Exercices traitement du signal as13 -Traitement de signal -

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Introduction au Traitement du Signal

Ce document explore des concepts fondamentaux en traitement du signal, incluant l'analyse de signaux, les propriétés des systèmes linéaires invariants (SLI), et les applications des transformées de Laplace et de Fourier.

Exercice 1 : Analyse d'un signal exponentiel tronqué

Considérons le signal défini par : x(t) = exp(at) ⋅ u(b-t), où a et b sont deux réels positifs. La fonction u(t) représente la fonction échelon de Heaviside. Par conséquent, u(b-t) est égal à 1 pour t ≤ b et 0 pour t > b.

Ce signal représente une exponentielle croissante (puisque a > 0) qui est tronquée à t = b, étant définie sur l'intervalle (-∞, b].

a) Représentation graphique du signal x(t)

Le signal x(t) est une fonction exponentielle exp(at) qui s'étend de l'infini négatif jusqu'à t = b. À partir de t = b, le signal est nul. Sa valeur maximale est exp(ab) à t = b, et il tend vers 0 lorsque t tend vers -∞.

b) Calcul de l'énergie et de la puissance du signal

L'énergie E et la puissance moyenne P d'un signal sont des caractéristiques importantes :

Énergie (E) : Pour un signal réel, l'énergie est définie par l'intégrale du carré de son amplitude sur tout le temps : E = ∫ |x(t)|² dt de -∞ à +∞.
Puissance moyenne (P) : La puissance moyenne est définie comme : P = lim(T→∞) (1/2T) ∫ |x(t)|² dt de -T à T.

Étant donné que le signal x(t) est borné dans le temps (non nul uniquement pour t ≤ b), il est considéré comme un signal à énergie finie.

c) Calcul de sa transformée de Fourier X(f)

La transformée de Fourier de x(t), notée X(f), peut être calculée en utilisant la définition : X(f) = ∫ x(t) exp(-j2πft) dt. En remplaçant x(t) et en intégrant de -∞ à b, on obtient l'expression du signal dans le domaine fréquentiel.

Exercice 2 : Dérivation d'une fonction échelon au sens des distributions

L'échelon de Heaviside, généralement noté u(t), est une fonction qui prend la valeur 0 pour t < 0 et la valeur 1 pour t ≥ 0. Elle présente une discontinuité de saut à t = 0.

La dérivée de la fonction échelon u(t) au sens des distributions est la fonction impulsion de Dirac, notée δ(t). Cette relation fondamentale est exprimée par : d(u(t))/dt = δ(t).

La distribution de Dirac est une idéalisation d'une impulsion très courte et de grande amplitude, dont l'aire sous la courbe est égale à 1.

Exercice 3 : Corrélation, Convolution et Systèmes Linéaires Invariants (SLI)

a) Définitions de la corrélation et de la convolution

Convolution : La convolution de deux signaux x(t) et h(t) est une opération mathématique qui décrit comment la forme de l'un est modifiée par l'autre. Elle est définie par : (x * h)(t) = ∫ x(τ) h(t - τ) dτ. Elle est essentielle pour déterminer la sortie d'un Système Linéaire Invariant (SLI) dont l'entrée est x(t) et la réponse impulsionnelle est h(t).
Corrélation : La corrélation mesure la similarité entre deux signaux en fonction d'un décalage temporel. Pour des signaux réels, la corrélation croisée entre x(t) et y(t) est définie par : Rxy(τ) = ∫ x(t) y(t - τ) dt. L'autocorrélation Rxx(τ) est un cas particulier où y(t) = x(t).

b) Sortie d'un SLI et réalisation d'une autocorrélation

Pour un système linéaire invariant (SLI) avec une réponse impulsionnelle g(t) et une entrée x(t), la sortie y(t) est donnée par la convolution de l'entrée avec la réponse impulsionnelle du système : y(t) = x(t) * g(t).

Pour que le système réalise une autocorrélation de l'entrée x(t), la sortie y(t) devrait être égale à Rxx(t). Sachant que l'autocorrélation d'un signal x(t) est Rxx(τ) = x(τ) * x(-τ) (pour des signaux réels), pour que le système réalise une autocorrélation, sa réponse impulsionnelle g(t) doit être égale à x(-t).

Exercice 4 : Analyse d'un Système Linéaire Invariant (SLI)

Considérons un système linéaire régi par l'équation différentielle suivante :

y(t) + (2+a)y''(t) + 2a y'(t) = 4x''(t) + (2a+6)x'(t) + 2a x(t)

a) Détermination de la transmittance complexe H(s) = Y(s)/X(s)

En appliquant la transformée de Laplace à l'équation différentielle, en supposant des conditions initiales nulles, et en remplaçant les dérivées temporelles par des multiplications par s (pour la première dérivée) et s² (pour la seconde dérivée), nous obtenons :

Y(s) + (2+a)s²Y(s) + 2asY(s) = 4s²X(s) + (2a+6)sX(s) + 2aX(s)

Factorisons Y(s) et X(s) :

Y(s) [1 + (2+a)s² + 2as] = X(s) [4s² + (2a+6)s + 2a]

La transmittance complexe du système est alors :

