Travaux diriges de thermodynamique serie d'exercices n°1

Travaux diriges de thermodynamique serie n°1 -Thermodynamiqu

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SÉRIE N°1

Exercice 1

On considère une transformation réversible d'un gaz parfait. Au cours d'une étape élémentaire, l'énergie interne du gaz varie de dU; il reçoit le travail élémentaire &W et la chaleur élémentaire &Q.

1. Exprimer dU et &W et en déduire &Q.
2. Montrer que &Q n'est pas une différentielle totale exacte et que par conséquent il n'existe pas de fonction chaleur.

Explication : En thermodynamique, le premier principe stipule que dU = &Q + &W. Pour un gaz parfait, dU = C_VdT et pour une transformation réversible, &W = -PdV. La chaleur élémentaire &Q est une forme d'énergie transférée qui dépend du chemin suivi, et non une fonction d'état, contrairement à l'énergie interne U.

Exercice 2

Un gaz parfait est contenu dans un cylindre fermé par un piston. On suppose que les parois du cylindre et du piston sont infiniment perméables à la chaleur de manière que les transformations étudiées soient isothermes. Les conditions initiales sont P₀, V₀, T₀.

1. On comprime le gaz de manière réversible de P₀ à P₁. Calculer le travail W₁, échangé au cours de l'opération. Quel est le travail W'₁, échangé par le gaz lorsqu'il se détend de manière réversible de P₁ à P₀ ? Comparer W₁ et W'₁ (signe et valeur).
2. On comprime le gaz de manière irréversible de P₀ à P₁, en appliquant brutalement sur la face extérieure du piston la pression P₁. Calculer le travail W₂, échangé au cours de cette opération. Quel est le travail W'₂, échangé par le gaz lorsqu'il se détend de P₁ à P₀, en laissant agir la pression P₀ sur la face extérieure du piston ? Comparer W₂ et W'₂. Comparer W₁ et W₂.

On prendra P₀ = 1 atm, P₁ = 10 atm.

Explication : Le travail échangé lors d'une transformation dépend du chemin suivi. Pour une transformation réversible, le travail est maximisé (ou minimisé, selon le sens) et peut être représenté par l'aire sous la courbe P(V) dans un diagramme de Clapeyron. Pour une transformation irréversible, le travail est généralement moindre en valeur absolue et ne peut pas être calculé simplement par ∫PdV si P est la pression interne.

Exercice 3 : Moteur de Stirling

Le moteur de Stirling a été développé en 1816 par Robert Stirling. La machine est constituée d'une quantité de gaz parfait circulant à l'aide d'un piston entre deux réservoirs thermiques (un réservoir chaud et un réservoir froid). Ce moteur est décrit par un cycle thermodynamique en quatre états A, B, C, D où les états sont caractérisés par les variables P, V, T, U, S (Pression, Volume, Température, Énergie interne et Entropie).

Le cycle est donné par :

• AB : détente isotherme à la température chaude T₁.
• BC : refroidissement isochore au volume V₂.
• CD : compression isotherme à la température froide T₂.
• DA : réchauffement isochore au volume V₁.

1. Schématiser le cycle dans un diagramme (P, V).
2. Calculer la chaleur fournie à la machine pendant un cycle complet ainsi que le travail effectué par la machine. (Nous utiliserons entre autres l'équation du gaz parfait).
3. Montrer que le rendement du moteur Stirling est donné par : η = 1 - T₂ / T₁.
4. Déterminer la variation d'entropie ΔS = S_final - S_initial pour chaque étape du cycle. Quel est le changement total de l'entropie ΔS_total pendant un cycle complet ? Schématiser qualitativement le cycle dans un diagramme (T, S).

Clarification : Le moteur de Stirling est un exemple de moteur thermique à cycle fermé qui approche le rendement maximal théorique (rendement de Carnot) lorsqu'il fonctionne de manière réversible. Il utilise un gaz en compression et expansion périodiques.

