Tp 2 signal numerique echantillonnage et quantification -Tra
Télécharger PDFTP 2 : Signal Numérique : Échantillonnage et Quantification
Objectifs du TP
Le but de cette manipulation est d’étudier l’effet de l’échantillonnage et de la quantification sur les signaux sinusoïdaux. Les calculs sont basés sur l’utilisation de la transformée de Fourier discrète (DFT) à travers l’algorithme de la transformée de Fourier rapide (FFT).
Introduction à la Numérisation de Signal
La numérisation est le passage d'un signal analogique continu x(t) à un signal numérique converti en binaire. Elle se décompose en deux étapes principales :
1. L'Échantillonnage
L’échantillonnage consiste à prélever régulièrement des échantillons {xk} du signal x(t). La suite {xk} est également appelée signal numérique ou signal à temps discret.
2. La Quantification
La quantification consiste à transformer ces échantillons {xk} en nombres binaires, en les représentant par un nombre limité de valeurs discrètes.
Pour réaliser un calcul de transformée de Fourier discrète (TFD) d’un signal, il faut d’abord définir un axe temporel (t) à partir de la durée d’enregistrement Tmax et de la fréquence d’échantillonnage Fe. Le pas d'échantillonnage est dt = 1/Fe. Le vecteur temporel t peut être défini comme t = [0 : dt : Tmax - dt].
La variable t, ainsi créée, comporte N = Tmax × Fe (nombre d'échantillons) valeurs différentes du temps.
La transformée de Fourier discrète est implémentée sous MATLAB par la fonction fft. Dans cette implémentation, le calcul de la transformée de Fourier ne suppose pas a priori connues les coordonnées temporelles du signal. Par conséquent, il ne faudra pas oublier de diviser le résultat par N (nombre d'échantillons) pour le normaliser. La syntaxe de la commande est : y = fft(x).
La transformée de Fourier discrète du signal x est calculée et est retournée dans le vecteur y. Cette TFD est une fonction de la fréquence f. On peut la calculer pour chaque valeur de la fréquence f comprise dans la bande [0, Fe/2] pour les signaux réels.
Exercice 1 : Échantillonnage et Quantification
1.1. Échantillonnage d’un signal sinusoïdal
On considère le signal sinusoïdal causal à temps continu suivant :
x(t) = A sin(ω0t + ϕ)
Où ω0 = 2πf0 est la pulsation et ϕ est la phase. Pour obtenir un signal à temps discret, on échantillonne x(t) avec une fréquence d’échantillonnage Fe.
Valeurs numériques à prendre : f0 = 50 Hz, A = 2, ϕ = π/2.
- Tracez x[n] sur une durée de 100 ms pour les fréquences d’échantillonnage suivantes : Fe = 75 Hz, Fe = 150 Hz, Fe = 1 kHz.
- Précisez pour chaque valeur de Fe si la condition de Shannon-Nyquist est vérifiée et commentez à partir de l’allure des figures. Que concluez-vous ?
Explication : La condition de Shannon-Nyquist stipule que la fréquence d'échantillonnage Fe doit être au moins le double de la fréquence maximale du signal fmax (Fe ≥ 2fmax) pour éviter le repliement de spectre (aliasing).
1.2. Somme de signaux sinusoïdaux à différentes fréquences
Nous allons étudier l’influence de la durée d’enregistrement et de la fréquence d’échantillonnage d’un signal sur son spectre. Pour cela, nous allons choisir trois signaux sinusoïdaux de fréquences différentes et tester ces effets sur leurs spectres d’amplitudes.
Les signaux à échantillonner sont définis par :
x1(t) = cos(2πf1t + π/4)
x2(t) = cos(2πf2t)
x3(t) = cos(2πf3t + π/3)
avec les fréquences f1=43 Hz, f2=107 Hz et f3=125 Hz. La fréquence d’échantillonnage étant Fe=1 kHz.
Le signal composite est x(t) = x1(t) + x2(t) + x3(t).
- Calculez la FFT de chaque signal échantillonné.
- Représentez le module de la transformée de Fourier discrète (TFD) de chaque signal échantillonné. Que concluez-vous ?