H(s) = Y(s)/X(s) = [4s² + (2a+6)s + 2a] / [(2+a)s² + 2as + 1]

b) Discussion sur la stabilité du système

La stabilité d'un système linéaire est déterminée par la position de ses pôles (les racines du dénominateur de H(s)) dans le plan complexe. Pour un système causal à temps continu, la stabilité marginale (ou stabilité BIBO - Bounded-Input Bounded-Output) est assurée si tous les pôles ont une partie réelle négative. Les pôles sont les solutions de l'équation : (2+a)s² + 2as + 1 = 0. La discussion de la stabilité dépendra donc des valeurs possibles du paramètre a.

c) Détermination de la réponse impulsionnelle et sa représentation pour a=2

La réponse impulsionnelle h(t) est la transformée de Laplace inverse de la fonction de transfert H(s). Pour a=2, la fonction de transfert devient :

H(s) = [4s² + (2⋅2+6)s + 2⋅2] / [(2+2)s² + 2⋅2s + 1]

H(s) = [4s² + 10s + 4] / [4s² + 4s + 1]

Le dénominateur est un carré parfait : (2s+1)². Pour trouver h(t), il faudrait décomposer H(s) en éléments simples et utiliser les tables de transformées de Laplace inverses.

d) Représentation graphique de la réponse du système au signal x(t) = δ(t) + δ(t-2)

La réponse d'un SLI à une impulsion de Dirac δ(t) est sa réponse impulsionnelle h(t). Grâce à la propriété de linéarité et d'invariance temporelle des SLI, la réponse à une somme d'impulsions décalées est la somme des réponses impulsionnelles décalées.

Ainsi, pour l'entrée x(t) = δ(t) + δ(t-2), la sortie y(t) sera : y(t) = h(t) + h(t-2). La représentation graphique consisterait à tracer la réponse impulsionnelle h(t) et la même réponse décalée de 2 unités de temps, h(t-2), puis à les additionner.

Exercice 5 : Propriétés fondamentales des Transformées de Fourier

Le tableau suivant résume comment certaines notions et opérations du domaine temporel se traduisent dans le domaine fréquentiel via la Transformée de Fourier (TF), ou inversement :

Dans le domaine temporel : Dirac (Impulsion): Dans le domaine fréquentiel : Une impulsion de Dirac δ(t) correspond à un spectre constant (amplitude uniforme) dans le domaine fréquentiel. Toutes les fréquences sont présentes avec la même intensité.
Dans le domaine temporel : Signal porte (Fonction rectangulaire): Dans le domaine fréquentiel : Un signal porte dans le domaine temporel a pour transformée de Fourier une fonction sinus cardinal, souvent notée sinc(f), qui présente un lobe principal et des lobes secondaires d'amplitude décroissante.
Dans le domaine temporel : Dilatation temporelle (x(at)): Dans le domaine fréquentiel : Une dilatation temporelle (étirement ou compression du signal) se traduit par une compression ou une dilatation inverse dans le domaine fréquentiel. Plus précisément, TF{x(at)} = (1/|a|) X(f/a).
Dans le domaine temporel : Corrélation (x(t) * y(-t)): Dans le domaine fréquentiel : L'opération de corrélation entre deux signaux x(t) et y(t) se transforme en un produit de la transformée de Fourier de x(t) par le conjugué complexe de la transformée de Fourier de y(t) : TF{Rxy(t)} = X(f) ⋅ Y*(f).
Dans le domaine temporel : Décalage temporel (x(t-t₀)): Dans le domaine fréquentiel : Un décalage temporel d'un signal x(t-t₀) correspond à une multiplication par une exponentielle complexe dans le domaine fréquentiel : TF{x(t-t₀)} = X(f) ⋅ exp(-j2πft₀). Cela n'affecte que la phase du spectre, pas son amplitude.
Dans le domaine temporel : Signal réel pair (x(t) = x(-t)): Dans le domaine fréquentiel : La transformée de Fourier d'un signal réel et pair est elle-même une fonction réelle et paire dans le domaine fréquentiel. X(f) = X(-f) et X(f) est réelle.

Foire Aux Questions (FAQ) sur le Traitement du Signal

Qu'est-ce que la fonction échelon de Heaviside et quelle est sa dérivée au sens des distributions ?: La fonction échelon de Heaviside, notée u(t), est une fonction qui vaut 0 pour les valeurs négatives de t et 1 pour les valeurs positives ou nulles de t. Sa dérivée au sens des distributions est la fonction impulsion de Dirac, δ(t), qui représente une impulsion concentrée à l'origine.
Quelle est la distinction principale entre la convolution et la corrélation en traitement du signal ?: La convolution est une opération qui décrit l'effet d'un système linéaire invariant sur un signal d'entrée, tandis que la corrélation mesure la similarité entre deux signaux en fonction d'un décalage temporel. En termes mathématiques, la convolution implique un "pliage" et un décalage d'un signal par rapport à l'autre, alors que la corrélation implique un produit et une intégration sans "pliage".
Comment le décalage temporel d'un signal affecte-t-il sa transformée de Fourier ?: Lorsqu'un signal est décalé dans le temps par une valeur t₀ (par exemple, x(t-t₀)), sa transformée de Fourier subit une multiplication par une exponentielle complexe exp(-j2πft₀). Cela signifie que le décalage temporel n'affecte que la phase du spectre du signal, laissant son amplitude inchangée.