Td 1 traitement du signal -Traitement de signal

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Série 1: Traitement du signal (Année 2019-2020)

Exercice 1: Analyse d'un signal carré TTL

Soit x(t) un signal carré logique TTL (état bas: 0V ; état haut : 5V) de rapport cyclique 1/2 et de période T = 0,1s.

Calculer la valeur moyenne et la valeur efficace d’un signal carré, compris entre 0 et 5V, de rapport cyclique 1/2.
Calculer son énergie sur une période. En déduire son énergie totale.
Calculer sa puissance moyenne et sa puissance totale.

Clarification : Le rapport cyclique de 1/2 signifie que le signal passe la moitié de sa période à l'état haut et l'autre moitié à l'état bas.

Exercice 2: Analyse d'un signal sinusoïdal

Soit le signal sinusoïdal d’amplitude A, défini par : s(t) = A sin(ωt).

Calculer : la valeur moyenne du signal, l’énergie du signal, la valeur efficace et la fonction d’autocorrélation.

Rappel : Pour un signal sinusoïdal, l'énergie et la puissance totale peuvent dépendre des limites d'intégration. En l'absence de spécification, il est souvent considéré sur une période pour la puissance moyenne.

Exercice 3: Convolution et autocorrélation d'un signal par morceaux

On considère le signal s(t) défini par : s(t) = 1 si t < 1/2, et s(t) = 0 si t ≥ 1/2.

Calculer y(t) = s(t) * s(t) (convolution).
En déduire la fonction d’autocorrélation Css(t) de s(t).
Que représente Css(0) ?

Exercice 4: Signal émis, réfléchi et intercorrélation

Soit un émetteur-récepteur dont le signal émis a pour expression s(t) = a * exp(-at) * Γ(t) avec a réel positif et Γ(t) le signal échelon (fonction de Heaviside).

Montrer que s(t) est un signal à énergie finie.
Après émission, ce signal est réfléchi par une cible de distance d de l’émetteur-récepteur. À la réception, le signal a pour expression y(t) = a * exp(-a(t-5)) * Γ(t-5). Calculer l’intercorrélation Cys(τ) = <y(t), s(t-τ)>, entre les signaux y(t) et s(t). Tracer Cys(τ) et commenter.
Sachant que le signal se propage avec la vitesse de 300 m/s. Calculer la distance entre la cible et le système d’émission-réception.

Note : L'intercorrélation permet de mesurer la similarité entre deux signaux en fonction du décalage temporel (τ).

Exercice 5: Série de Fourier d'un signal périodique rectangulaire

On considère le signal s(t) périodique, dont le motif élémentaire sur une période est défini par : s(t) = 1 pour -T/2 < t < T/2, et s(t) = 0 pour les autres valeurs de t sur une période.

Déterminer les coefficients de la série de Fourier correspondant au signal s(t).

Rappel : La série de Fourier décompose un signal périodique en une somme de sinus et cosinus.

Exercice 6: Série de Fourier et spectre d'un signal exponentiel

Soit le signal périodique s(t) donné par la répétition d’un motif élémentaire dont l’expression est e^-t.

Donner l’expression des coefficients en série de Fourier a₀, a_n et b_n. Donner l’expression du développement de s(t) en série de Fourier.
Déterminer l’expression du spectre d’amplitude et donner une représentation du spectre des raies.
Déterminer l’expression de l’erreur commise sur la restitution de la puissance, en ne considérant que les 4 premières harmoniques et pour T = 1s.

Précision : Le "motif élémentaire dont l’expression est e^-t" implique que ce motif est défini sur une certaine période, par exemple [0, T], puis répété.

Exercice 7: Opérateur quadratique et transformée de Fourier

Un opérateur quadratique est un opérateur qui, à un signal x(t), répond par un signal y(t) = x²(t).

Montrer que ce dispositif n’est pas un système linéaire invariant.
Exprimer la Transformée de Fourier Y(f) de y(t) en fonction de X(f).
Dans l’hypothèse où x(t) = x₀ exp(-a|t|), x₀ et a ∈ R⁺, calculer Y(f). Vérifier que Y(f) a la même forme que X(f).

Explication : Un système linéaire invariant (LTI) satisfait les propriétés de linéarité (additivité et homogénéité) et d'invariance temporelle.

Exercice 8: Analyse d'un signal avec Transformée de Fourier fonction porte

On considère un signal x(t) dont la Transformée de Fourier (T.F.) est X(f) = A * Π(f/B), où A et B sont des constantes positives et Π est la fonction porte de support [-1/2; 1/2].

Déterminer x(t). Ce signal est-il à énergie finie ?
Déterminer A pour que l'énergie de x(t) soit égale à 1. On prendra cette valeur dans la suite.
On pose y(t) = dx(t)/dt. Calculer la T.F. de y(t). Calculer l'énergie de y(t).
Calculer la densité interspectrale d'énergie S_yx de y(t) et x(t). En déduire la valeur R_xy(0) de la fonction d'intercorrélation en 0.

Conseil : La fonction porte (rect) est une fonction qui vaut 1 sur un intervalle donné et 0 ailleurs.

FAQ sur le Traitement du Signal

Qu'est-ce que la valeur efficace d'un signal ?

La valeur efficace, ou RMS (Root Mean Square), d'un signal représente l'amplitude d'un courant continu qui produirait le même transfert de puissance thermique dans une résistance que le signal alternatif étudié. Elle est particulièrement utile pour caractériser la "force" d'un signal variable dans le temps, comme le courant électrique alternatif.

Pourquoi utilise-t-on la série de Fourier dans le traitement du signal ?

La série de Fourier permet de décomposer tout signal périodique en une somme de signaux sinusoïdaux de fréquences et d'amplitudes différentes. Cette décomposition est fondamentale car elle révèle le contenu fréquentiel du signal (son "spectre"), ce qui est crucial pour l'analyse, la conception de filtres, la compression et la transmission des signaux.

Quelle est l'importance de l'autocorrélation et de l'intercorrélation ?

L'autocorrélation mesure la similarité d'un signal avec une version de lui-même décalée dans le temps, aidant à identifier les périodicités ou les composantes aléatoires. L'intercorrélation, quant à elle, mesure la similarité entre deux signaux différents en fonction d'un décalage temporel. Ces outils sont essentiels pour la détection de motifs, la synchronisation, la mesure de retards de propagation et l'extraction de signaux enfouis dans le bruit.