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Télécharger PDFThermodynamique II - Correction des Travaux Dirigés (Série 04)
Correction des Travaux Dirigés de Thermodynamique II. Prof. : H. Chaib. Filière : TEER, Semestre : 2, Année : 2013/2014, Série : 04.
Exercice 1
1. Quand on supprime la paroi, chacun de ces deux gaz subit une détente de Joule-Gay-Lussac. Étant donné que pour un gaz parfait la température reste constante lors d’une détente de Joule-Gay-Lussac, alors : T* = T0 (1)
Les équations d’état des deux gaz avant la suppression de la paroi permettent d’écrire : n1 = p1V0 / RT0 et n2 = p2V0 / RT0 (2)
Et l’équation d’état du gaz résultant après la suppression de la paroi permet d’écrire : p*V* = (n1 + n2)RT* (3)
Or V* = 2V0 et T* = T0, alors des deux dernières équations il vient : p* = ½(p1 + p2) (4)
2. Le gaz du compartiment (1) subit une détente de Joule-Gay-Lussac et par conséquent dU1 = 0, d’où : δQ1 = - δW1 = pdV (5)
Il en résulte : dS1 = δQ1 / T = n1R dV/V (6)
Soit : ΔS1 = ∫V02V0 n1R dV/V (7)
D’où : ΔS1 = n1R ln 2 (8)
De même pour le gaz du compartiment (2) : ΔS2 = n2R ln 2 (9)
Alors, la variation d’entropie du système entier s’écrit : ΔS = ΔS1 + ΔS2 = (n1 + n2)R ln 2 (10)
Exercice 2
1. Le travail technique Wt nécessaire à cette transformation polytrope s’écrit : δWt = V dp = p1ξV1 dp / pξ (11) avec ξ = 1/η. Alors :
Wt = p1ξV1 ∫p1p2 dp / pξ (12)
Ou encore : Wt = p1ξV1 ∫p1p2 p-ξdp (13)
C'est-à-dire : Wt = p1ξV1 [p1-ξ / (1 - ξ)]p1p2 (14)
Soit : Wt = (p1ξV1 / (1 - ξ)) (p21-ξ - p11-ξ) (15)
D’où : Wt = (η / (η - 1)) p11/η V1 (p2(η-1)/η - p1(η-1)/η) (16)
A.N. : Wt = 2807 J.
2. La transformation est polytrope, alors en utilisant la relation entre les grandeurs thermiques p et T, on peut écrire : T2 = (p1 / p2)(1-η)/η T1 (17)
Et ainsi : Q = CV(T2 - T1) - Wt (18)
Où CV = &frac52; nR = &frac52; p1V1 / T1 (car l’air est un gaz diatomique).
A.N. : T2 = 422,73 K et Q = -1637 J.
3. La variation de l’énergie interne s’écrit : ΔU = CV(T2 - T1) (19)
A.N. : ΔU = 1169 J.
4. La variation de l’enthalpie s’écrit : ΔH = Cp(T2 - T1) (20)
Où Cp = &frac72; nR = &frac72; p1V1 / T1 (car l’air est un gaz diatomique).
A.N. : ΔH = 1637 J.
5. Représentation de la transformation en question sur un diagramme de Clapeyron avec indication de l'aire associée au travail technique.
Exercice 3
1. La capacité calorifique à volume constant CV du gaz, qui est un gaz parfait diatomique, est : CV = &frac52; nR = &frac52; p1V1 / T1 et γ = Cp / CV = &frac75; (21)
A.N. : CV = 8,33 J K-1 et γ = 1,4.
2. La réversibilité se réalise quand on comprime le gaz d’une manière très lente.
3. La transformation de l’état (1) à l’état (2) est réversible et en plus elle est adiabatique, alors elle est isentrope. Cependant, en utilisant les relations entre les grandeurs thermiques pour une transformation isentrope, on peut écrire : V2 = (p1 / p2)1/γ V1 et T2 = (p1 / p2)(1-γ)/γ T1 (22)
A.N. : V2 = 1,931 l et T2 = 579,21 K.
4. Le travail mis en jeu au cours de cette transformation isentrope, dont Q12 = 0, est donné par : W12 = ΔU12 = CV(T2 - T1) (23)
A.N. : W12 = 2327 J.
5. La nouvelle transformation de l’état (1) à l’état (3) est irréversible car elle se passe d’une manière brutale. En plus, elle est isobare car la pression est portée brutalement à la pression p3 = p2 à laquelle elle est maintenue constante. Il est important de noter que cette transformation est isobare adiabatique non-réversible et donc non isentrope.