- Calculez les spectres d’amplitude de
x(t) = x1(t) + x2(t) + x3(t)pour les fréquences d’échantillonnage Fe=200 Hz, 300 Hz, 1000 Hz. Précisez pour chaque valeur de Fe si la condition de Shannon-Nyquist est respectée et commentez à partir de l’allure des figures. Que concluez-vous ?
1.3. Quantification d'un signal
Nous allons voir maintenant l’influence de la quantification sur les signaux. Testez le programme suivant (permettant d’échantillonner et de quantifier un signal sinusoïdal de la forme x(t) = sin(2πft)).
f=50;
t=0:1/100/f:1/f;
x=sin(2*pi*f*t);
subplot(311);
plot(t,x);
title('Analog Signal x(t)')
xlabel('t');
ylabel('x(t)');
% Échantillonnage
n=50; % Nombre d'échantillons
xs = sin(2*pi*(0:n)/n);
subplot(312);
stem((0:n),xs);
title('Sampled Signal x[n]')
xlabel('n');
ylabel('x[n]');
% Quantification
B=3;
xs(xs>=1)=(1-eps);
xq=floor((xs+1)*2^(B-1));
xq=xq/(2^(B-1));
xq=xq-(2^(B)-1)/2^(B);
subplot(313);
plot((0:n),xq);
title('Quantized Signal xq[n]')
xlabel('n');
ylabel('xq[n]');- Changez n et commentez les résultats obtenus.
- Effectuez la quantification pour différents B que vous choisirez (ex : 2, 5, 10,...).
- Vérifiez l’allure des transformées de Fourier de ce signal selon la discrétisation.
- Quelle quantification vous semble convenir ?
- Changez l’entrée x en un signal différent, comme un signal exponentiel, et vérifiez les résultats.
Exercice 2 : Échantillonnage Avancé
On considère le signal avec f0 = 5 Hz. Ce signal sera étudié dans l’intervalle temporel [-2, 2]. Pour simuler sous Matlab le signal réel, on va représenter x(t) dans l’intervalle temporel [-2,2] avec un pas très fin. Définissez le domaine temporel t=[-2, 2] avec un pas T0 = 0.001.
- Représentez le signal x(t).
2.1. Échantillonnage idéal
- Échantillonnez x(t) et représentez le signal échantillonné pour trois fréquences d'échantillonnage Fe différentes (y compris 5 Hz). On tracera les trois signaux sur une même fenêtre graphique mais avec des axes différents.
- Commentez vos résultats. Quelle condition la fréquence d’échantillonnage doit-elle respecter ?
2.2. Échantillonnage réel
On cherche maintenant à réaliser un échantillonnage réel du signal à l'aide d'un échantillonneur moyenneur. La valeur d'un échantillon est donnée par une intégrale sur un intervalle de moyennage.
On utilisera une méthode approchée pour évaluer l'intégrale.
- Tracez et comparez plusieurs signaux échantillonnés en fonction de la période d'échantillonnage Te et de la largeur ΔT de l'intervalle de moyennage (en utilisant le code Matlab ci-dessous).
- Commentez vos résultats et proposez une conclusion sur la qualité de l'échantillonnage en fonction de ces deux paramètres.
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce que la numérisation d'un signal ?
La numérisation d'un signal est le processus de conversion d'un signal analogique (continu dans le temps et en amplitude) en un signal numérique (discret dans le temps et en amplitude). Elle se fait en deux étapes principales : l'échantillonnage et la quantification.
Quelle est la condition de Shannon-Nyquist ?
La condition de Shannon-Nyquist (ou théorème d'échantillonnage) stipule que la fréquence d'échantillonnage (Fe) doit être au moins le double de la fréquence maximale (Fmax) présente dans le signal analogique (Fe ≥ 2*Fmax) pour pouvoir reconstruire fidèlement le signal original et éviter le phénomène de repliement de spectre (aliasing).
Quel est l'impact du nombre de bits en quantification ?
Le nombre de bits (B) utilisé pour la quantification détermine le nombre de niveaux d'amplitude possibles pour représenter chaque échantillon. Un plus grand nombre de bits (par exemple, B=10 au lieu de B=3) permet une représentation plus fine du signal, réduisant ainsi l'erreur de quantification et améliorant la fidélité du signal numérique par rapport à l'original analogique.