Exercice 4

On étudie le chauffage d'une école pendant une journée d'hiver. On suppose qu'à chaque instant l'école est à la même température T. Soit C la capacité thermique de l'école. On suppose que la chaleur perdue par l'école à cause des fuites thermiques à travers les murs, le toit, etc., pendant la durée dt est &Q_perdue = αC (T - T_ext)dt, α étant une constante positive.

Application numérique : T_ext = 263 K; C = 7,6 x 10⁷ J.K^-1; α = 7,9 x 10^-4 s^-1.

1. On arrête le chauffage de l'école à la date t=0, la température étant T₁ = 293 K. Calculer la température T de l'école au bout de trois heures.
2. On suppose maintenant qu'à t=0, la température est T₀ = 275 K et le chauffage de l'école commence à fonctionner. Les radiateurs dégagent une puissance thermique P = 210 kW constante. Calculer le temps t₂ au bout duquel la température de l'école atteint la valeur T₂ = 293 K.

Exercice 5

Soit un moteur thermique qui fonctionne réversiblement entre trois sources de températures T₁, T₂ et T₃ (T₃ < T₂ < T₁). L'agent thermique, assimilé à un gaz parfait, qui permet l'échange de chaleur avec ces différentes sources, décrit le cycle moteur ABCDEFA, de la façon suivante :

• Compression isotherme de l'état A (P_A, V_A, T₃) à l'état B (P_B, V_B, T₃).
• Compression adiabatique de l'état B à l'état C (P_C, V_C, T₁).
• Détente isotherme de l'état C à l'état D (P_D, V_D, T₁).
• Détente adiabatique de l'état D à l'état E (P_E, V_E, T₂).
• Compression isotherme de l'état E à l'état F (P_F, V_F > V_B, T₂).
• Détente adiabatique de l'état F à l'état A.

1. 1. Tracer l'allure du cycle dans un diagramme (P, V).
   2. À quoi correspond l'aire du cycle dans ce diagramme (P, V) ?
2. 1. Tracer l'allure du cycle dans un diagramme (T, S).
   2. À quoi correspond l'aire du cycle dans ce diagramme (T, S) ?
3. Quelle relation existe entre l'aire du cycle dans le diagramme (P, V) et celle dans le diagramme (T, S) ? Justifier votre réponse.

SÉRIE N°2

Exercice 1

A) Les dérivées partielles de l'énergie interne U(S, V, N) pour un système ayant le nombre de moles N variable, sont données par :

• (&partial;U/&partial;S)_V,N = T
• (&partial;U/&partial;V)_S,N = -P
• (&partial;U/&partial;N)_S,V = μ

1. Écrire la différentielle de U.
2. Établir l'expression U = TS - PV + μN.
3. En déduire la relation de Gibbs-Duhem : SdT - VdP + Ndμ = 0.

B) On définit pour ce système, ayant le nombre de moles N variable, les fonctions d'états suivantes :

• H (S, P, N) → ENTHALPIE.
• F (T, V, N) → ÉNERGIE LIBRE (ou énergie de Helmholtz).
• G (T, P, N) → ENTHALPIE LIBRE (ou énergie de Gibbs).

1. Calculer les différentielles de ces fonctions.
2. En déduire les relations de Maxwell :
   • (&partial;T/&partial;V)_S,N = -(&partial;P/&partial;S)_V,N
   • (&partial;T/&partial;P)_S,N = (&partial;V/&partial;S)_P,N
   • (&partial;S/&partial;V)_T,N = (&partial;P/&partial;T)_V,N
   • (&partial;S/&partial;P)_T,N = -(&partial;V/&partial;T)_P,N
3. En déduire les relations de Gibbs-Helmholtz :
   • U = F - T(&partial;F/&partial;T)_V,N
   • H = G - T(&partial;G/&partial;T)_P,N

Explication : Les relations de Maxwell et les équations de Gibbs-Helmholtz sont des identités fondamentales en thermodynamique qui relient les propriétés mesurables d'un système aux dérivées des potentiels thermodynamiques. Elles sont essentielles pour analyser les transformations de la matière et de l'énergie.

Exercice 2

On considère une mole d'un gaz obéissant à l'équation de Van der Waals : (P + a/V²) (V - b) = RT.

