Exercices signal et images formulaire -Traitement de signal

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FORMULAIRE POUR LA THÉORIE DU SIGNAL

Par Christian JUTTEN, Laboratoire GIPSA, Département Signal et Images (CNRS, INPG, UJF), Grenoble, France.

1. FORMULES TRIGONOMÉTRIQUES

1.1. Somme et différence d’angles

• &sin;(α + β) = &sin;α &cos;β + &cos;α &sin;β,
• &sin;(α − β) = &sin;α &cos;β − &cos;α &sin;β,
• &cos;(α + β) = &cos;α &cos;β − &sin;α &sin;β,
• &cos;(α − β) = &cos;α &cos;β + &sin;α &sin;β.

1.2. Expression en fonction des angles doubles

• 2 &sin;²α = 1 − &cos; 2α,
• 2 &cos;²α = 1 + &cos; 2α,
• 2 &sin;α &cos;α = &sin; 2α.

1.3. Produits de fonctions trigonométriques

• 2 &sin;α &sin;β = &cos;(α − β) − &cos;(α + β),
• 2 &cos;α &cos;β = &cos;(α − β) + &cos;(α + β),
• 2 &sin;α &cos;β = &sin;(α − β) + &sin;(α + β).

1.4. Somme et différence de fonctions trigonométriques

• &sin;α + &sin;β = 2 &sin;[(α + β)/2] &cos;[(α − β)/2],
• &sin;α − &sin;β = 2 &sin;[(α − β)/2] &cos;[(α + β)/2],
• &cos;α + &cos;β = 2 &cos;[(α + β)/2] &cos;[(α − β)/2],
• &cos;α − &cos;β = −2 &sin;[(α + β)/2] &sin;[(α − β)/2].

1.5. Formes exponentielles

• exp(jα) = &cos;α + j &sin;α, avec j² = −1,
• &sin;α = &frac;exp(jα) − exp(−jα)}{2j;},
• &cos;α = &frac;exp(jα) + exp(−jα)}{2;}.

1.6. Développements limités

• &sin;α = α − α³/3! + α⁵/5! … + (−1)^pα^2p+1/(2p + 1)! + …,
• &cos;α = 1 − α²/2! + α⁴/4! … + (−1)^pα^2p/(2p)! + …,
• exp α = 1 + α + α²/2! + … + α^k/k! + ….

2. MODÈLES MATHÉMATIQUES DE SIGNAUX

2.1. Signaux simples

• rect[(t−τ)/T] : fonction rectangle centrée sur τ, d’amplitude 1 et de largeur T (l’aire vaut T),
• tri[(t−τ)/T] : fonction triangle centrée sur τ, d’amplitude 1 et de largeur 2T (l’aire vaut T),
• δ(t) : distribution de Dirac, satisfaisant δ(t) = 0 pour t ≠ 0, et ∫_−∞^+∞ δ(t)dt = 1,
• sinc(u) = &sin;(πu) / (πu) : sinus cardinal de u (son aire vaut 1).

2.2. Opérateur de répétition

• rep_T(.) : répétition de . avec une période T,
• rep_T(x(t)) = ∑_k=−∞^+∞ x(t − kT),
• rep_T(δ(t)) = δ_T(t) = ∑_k=−∞^+∞ δ(t − kT) : peigne de Dirac.

2.3. Opérateur de convolution

Définition

• x(t) * y(t) = (x * y)(t) = ∫_−∞^+∞ x(t − v)y(v)dv,
• x(t) * y(t − t₀) = ∫_−∞^+∞ x(u)y(t − u − t₀)du = (x * y)(t − t₀),
• x(t) * y(at + b) = ∫_−∞^+∞ x(u)y(a(t − u) + b)du.

Propriétés

• Commutativité : x(t) * y(t) = y(t) * x(t),
• Associativité : [x(t)*y(t)]*z(t) = x(t)*[y(t)*z(t)] = x(t) * y(t) * z(t),
• Distributivité par rapport à l’addition : x(t) * [y(t) + z(t)] = x(t) * y(t) + x(t) * z(t).

