Exercices convolution et autocorrélation -Traitement de sign

Télécharger PDF

Théorie du Signal : Convolution et Autocorrélation

La théorie du signal est un pilier de nombreuses disciplines techniques, de l'ingénierie électrique au traitement du son et de l'image. Deux concepts fondamentaux dans cette théorie sont la convolution et l'autocorrélation. Ces opérations mathématiques permettent d'analyser comment les systèmes linéaires et invariants dans le temps (LTI) réagissent à des signaux, ou de caractériser la structure interne d'un signal.

1. Autocorrélation

L'autocorrélation est une mesure de la similarité d'un signal avec une version décalée de lui-même en fonction du décalage (délai). Elle aide à identifier des motifs répétitifs, comme la présence d'une période dans un signal bruité, ou à trouver la fréquence fondamentale d'un signal.

Autocorrélation d'un signal à énergie finie

Pour un signal à énergie finie x(t), l'autocorrélation R_x(τ) est définie par :

R_x(τ) = ∫_-∞^+∞ x(t) x*(t - τ) dt

où x*(t) est le conjugué complexe de x(t). Si x(t) est un signal réel, alors x*(t) = x(t).

L'énergie totale E du signal est donnée par R_x(0).

Autocorrélation d'un signal à puissance finie

Pour un signal à puissance finie x(t), l'autocorrélation R_x(τ) est définie par :

R_x(τ) = lim_T→+∞ (1 / T) ∫_-T/2^T/2 x(t) x*(t - τ) dt

La puissance moyenne P du signal est donnée par R_x(0).

Exemples et Propriétés de l'Autocorrélation

Signal Périodique

Si un signal x(t) est périodique avec une période T₀, alors son autocorrélation R_x(τ) est également périodique avec la même période T₀.

Autocorrélation d'une Exponentielle Amortie

Considérons le signal réel à énergie finie :

x(t) = A e^-αt pour t ≥ 0
x(t) = 0 sinon

avec A et α des constantes positives. Le calcul de son autocorrélation R_x(τ) implique l'intégration du produit x(t)x(t-τ) sur les plages où les fonctions sont non nulles. On observe que |R_x(τ)| ≤ R_x(0), où R_x(0) représente l'énergie du signal.

Exercice 2 : Autocorrélation d'un Signal Sinusoïdal

Soit un signal sinusoïdal de puissance finie :

x(t) = A cos(2πf₀t + φ)

Calculons son autocorrélation R_x(τ) en utilisant la formule pour les signaux à puissance finie :

R_x(τ) = lim_T→+∞ (1 / T) ∫_-T/2^T/2 A cos(2πf₀t + φ) A cos(2πf₀(t - τ) + φ) dt

Nous utilisons l'identité trigonométrique :
cos(a) cos(b) = (1/2) [cos(a + b) + cos(a - b)]

En posant a = 2πf₀t + φ et b = 2πf₀(t - τ) + φ :

a + b = 2πf₀t + φ + 2πf₀t - 2πf₀τ + φ = 4πf₀t - 2πf₀τ + 2φ

a - b = 2πf₀t + φ - (2πf₀t - 2πf₀τ + φ) = 2πf₀τ

Donc :

R_x(τ) = lim_T→+∞ (A² / 2T) ∫_-T/2^T/2 [cos(4πf₀t - 2πf₀τ + 2φ) + cos(2πf₀τ)] dt

L'intégrale de la première partie (dépendante de 't') sur une période entière tend vers zéro pour T suffisamment grand.

Il reste :

R_x(τ) = lim_T→+∞ (A² / 2T) ∫_-T/2^T/2 cos(2πf₀τ) dt

R_x(τ) = lim_T→+∞ (A² / 2T) [t cos(2πf₀τ)]_-T/2^T/2

R_x(τ) = lim_T→+∞ (A² / 2T) [ (T/2) cos(2πf₀τ) - (-T/2) cos(2πf₀τ) ]

R_x(τ) = lim_T→+∞ (A² / 2T) [ T cos(2πf₀τ) ]

R_x(τ) = (A² / 2) cos(2πf₀τ)

Ce résultat montre que l'autocorrélation d'un signal sinusoïdal est elle-même une sinusoïde de même fréquence, dont l'amplitude est A²/2. Notez que R_x(0) = A²/2, ce qui correspond à la puissance moyenne du signal.

2. Convolution

La convolution est une opération mathématique qui exprime comment la forme d'une fonction est modifiée par une autre fonction. Dans le traitement du signal, elle décrit la réponse d'un système linéaire et invariant dans le temps (LTI) à un signal d'entrée, où la deuxième fonction est la réponse impulsionnelle du système.

L'opération de convolution de deux signaux x(t) et y(t) est notée (x * y)(t) et est définie par :

(x * y)(t) = ∫_-∞^+∞ x(τ) y(t - τ) dτ

où τ est une variable d'intégration muette.

