adiabatique (γ) est le rapport des capacités thermiques à pression constante (Cₚ) et à volume constant (Cᵥ) pour un gaz (γ = Cₚ/Cᵥ). Il est crucial dans les transformations adiabatiques réversibles (isentropes) des gaz parfaits, où il apparaît dans la relation de Laplace (pVγ = Cte, TV(γ-1) = Cte, ou p(1-γ)Tγ = Cte).