2.4. Propriétés de la distribution de Dirac δ(t)

• x(t₀) = ∫_−∞^+∞ x(t)δ(t − t₀)dt,
• x(t) * δ(t) = x(t),
• x(t) * δ(t − t₀) = x(t − t₀),
• x(t − t₁) * δ(t − t₂) = x(t − t₁ − t₂),
• δ(at) = |a|⁻¹δ(t).

3. VALEUR MOYENNE TEMPORELLE, ÉNERGIE ET PUISSANCE

• ‾x = lim_T→+∞ &frac{1;T;} ∫_−T/2^+T/2x(t)dt : moyenne.

Signaux réels

• W_x = ∫_−∞^+∞ x²(t)dt : énergie,
• P_x = lim_T→+∞ &frac{1;T;} ∫_−T/2^+T/2x²(t)dt : puissance.

Signaux complexes

• W_x = ∫_−∞^+∞ |x(t)|²dt : énergie,
• P_x = lim_T→+∞ &frac{1;T;} ∫_−T/2^+T/2|x(t)|²dt : puissance.

4. REPRÉSENTATION VECTORIELLE

On considère des signaux x(t) et y(t) dans l’espace L₂(t₁, t₂).

4.1. Distance euclidienne

• d(x, y) = ‖x − y‖ = [∫_t1^t2|x(t) − y(t)|²dt]^1/2,
• d(x, y)² = ‖x‖² + ‖y‖² − 2ℜ ⟨x, y⟩,
• ‖x‖² = ∫_t1^t2|x(t)|²dt,
• ⟨x, y⟩ = ∫_t1^t2x(t)y^*(t)dt.

4.2. Inégalité de Schwartz

• |⟨x, y⟩|² ≤ ⟨x, x⟩ ⟨y, y⟩,
• |∫_t1^t2x(t)y^*(t)dt|² ≤ ∫_t1^t2|x(t)|²dt · ∫_t1^t2|y(t)|²dt.

4.3. Orthogonalité de x(t) et y(t)

• ⟨x, y⟩ = ∫_t1^t2x(t)y^*(t)dt = 0.

4.4. Développement sur une base orthogonale {ψ_k(t)}

• x(t) = ∑_k=1^+∞ α_kψ_k(t),
• α_k = &frac{1;λ_kk;} ∫_t1^t2x(t)ψ^*_k(t)dt,
• λ_kk = ⟨ψ_k, ψ_k⟩ = ‖ψ_k‖² = ∫_t1^t2|ψ_k(t)|²dt,
• ∫_t1^t2|x(t)|²dt = ∑_k=1^+∞ |α_k|²λ_kk.

4.5. Développement en séries de Fourier (DSF) dans L₂(t₁, t₁ + T)

On utilise ψ_k(t) = exp(j2πkTt).

• x(t) = ∑_k=1^+∞ α_k exp(j2πkTt),
• ‖ψ_k‖² = ∫_t1^t1+T |exp(j2πkTt)|²dt = T,
• α_k = &frac{1;T;} ∫_t1^t1+T x(t) exp(−j2πkTt)dt.

5. TRANSFORMÉES DE FOURIER

5.1. Transformée de fonctions sommables

Pour des fonctions x(t) bornées et absolument sommables (∫|x(t)|dt < +∞), on définit la transformée de Fourier (TF), notée X(f) :

• x(t) ↔ X(f) = ∫_−∞^+∞ x(t) exp(−j2πf t)dt.

De même, étant donnée X(f), on peut calculer x(t) par transformée de Fourier inverse :

• X(f) ↔ x(t) = ∫_−∞^+∞ X(f) exp(+j2πf t)df.