Exercice 3 : Convolution avec une Impulsion de Dirac

La fonction impulsion de Dirac, notée δ(t), est une fonction idéalisée de largeur nulle et d'amplitude infinie, dont l'intégrale est égale à 1.

Propriété fondamentale de la convolution avec Dirac :

Lorsqu'un signal x(t) est convolué avec une impulsion de Dirac δ(t), le résultat est le signal original x(t).

(x * δ)(t) = ∫_-∞^+∞ x(τ) δ(t - τ) dτ = x(t)

Lorsqu'il est convolué avec une impulsion de Dirac décalée δ(t - t₀), le résultat est le signal original x(t) décalé de t₀.

(x * δ(t - t₀))(t) = ∫_-∞^+∞ x(τ) δ(t - τ - t₀) dτ = x(t - t₀)

Cette propriété est cruciale car elle signifie que l'impulsion de Dirac agit comme un élément neutre (identité) pour la convolution, en termes de forme du signal. Un décalage de l'impulsion de Dirac décale le signal.

Exercice 4 : Convolution de Signaux Rectangulaires

Considérons la convolution de deux fonctions rectangulaires identiques. Soit x(t) = y(t) = Rect(t/T), où Rect(u) = 1 pour |u| < 1/2 et 0 sinon.

La fonction Rect(t/T) est égale à 1 pour -T/2 < t < T/2 et 0 ailleurs.

La convolution (x * y)(t) = ∫_-∞^+∞ x(τ) y(t - τ) dτ

Le calcul se fait en analysant les différentes plages de t où les fonctions x(τ) et y(t-τ) se chevauchent :

Cas 1 : t < -T
Les deux fonctions ne se chevauchent pas. Le résultat de la convolution est 0.
Cas 2 : -T ≤ t < 0
Les fonctions commencent à se chevaucher. L'intégrale correspond à une rampe linéaire ascendante.
Cas 3 : 0 ≤ t < T
Les fonctions se chevauchent et la surface de chevauchement diminue. L'intégrale correspond à une rampe linéaire descendante.
Cas 4 : t ≥ T
Les fonctions ne se chevauchent plus. Le résultat de la convolution est 0.

Le résultat de la convolution de deux fonctions rectangulaires identiques est une fonction triangulaire. Plus précisément, si x(t) = Rect(t/T), alors (x * x)(t) = T × Tri(t/T), où Tri(u) est une fonction triangulaire centrée à 0, de largeur 2T et de hauteur 1 à u=0.

Exercice 5 : Convolution avec un Signal Exponentiel

Considérons la convolution de deux signaux, par exemple x(t) = A e^-αt u(t) et y(t) = u(t), où u(t) est la fonction échelon unité (u(t)=1 pour t≥0, 0 sinon).

La convolution (x * y)(t) = ∫_-∞^+∞ x(τ) y(t - τ) dτ

Puisque x(τ) est non nul seulement pour τ ≥ 0 et y(t-τ) est non nul seulement pour t-τ ≥ 0 (c'est-à-dire τ ≤ t), l'intégrale est non nulle uniquement pour t ≥ 0 et l'intégration se fait de 0 à t.

Pour t ≥ 0 :
(x * y)(t) = ∫₀^t A e^-ατ × 1 dτ

= A [- (1/α) e^-ατ]₀^t

= A [-(1/α) e^-αt - (-(1/α) e⁰)]

= A (1/α) (1 - e^-αt)

Donc, (x * y)(t) = (A/α) (1 - e^-αt) u(t).

Foire Aux Questions (FAQ)

Quelle est la différence entre l'énergie et la puissance d'un signal ?

L'énergie d'un signal est l'intégrale de son carré d'amplitude sur tout le temps. Un signal à énergie finie a une énergie totale finie (par exemple, un impulsion courte), mais sa puissance moyenne est nulle. Inversement, un signal à puissance finie (par exemple, un signal sinusoïdal continu) a une puissance moyenne finie, mais son énergie totale est infinie.

Dans quels domaines l'autocorrélation est-elle utilisée ?

L'autocorrélation est largement utilisée dans le traitement du signal et de l'image pour la détection de périodes (analyse de signaux audio, reconnaissance vocale), la compression de données, le radar (mesure de distance et vitesse), la sismologie pour détecter des échos, et en économétrie pour analyser les séries temporelles afin de trouver des dépendances passées.

Quelle est l'importance de la fonction de Dirac en théorie du signal ?

La fonction de Dirac est fondamentale car elle permet de modéliser des événements instantanés (comme une impulsion très courte) et sert de base pour définir la réponse impulsionnelle des systèmes LTI. La convolution avec la fonction de Dirac est une opération clé qui met en évidence la réponse d'un système à une entrée spécifique, et elle simplifie de nombreux calculs théoriques en agissant comme un "opérateur d'échantillonnage" ou de décalage.