Tp 2 transformation de fourier et filtrage -Traitement de si
Télécharger PDFTP2 : Transformation de Fourier et Filtrage
Ce rapport présente les résultats d'un Travaux Pratiques (TP) sur la Transformation de Fourier et le Filtrage de signaux. Il a été réalisé par Ayat AMOKRANE et Fatima Zahra BOUHARBA, sous la supervision du Pr A.SLIMANI.
Manip 1 : Mise en évidence des caractéristiques de la Transformation de Fourier (TF)
1. Signal cosinus
Nous avons généré un signal cosinus sur l'intervalle temporel [0, 255] avec une fréquence fondamentale F1 = 1/32 Hz et une fréquence d'échantillonnage Fe = 800 Hz. La Transformée de Fourier d'un cosinus de fréquence f₀ est représentée par une somme de deux impulsions de Dirac, centrées en f₀ et -f₀.
La formule théorique est : TF(cos(2π * 1/32 * t)) = 1/2 * [δ(f - 1/32) + δ(f + 1/32)].
L'implémentation logicielle a permis de visualiser le signal temporel et son spectre en fréquence, montrant clairement les deux impulsions de Dirac pour la fréquence du cosinus.
En répétant l'expérience avec un signal sinus de fréquence 1/50 Hz, des résultats similaires ont été obtenus, les spectres présentant des impulsions de Dirac aux fréquences positives et négatives correspondantes, bien que leur phase différât de celle du cosinus.
La somme des deux signaux (cosinus et sinus) a ensuite été étudiée. Le spectre du signal résultant est la somme des spectres individuels, illustrant la propriété de linéarité de la Transformation de Fourier. Cela se traduit par l'apparition de quatre impulsions distinctes dans le domaine fréquentiel, correspondant aux fréquences des deux signaux originaux.
2. Signal gaussien
Nous avons calculé la Transformée de Fourier d'un signal gaussien. L'application de la fonction fftshift est essentielle pour centrer le spectre autour de la fréquence zéro (composante continue ou DC) pour une visualisation correcte et une interprétation intuitive des fréquences positives et négatives.
L'affichage du spectre a montré la forme caractéristique en cloche, typique de la Transformée de Fourier d'un signal gaussien, qui est également une gaussienne. Cette propriété illustre la dualité remarquable entre les domaines temporel et fréquentiel pour cette fonction.
Ensuite, les différentes composantes de la Transformée de Fourier ont été représentées : la partie réelle, la partie imaginaire, le module (qui représente l'amplitude de chaque composante fréquentielle) et la phase (qui décrit le déphasage de chaque composante fréquentielle).
3. Signal gaussien avec un écart-type modifié
Une nouvelle expérience a été menée en prenant un écart-type de 14 pour le signal gaussien. On constate que lorsque l'écart-type d'un signal gaussien dans le domaine temporel augmente, la largeur de ce signal dans le domaine temporel augmente également. Inversement, sa Transformée de Fourier devient plus étroite dans le domaine fréquentiel, ce qui illustre le principe d'incertitude temps-fréquence : plus un signal est étendu dans le temps, plus son spectre est concentré en fréquence, et vice-versa.
L'étude a également mis en évidence les propriétés de décalage temporel et fréquentiel. Un décalage temporel entre deux signaux gaussiens (Sg et Sg1) dans le domaine temporel se traduit par une modification de la phase de leurs Transformées de Fourier. Réciproquement, une modulation fréquentielle dans le domaine temporel (multiplication par une exponentielle complexe) correspond à un décalage fréquentiel dans le domaine de Fourier, comme observé entre fft(Sg) et fft(Sg1).
4. Signal rectangulaire
La Transformée de Fourier d'un signal rectangulaire (ou fonction porte) a été étudiée. Son spectre est une fonction de type sinus cardinal (sinc).
Ensuite, nous avons examiné le produit d'un signal cosinus par une fonction porte. Les résultats obtenus étaient en accord avec le théorème du produit de convolution : la multiplication de deux signaux dans le domaine temporel correspond à la convolution de leurs Transformées de Fourier dans le domaine fréquentiel. Dans ce cas, le spectre du cosinus (composé de deux impulsions de Dirac) est convolué avec le spectre de la porte (un sinc), résultant en deux fonctions sinc centrées autour des fréquences du cosinus.
