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Théorie du Signal et Probabilités

Ce document présente une série d'exercices couvrant des concepts fondamentaux en théorie du signal et en probabilités, incluant les transformées de Fourier, les transformées de Fourier discrètes et l'analyse des variables et processus aléatoires. Ces exercices visent à renforcer la compréhension des principes clés de ces domaines.

Transformée de Fourier

La transformée de Fourier est un outil mathématique essentiel en traitement du signal, permettant de décomposer un signal du domaine temporel en ses composantes fréquentielles. Elle est cruciale pour l'analyse spectrale et la conception de systèmes.

Exercice 1 : Calcul de Transformées de Fourier

Donner la transformée de Fourier des signaux suivants :

cos(2πt)
Le signal rectangle s(t) défini par s(t) = c pour 0 <= t <= T et s(t) = 0 partout ailleurs (peut être représenté comme c * rect((t - T/2) / T)).

Exercice 2 : Transformée de Fourier d'une fonction généralisée

Donner la transformée de Fourier du signal (fonction généralisée ou distribution tempérée) s(t) = t^2.

Rappels utiles pour cet exercice :

La transformée de Fourier d'une dérivée n-ième : TF[d^n g(t) / dt^n] = (j2πν)^n * G(ν).
La transformée de Fourier de la fonction constante g(t) = 1 est δ(ν) (le dirac en fréquence).

Exercice 3 : Propriété de l'énergie (Théorème de Parseval-Plancherel)

Montrer que pour deux fonctions f et g qui possèdent une transformée de Fourier (notées respectivement F et G), la relation suivante est vérifiée : le produit scalaire des fonctions dans le domaine temporel est égal au produit scalaire de leurs transformées de Fourier dans le domaine fréquentiel. C'est-à-dire : <f, g> = <F, G>.

Transformée de Fourier Discrète (TFD)

La Transformée de Fourier Discrète est l'équivalent numérique de la Transformée de Fourier, appliquée aux signaux échantillonnés et de durée finie. Elle est omniprésente dans le traitement numérique du signal.

Exercice 1 : Calcul et représentation de la TFD

Soit x[n] un signal discret défini pour n = 0, ..., N-1, avec N = 4. On suppose x[n] = 1 pour n ∈ [0, N-1] et 0 sinon. Donner la Transformée de Fourier Discrète X[k] de ce signal x[n] et esquisser sa représentation graphique.

Rappel : La TFD est définie par X[k] = ∑_n=0^N-1 x[n] * e^{-j * 2π * n * k / N}.

Probabilités

Cette section explore des concepts fondamentaux de la théorie des probabilités et des processus aléatoires, essentiels pour la modélisation et l'analyse des phénomènes incertains.

Partie A : Variable aléatoire continue

Soit X une variable aléatoire avec la fonction de densité de probabilité (pdf) f_X(x) définie comme suit :

f_X(x) = kx  pour 0 < x < 1
f_X(x) = 0   partout ailleurs

où k est une constante.

Trouver la valeur de k et esquisser la fonction f_X(x).
Trouver et esquisser la fonction de répartition cumulative (cdf) F_X(x).
Calculer la probabilité P(X <= 1/2).
Donner la moyenne m = E[X] et la variance σ²_X de X.

Rappel : La fonction de répartition cumulative est définie par F_X(x) = P(X <= x).

Partie B : Processus aléatoire

Considérons un processus aléatoire défini par X(t) = Y * cos(ωt + Φ), où Y et Φ sont des variables aléatoires indépendantes. Y est uniformément distribuée sur (-A, A) et Φ est uniformément distribuée sur (-π, π).

Trouver la moyenne de X(t).
Trouver l'expression de la fonction d'autocorrélation R_XX(t₁, t₂).
Le processus X(t) est-il WSS (Wide Sense Stationary ou stationnaire au sens large) ?

Partie C : Processus aléatoire WSS

Supposons qu'un processus aléatoire X(t) soit WSS avec la fonction d'autocorrélation R_XX(τ) = exp(-|τ| / 2).

Trouver le second moment de la variable aléatoire X(5), c'est-à-dire E[X(5)^2].
Trouver le second moment de la variable aléatoire X(5) - X(3), c'est-à-dire E[(X(5) - X(3))^2].

Partie D : Processus aléatoire continu et complexe

Nous considérons le processus continu et complexe X(t) défini par :

X(t) = ∑_k=1ⁿ A_k * exp(j * (ω_k * t + θ_k))

où les θ_k sont des variables aléatoires indépendantes pour tout k = 1, ..., n, et sont uniformément distribuées sur l'intervalle [0, 2π]. Les A_k et ω_k sont des constantes.

Donner la valeur moyenne de X(t).
Donner sa fonction d'autocorrélation.
Donner sa variance.
Le processus X(t) est-il WSS (stationnaire au sens large) ?

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce que la Transformée de Fourier ?

La Transformée de Fourier est une opération mathématique qui décompose un signal en une somme (continue) de fréquences sinusoïdales, révélant les composantes fréquentielles du signal. Elle permet de passer du domaine temporel au domaine fréquentiel, ce qui est fondamental pour l'analyse spectrale, la compression de données et le traitement d'images.

Quelle est la différence fondamentale entre une variable aléatoire et un processus aléatoire ?

Une variable aléatoire associe une valeur numérique à chaque résultat d'une expérience aléatoire unique. Un processus aléatoire, quant à lui, est une collection de variables aléatoires indexées par le temps (ou l'espace), décrivant l'évolution d'un phénomène aléatoire au cours du temps. Par exemple, la température à un instant précis est une variable aléatoire, tandis que l'évolution de la température sur une journée est un processus aléatoire.

Qu'est-ce qu'un processus stationnaire au sens large (WSS) ?

Un processus aléatoire est dit stationnaire au sens large (WSS) si sa moyenne est constante et ne dépend pas du temps, et si sa fonction d'autocorrélation ne dépend que de l'intervalle de temps (τ = t₂ - t₁) entre deux observations, et non des instants absolus t₁ et t₂. Cette propriété simplifie considérablement l'analyse des signaux aléatoires.