Montrer en utilisant une relation de Maxwell que l'entropie d'une mole de ce gaz peut s'écrire : S = C_V ln T + R ln(V - b) + Cte.

La chaleur spécifique à volume constant est supposée être indépendante de la température.

En déduire l'équation d'une adiabatique pour un gaz de Van der Waals.

Exercice 3

L'équation d'état relative à une mole d'un gaz réel peut être représentée par un développement limité du produit PV :

• soit en fonction du volume du gaz : PV = A(1 + B/V + C/V² + ...)
• soit en fonction de la pression P du gaz : PV = A(1 + B'P + C'P² + ...)

1. Effectuer les développements du produit PV en fonction de V, puis de P, en se limitant aux termes du second ordre, pour le gaz de Van der Waals : (P + a/V²) (V - b) = RT.
2. En déduire les coefficients du viriel A, B, C, B', C' en fonction de la température T et des constantes a, b, R du gaz.

Application : Calculer A, B, C, B', C' pour l'oxygène, à la température de 25 °C, sachant que, pour ce gaz, les valeurs expérimentales des coefficients de l'équation de Van der Waals sont : a = 0,14 S.I.; b = 3,22 x 10^-5 S.I.; R = 8,32 S.I.

3. Pour des pressions peu élevées, on peut se contenter de la relation approchée PV = A (1 + B'P). Déterminer la température de Boyle-Mariotte T_M de l'oxygène, température pour laquelle l'isotherme PV = f(P) est, comme pour un gaz parfait, horizontale. Écrire les équations des isothermes pour les températures T = T_M - 50 K et T = T_M + 50 K. Faire une représentation graphique.

Explication : Les coefficients du viriel sont utilisés pour décrire le comportement des gaz réels, s'écartant du modèle idéal à haute pression ou basse température. La température de Boyle-Mariotte est la température à laquelle un gaz réel se comporte comme un gaz parfait pour des pressions modérées, c'est-à-dire que le second coefficient du viriel s'annule.

Exercice 4

L'équation d'état d'une mole d'une matière considérée comme un fluide de Van der Waals est : (P + a/V²) (V - b) = RT. a et b sont deux constantes caractéristiques du fluide étudié.

Données : a = 1,22; b = 1,04 S.I.

L'énergie interne d'une mole de fluide est : U(T,V) = C_VT - a/V. C_V est la capacité calorifique molaire du fluide, considérée comme une constante.

1. Déterminer les unités de a et b dans le Système International (SI).
2. Quelle est l'interprétation physique de a et b ?
3. On assimile les particules du fluide à des sphères de rayon r. Donner l'ordre de grandeur de r. (N_A = 6,02 x 10²³/mole = nombre d'Avogadro).
4. Montrer que l'entropie d'une mole de fluide S (T, V) = C_V ln T + R ln (V - b) + Cte.
5. On réalise une transformation adiabatique réversible conduisant une mole du fluide de l'état (T₀ = 300 K; V₀ = 0,02 m³) à l'état (T₁; 2V₀). Déterminer T₁ en fonction de T₀, V₀, b, R et C_V. On mesure expérimentalement T₁ = 230 K; en déduire C_V.
6. Quelle est a priori la structure moléculaire des particules du fluide étudié ?
7. Déterminer le travail reçu par le fluide lors de cette transformation, en fonction de T₁, T₀, V₀, a et C_V. Faire le calcul.

Explication : Les constantes 'a' et 'b' de Van der Waals modélisent respectivement les forces d'attraction intermoléculaires (qui réduisent la pression) et le volume propre des molécules (qui réduit le volume disponible). Ces constantes sont cruciales pour décrire les écarts au comportement des gaz parfaits.

SÉRIE N°3

Exercice 1

On considère un corps pur pouvant exister sous deux phases, liquide et vapeur. On note g_L et g_V les enthalpies libres molaires respectives dans ces deux phases.