Pour différentes largeurs de la fonction porte (par exemple, 20 et 10), le signal en dehors de l'intervalle de la porte tend vers 0. Le signal rectangulaire joue ainsi le rôle d'un filtre temporel, isolant une section du signal original. En conséquence, il agit comme un filtre spectral, modifiant le contenu fréquentiel du signal.
5. Signal bruité
Un signal sinusoïdal a été généré et altéré par l'ajout de bruit aléatoire. L'observation du signal dans le domaine temporel a montré qu'il est difficile de reconnaître la sinusoïde originale à cause de la présence du bruit, qui masque sa structure périodique.
L'analyse fréquentielle du signal bruité révèle que le bruit, en distribuant de l'énergie sur un large éventail de fréquences, rend les pics correspondant à la sinusoïde beaucoup moins distincts et difficiles à identifier.
Pour une valeur spécifique du paramètre de bruit (par exemple, ε = 4), l'impact du bruit sur la reconnaissance du signal a été confirmé. Une augmentation du bruit rend la sinusoïde d'autant plus difficile à extraire visuellement ou par simple analyse fréquentielle.
Manip 2 : Détramage d’un signal
Le détramage d'un signal est une opération de traitement visant à supprimer une trame indésirable (un motif répétitif ou du bruit structuré) qui s'est superposée au signal d'intérêt, afin de restaurer la qualité du signal original.
1. Visualisation du signal pur et du signal altéré
Sur un même graphe, nous avons tracé le signal "pur" (original) et le signal "tramé" (altéré par la trame indésirable). Cette visualisation a permis de constater directement l'effet de la trame sur le signal, qui devient plus complexe et moins lisible.
2. Analyse fréquentielle du signal altéré
La Transformée de Fourier du signal tramé a été calculée. Le spectre obtenu a clairement mis en évidence trois fréquences principales : celle du signal utile et deux autres fréquences correspondant à la trame ou au bruit sinusoïdal qui a été intentionnellement ajouté. L'identification de ces fréquences indésirables est une étape cruciale pour le filtrage.
3. Filtrage pour l'élimination des fréquences indésirables
Grâce à l'application de techniques de filtrage numérique (par exemple, un filtre coupe-bande ou passe-bande judicieusement conçu), nous avons réussi à éliminer ces fréquences indésirables, identifiées précédemment dans le spectre. Le signal résultant, après application de la Transformée de Fourier inverse, est un signal "détramé", dont l'apparence est significativement plus proche de celle du signal pur original, démontrant ainsi l'efficacité du filtrage en domaine fréquentiel pour le débruitage et la suppression de motifs indésirables.
Foire Aux Questions (FAQ) sur la Transformation de Fourier et le Filtrage
Qu'est-ce que la Transformation de Fourier ?
La Transformation de Fourier est un outil mathématique qui décompose un signal en ses fréquences constitutives. Elle permet de passer du domaine temporel (où le signal est représenté en fonction du temps) au domaine fréquentiel (où le signal est représenté en fonction de ses fréquences et amplitudes). C'est essentiel pour analyser les composants harmoniques d'un signal, comme le son ou les ondes électromagnétiques.
Pourquoi utilise-t-on fftshift en analyse fréquentielle ?
La fonction fftshift (Fast Fourier Transform Shift) est utilisée pour réorganiser les sorties d'une Transformée de Fourier rapide (FFT). Par défaut, la FFT place la composante de fréquence nulle (DC, ou fréquence continue) aux bords de l'intervalle de fréquence calculé. fftshift décale cette composante au centre du spectre, rendant la visualisation et l'interprétation des fréquences positives et négatives plus intuitives et symétriques autour de zéro.
Comment un signal rectangulaire peut-il jouer le rôle de filtre ?
Un signal rectangulaire, souvent appelé "fenêtre rectangulaire" ou "fonction porte", agit comme un filtre temporel. Lorsqu'il est multiplié par un autre signal, il isole une portion spécifique de ce signal, annulant tout ce qui se trouve en dehors de sa durée. Dans le domaine fréquentiel, cette multiplication temporelle correspond à une convolution avec la Transformée de Fourier de la fonction porte (un sinus cardinal). Cette convolution modifie le spectre du signal original, ce qui est une forme de filtrage spectral, permettant par exemple d'atténuer certaines fréquences.