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Télécharger PDFTraitement du signal : Exercices et Concepts Fondamentaux
Ce document explore des concepts clés du traitement du signal, incluant les systèmes linéaires, le filtrage, l'échantillonnage et les distributions. Une attention particulière doit être portée sur la justification des calculs. Un résultat exact non justifié sera considéré comme partiellement faux.
1. Systèmes Linéaires Invariants dans le Temps (SLIT)
Soit un système S de réponse impulsionnelle h(t) formé par deux systèmes en cascade dont les réponses impulsionnelles sont h1(t) = e-tΓ(t) et h2(t) = e-2tΓ(t).
a) Expression de la réponse impulsionnelle h(t)
Pour des systèmes en cascade, la réponse impulsionnelle globale h(t) est la convolution des réponses impulsionnelles individuelles h1(t) et h2(t).
b) Stabilité du système S
Démontrer que le système S est stable. Un système est stable si son intégrale de réponse impulsionnelle est absolument intégrable, c'est-à-dire si ∫-∞+∞ |h(t)| dt < ∞.
c) Sortie y(t) pour un signal porte
Si x(t) est un signal porte de largeur T, donner l'expression de la sortie y(t). La sortie y(t) d'un SLIT est la convolution du signal d'entrée x(t) avec la réponse impulsionnelle h(t).
2. Analyse de Filtres
Soit un filtre de réponse impulsionnelle h(t) = e-|t|.
a) Calcul de la réponse fréquentielle
Calculer la réponse fréquentielle de ce filtre. La réponse fréquentielle H(f) est la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle h(t).
b) Relation entre les densités spectrales
Si x(t) est le signal d'entrée de ce filtre et y(t) le signal de sortie, donner la relation entre les densités spectrales de x(t) et y(t). En régime linéaire, la densité spectrale de puissance de sortie est liée à celle d'entrée par le module carré de la fonction de transfert du filtre.
c) Sortie pour un signal périodique
Si x(t) est un signal périodique de période T, démontrer que y(t) est de la forme :
y(t) = Somme pour n allant de -infini à +infini de cnhnei2πnt/T
et donner l'expression de hn. Pour un signal périodique, la sortie du filtre peut être exprimée comme une somme de composantes harmoniques, où chaque harmonique est modulée par la réponse en fréquence du filtre à cette fréquence.
3. Échantillonnage et Reconstruction
a) Transformée de Fourier du peigne de Dirac
Soit m(t) un peigne de Dirac de période Te. En décomposant m(t) en série de Fourier, montrer que la transformée de Fourier de M(t) au sens des distributions s'écrit :
M(f) = (1/Te) * Somme pour n entier relatif de delta(f - n/Te)
Le peigne de Dirac est une succession d'impulsions à intervalles réguliers, et sa transformée de Fourier est également un peigne de Dirac dans le domaine fréquentiel.
b) Signal échantillonné temporel
Soit x(t) un signal dont la transformée de Fourier est à support borné telle que Fmax ≤ 1/(2Te) (critère de Nyquist corrigé). On définit xe(t) = m(t) · x(t). Montrer que :
xe(t) = Somme pour n entier relatif de x(n Te)delta(t - n Te)
Ce résultat montre que le signal échantillonné temporel est une suite d'impulsions de Dirac pondérées par les valeurs du signal original aux instants d'échantillonnage.
c) Transformée de Fourier du signal échantillonné
Donner l'expression de Xe(f) la transformée de Fourier de xe(t) et réaliser un schéma représentant Xe(f) en fonction de X(f). La transformée de Fourier du signal échantillonné est une périodisation du spectre du signal original.
d) Reconstruction du signal
En utilisant un filtrage passe-bas idéal, montrer que :
x(t) = (1/Te) * Somme pour n entier relatif de x(n Te)sinc(pi/Te * (t - n Te))
Un filtre passe-bas idéal permet de récupérer le signal original à partir de son échantillonnage, à condition que le critère de Nyquist ait été respecté. Cette formule représente la reconstruction par interpolation à l'aide de fonctions sinus cardinal (sinc).
4. Distributions et Transformée de Fourier
Soit x(t) = cos(2πf0t).
a) Fonction généralisée associée
Donner l'expression de la fonction généralisée Dx associée à x(t). Une fonction généralisée, ou distribution, permet de manipuler des fonctions qui ne sont pas classiques, comme les impulsions de Dirac.
b) Dérivée de la distribution
Donner l'expression de la dérivée de Dx. La dérivation des distributions est définie par dualité avec la dérivation des fonctions tests.
c) Transformée de Fourier au sens des distributions
Calculer la transformée de Fourier au sens des distributions de Dx. Donner la démonstration. La transformée de Fourier des distributions étend la notion de transformée de Fourier à des fonctions qui n'ont pas de transformée classique, comme les signaux périodiques.
FAQ sur le Traitement du Signal
Qu'est-ce qu'une réponse impulsionnelle et à quoi sert-elle ?
La réponse impulsionnelle h(t) d'un système caractérise la manière dont ce système réagit à une impulsion de Dirac en entrée. Elle est fondamentale car elle permet de déterminer la sortie de n'importe quel signal d'entrée par convolution, offrant ainsi une description complète du comportement dynamique du système.
Quelle est l'importance de la transformée de Fourier en traitement du signal ?
La transformée de Fourier permet de passer de la représentation temporelle d'un signal à sa représentation fréquentielle. Elle est cruciale pour analyser le contenu spectral des signaux (fréquences présentes et leurs amplitudes), concevoir des filtres et comprendre des phénomènes comme l'échantillonnage et la modulation.
Qu'est-ce que le critère de Nyquist en échantillonnage ?
Le critère de Nyquist stipule que pour pouvoir reconstruire parfaitement un signal analogique à partir de ses échantillons, la fréquence d'échantillonnage (Fe) doit être au moins le double de la fréquence maximale (Fmax) présente dans le signal original (Fe ≥ 2Fmax). Le non-respect de ce critère entraîne le phénomène d'aliasing (repliement de spectre).