6. La transformation de l’état (1) à l’état (3) est isobare adiabatique, alors : ΔU13 = W13 = CV(T3 - T1) = -p3(V3 - V1) (24)
Soit : CV(T3 - T1) = -p3(V3 - V1) (25)
Ou encore : (nR / (γ - 1)) (T3 - T1) = -p2(V3 - V1) (26)
Or : T3 = p3V3 / nR = p2V3 / nR (27)
Alors : (nR / (γ - 1)) (p2V3 / nR - T1) = -p2(V3 - V1) (28)
Ce qui implique : V3 (p2 / (γ - 1) + p2) = p2V1 + nRT1 / (γ - 1) (29)
Soit : V3 (1 / (γ - 1) + 1) = V1 + (1 / (γ - 1)) · p1V1 / p2 (30)
D’où l’expression de V3 : V3 = ( (γ - 1) / γ + (1 / γ) · (p1 / p2) ) V1 (31)
Et ainsi, en multipliant les deux membres par p2 / nR, on obtient l’expression de T3 : T3 = ( 1 / γ + (γ - 1) / γ · (p2 / p1) ) T1 (32)
A.N. : V3 = 3,571 l et T3 = 1071,43 K.
7. La transformation de l’état (1) à l’état (3) est isobare adiabatique, alors : W13 = -p3(V3 - V1) = -p2(V3 - V1) (33)
A.N. : W13 = 6429 J.
8. La transformation de l’état (3) à l’état (2) est isobare, alors : dH32 = dU32 + d(pV) = δQ32 + V dp et dH32 = CpdT (34)
Or dp = 0, alors : δQ32 = CpdT (35)
D’où : Q32 = Cp(T2 - T3) = γCV(T2 - T3) (36)
A.N. : Q32 = -5743 J.
9. Le travail mis en jeu est donné par : W32 = ΔU32 - Q32 = CV(T2 - T3) - Q32 (37)
A.N. : W32 = 1641 J.
10. Selon la définition de l’entropie, on peut écrire : dS32 = δQ32 / T = Cp dT/T (38)
D’où : ΔS32 = Cp ln (T2 / T3) = γCV ln (T2 / T3) (39)
A.N. : ΔS32 = -7,176 J K-1.
Exercice 4
1. Les transformations (1)-(2) et (3)-(4) sont des transformations isothermes, alors les variations des énergies internes ΔU12 et ΔU34 sont nulles et par conséquent : Q12 = -W12 = nRT1 ln (V2 / V1) et Q34 = -W34 = nRT3 ln (V4 / V3) (40)
Or V2 = V3 et V4 = V1, alors : Q12 = nRT1 ln (V3 / V1) = nRT1 ln ((p1T3) / (p3T1)) et Q34 = nRT3 ln (V1 / V3) = nRT3 ln ((p3T1) / (p1T3)) (41)
A.N. : Q12 = -1729 J et Q34 = 3458 J.
2. Les transformations (2)-(3) et (4)-(1) sont des transformations isochores, alors les travaux volumétriques W23 et W41 sont nuls et par conséquent : Q23 = ΔU23 = CV(T3 - T2) et Q41 = ΔU41 = CV(T1 - T4) (42)
Avec : T4 = T3 et T2 = T1 (43)
A.N. : Q23 = 6236 J et Q41 = -6236 J.
3. Les transformations (1)-(2) et (3)-(4) sont des transformations isothermes, alors les variations des énergies internes ΔU12 et ΔU34 sont nulles et par conséquent : W12 = -Q12 et W34 = -Q34 (44)
A.N. : W12 = 1729 J et W34 = -3458 J.
4. D’après la définition du travail utile d’un cycle, on peut écrire : Wu = W12 + W23 + W34 + W41 = W12 + W34 (45)
Car W23 = 0 et W41 = 0.
A.N. : Wu = -1729 J.
5. L’efficacité thermique de ce cycle de Stirling est donnée par : η = |Wutile| / |Qfournie| = Wu / (Q34 + Q23) (46)
A.N. : η = 0,178.
Foire aux questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'une détente de Joule-Gay-Lussac ?
Une détente de Joule-Gay-Lussac est une expansion irréversible d'un gaz dans le vide sans échange de chaleur ni de travail. Pour un gaz parfait, la température reste constante pendant cette détente, car l'énergie interne ne dépend que de la température et il n'y a pas d'interaction externe.
Quelle est la différence entre une transformation réversible et irréversible en thermodynamique ?
Une transformation réversible est un processus idéal où le système et son environnement peuvent être ramenés à leurs états initiaux sans laisser de trace dans l'univers. Elle se déroule de manière infiniment lente. Une transformation irréversible, en revanche, ne peut pas être inversée sans laisser de changements permanents dans l'environnement, souvent due à des phénomènes rapides comme les frottements ou les mélanges spontanés.
Qu'est-ce que l'efficacité thermique d'un cycle de Stirling ?
L'efficacité thermique d'un cycle de Stirling mesure la performance du moteur thermique. Elle est définie comme le rapport du travail utile produit par le cycle sur la quantité de chaleur totale fournie au système. Pour un cycle de Stirling idéal fonctionnant entre deux températures, son efficacité est égale à celle d'un cycle de Carnot.