1. De la relation de Clapeyron, déduire le signe de la pente de la courbe de pression de vapeur saturante P_s = f(T). Tracer l'allure de cette courbe.
2. 1. Montrer qu'à température T fixée, (g_V - g_L) croît avec la pression P.
   2. À la température T₀ la pression d'équilibre est P₀. Si à cette même température T₀ la pression P est supérieure à P₀, a-t-on du liquide ou de la vapeur ?
3. 1. Montrer qu'à pression P fixée, (g_V - g_L) décroît quand T croît.
   2. À la pression P₀ la température d'équilibre est T₀. Si à cette même pression P₀ la température est inférieure à T₀, a-t-on du liquide ou de la vapeur ?
4. À partir des résultats précédents, indiquer dans le diagramme (T,P), où a été tracée la courbe de pression de vapeur saturante P_s = f(T), la région d'existence du liquide et celle de la vapeur.

Explication : La relation de Clapeyron décrit la pente de la courbe d'équilibre entre deux phases d'un corps pur dans un diagramme (P,T). Elle est fondamentale pour comprendre les transitions de phase telles que la fusion, la vaporisation et la sublimation.

Exercice 2

1. Écrire les conditions d'équilibre de deux phases d'un corps pur défini par la pression et la température. En déduire la formule de Clapeyron exprimant la chaleur latente L de changement d'état.
2. On considère l'équilibre des phases liquide-vapeur du corps. La vapeur sera assimilée à un gaz parfait (loin du point critique). Déterminer en fonction de P, T et L, le long de la courbe d'équilibre liquide-vapeur :
   1. la variation de la pression de la vapeur saturante avec la température (dP/dT) ;
   2. la variation du volume de la vapeur saturante avec la température (dV/dT) ;
   3. Application numérique : Quelles sont les variations de la pression et du volume d'une mole de vapeur d'eau saturante, à 100 °C, sous 1 atmosphère, si l'on élève la température de 1 °C ?

      On donne :

      • chaleur latente de vaporisation de l'eau (en cal/g) à la température Celsius : L = 607 - 0,70 T_C ;
      • 1 cal = 4,2 J ;
      • constante des gaz parfaits : R = 8,32 J.mol^-1.K^-1 ;
      • masse molaire de l'eau : 18 g.

Exercice 3

Une masse de 1 kg d'eau se trouve à l'état liquide dans un thermostat à -10 °C, à la pression atmosphérique. On fait cesser cet état d'équilibre métastable en ajoutant un germe de glace au système.

1. Calculer la variation d'entropie de l'eau.
2. Calculer la variation d'entropie du système (thermostat + eau).

On donne :

• Chaleur latente de fusion de la glace : L = 336 J/g ;
• Chaleur spécifique de l'eau liquide : C_eau = 4,2 J.g^-1.K^-1 ;
• Chaleur spécifique de la glace : C_glace = 2,1 J.g^-1.K^-1.

Exercice 4

On considère 1 g d'eau initialement liquide à 100 °C dont la pression est égale à sa pression de vapeur saturante P = 1,013 x 10⁵ Pa. On vaporise alors l'eau de deux manières :

1. Processus a : l'eau est enfermée dans un récipient fermé par un piston, en contact thermique avec un thermostat à 100 °C (transformation réversible).
2. Processus b : l'eau est introduite rapidement dans un récipient fermé, initialement vide, de volume invariable V, en contact thermique avec le thermostat à 100 °C (transformation irréversible).

Pour chacun des processus, calculer les variations d'énergie interne, d'enthalpie, d'enthalpie libre et d'entropie de l'eau. Calculer la création totale d'entropie dans l'Univers lors du processus irréversible.

La chaleur latente de vaporisation de l'eau est, à 100 °C : L_v = 2,25 MJ/kg.

Explication : Les variations des fonctions d'état (énergie interne, enthalpie, entropie, enthalpie libre) ne dépendent que des états initial et final, quelle que soit la réversibilité du processus. Cependant, la création d'entropie de l'Univers est nulle pour un processus réversible et positive pour un processus irréversible.

Exercice 5

Dans une enceinte dont les parois sont parfaitement adiabatiques, on introduit à la pression atmosphérique une masse m₁ = 0,01 kg de glace à t₁ = -8 °C et une masse m₂ = 0,1 kg d'eau liquide à t₂ = 15 °C.

1. Décrire l'état final.
2. Calculer la variation d'entropie totale.

On donne :

• Chaleur latente de fusion de la glace : L = 334,4 kJ/kg ;
• Capacité thermique massique de la glace : C₁ = 2,1 kJ.kg^-1.K^-1 ;
• Capacité thermique massique de l'eau liquide : C₂ = 4,2 kJ.kg^-1.K^-1.

Exercice 6

Dans une enceinte dont les parois sont parfaitement adiabatiques, on introduit une masse m₁ = 0,12 kg de glace à t₁ = 0 °C, une masse m₂ = 0,26 kg d'eau liquide à t₂ = 20 °C et une masse m₃ = 0,1 kg de vapeur d'eau à t₃ = 100 °C. La pression est constante et égale à 1,013 bar.

1. Décrire l'état final.
2. Calculer la variation d'entropie totale.

On donne :

• Chaleur latente de fusion de la glace à 0 °C : L_f = 334,4 kJ/kg ;
• Chaleur de vaporisation de l'eau à 100 °C : L_v = 2257,2 kJ/kg ;
• Capacité thermique massique de l'eau liquide (supposée indépendante de la température) : C = 4,2 kJ.kg^-1.K^-1.

Exercice 7 : Fusion et vaporisation de l'eau. Diagramme d'équilibre

À 0 °C, les chaleurs latentes de fusion et de vaporisation de l'eau sont respectivement : L_f = 335 kJ/kg et L_v = 2375 kJ/kg. La température et la pression au point triple sont : T_triple = 0,01 °C et P_triple = 4,6 mm de mercure.

On donne :

• masse volumique de l'eau liquide : ρ_liquide = 1 kg/L ;
• densité de la glace : d_glace = 0,915 ;
• densité de la vapeur d'eau : d_vapeur = 0,625 ;
• masse volumique de l'air : ρ_air = 1,3 g/L.

1. Calculer, au point triple, les pentes des trois courbes de fusion, de vaporisation et de sublimation de l'eau, dans le diagramme (P,T) en atm/K.
2. Écrire les équations de la courbe de fusion (assimilée à une droite) et de la courbe de vaporisation (d'équation P = A ⋅ e^-B/T). On rappelle qu'à 100 °C, la pression de vapeur saturante de l'eau est 1 atmosphère. Représenter les états d'équilibres de l'eau dans le diagramme (P, T).
3. On considère de la glace, prise à -0,5 °C sous 100 mm de mercure. On opère une compression isotherme. Calculer la pression à partir de laquelle la glace commence à fondre.
4. 1. On opère un échauffement isobare à la pression de 100 mm de mercure, sur de la glace prise à -0,5 °C. Déterminer à quelles températures se produiront la fusion et la vaporisation.
   2. Que se passe-t-il si l'échauffement isobare a lieu à une pression inférieure à P_triple ?

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce qu'une fonction d'état en thermodynamique ?

Une fonction d'état est une propriété d'un système thermodynamique qui ne dépend que de son état actuel, et non de la manière dont il est arrivé à cet état. Exemples : l'énergie interne (U), l'enthalpie (H), l'entropie (S) et l'enthalpie libre (G).

Quelle est la différence entre une transformation réversible et irréversible ?

Une transformation réversible est une transformation idéalisée qui peut être inversée sans laisser de trace dans l'environnement. Elle se déroule de manière quasi-statique, par une succession d'états d'équilibre. Une transformation irréversible, quant à elle, est spontanée, ne peut pas être inversée sans modifier l'environnement et génère toujours de l'entropie.

À quoi servent les équations d'état comme celle de Van der Waals ?

Les équations d'état décrivent la relation entre les variables d'état (pression, volume, température, nombre de moles) d'une substance. L'équation de Van der Waals est une amélioration de l'équation des gaz parfaits qui prend en compte le volume propre des molécules et les forces d'attraction intermoléculaires, offrant ainsi une description plus réaliste du comportement des gaz réels.

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