5.2. Notations

On notera :

• x(t) ↔ X(f),
• X(f) = F{x(t)} : transformée de Fourier,
• x(t) = F⁻¹{X(f)} : transformée de Fourier inverse.

5.3. Propriétés

• La TF est linéaire : ax(t) + by(t) ↔ aX(f) + bY(f).
• La TF conserve la parité.
• Si la fonction x(t) est réelle (imaginaire, resp.) paire, X(f) est imaginaire (réelle, resp.) impaire.

5.4. Règles de calculs

Soit une fonction x(t), telle que x(t) ↔ X(f).

• x(−t) ↔ X(−f) : retournement temporel,
• x^*(t) ↔ X^*(−f) : complexe conjuguée,
• x(at) ↔ |a|⁻¹X(f /a) : effet Doppler,
• x(t − t₀) ↔ X(f) exp(−j2πf t₀) : translation temporelle,
• x(t) exp(j2πf₀t) ↔ X(f−f₀) : translation en fréquence ou modulation,
• &frac;dⁿ}{dtⁿ;} x(t) ↔ (j2πf)ⁿX(f) : dérivation sur t.

Soient deux fonctions x(t) et y(t), telles que x(t) ↔ X(f) et y(t) ↔ Y(f), on montre le Théorème de Plancherel :

• x(t) * y(t) ↔ X(f)Y(f),
• x(t)y(t) ↔ X(f) * Y(f).

5.5. Transformées de Fourier de quelques signaux usuels

• rect(t/T) ↔ Tsinc(fT) : fonction rectangle,
• tri(t/T) ↔ Tsinc²(fT) : fonction triangle,
• exp(−at)ε(t) ↔ &frac{1;}{a+j2πf;} : impulsion exponentielle unilatérale,
• exp(−a|t|) ↔ &frac{2a;}{a²+(2πf)²;} : impulsion exponentielle double,
• exp(−πt²) ↔ exp(−πf²) : impulsion gaussienne,
• exp(−at) &sin;(2πf₀t)ε(t) ↔ &frac{2πf₀;}{(a+j2πf)²+(2πf₀)²;} : sinusoïde amortie,
• exp(−at) &cos;(2πf₀t)ε(t) ↔ &frac{a+j2πf₀;}{(a+j2πf)²+(2πf₀)²;} : cosinusoïde amortie.

5.6. Transformées de Fourier de distributions

• ε(t) ↔ &frac{1;}{j2πf;} + &frac{1;2;}δ(f) : échelon unité,
• sgn(t) ↔ &frac{1;}{jπf;} : fonction signe,
• δ(t) ↔ 1 : impulsion de Dirac,
• k ↔ kδ(f) : constante.

5.7. Transformée de Fourier de signaux à moyenne non nulle

• Soit x(t) = ‾x + x₀(t) où ‾x est la moyenne de x(t), on a F{x(t)} = F{x′₀(t)} + ‾xδ(f),
• ε(t) ↔ &frac{1;2;}δ(f) + &frac{1;}{j2πf;},
• sgn(t) ↔ &frac{1;}{jπf;}.

5.8. Transformées de Fourier de signaux périodiques

Soient deux signaux x(t) et y(t), périodiques de même période Δ.

5.8.1. Développement en séries de Fourier (DSF)

Les signaux étant périodiques, si les conditions de Dirichlet sont satisfaites, on peut calculer les DSF de x(t) et y(t) :

• x(t) = ∑_n=−∞^+∞ X_n exp(j2πnt/Δ), avec X_n = &frac{1;Δ;} ∫_−Δ/2^+Δ/2x(t) exp(−j2πnt/Δ)dt,
• y(t) = ∑_n=−∞^+∞ Y_n exp(j2πnt/Δ), avec Y_n = &frac{1;Δ;} ∫_−Δ/2^+Δ/2y(t) exp(−j2πnt/Δ)dt.

5.8.2. Transformées de Fourier

Les transformées de Fourier de signaux périodiques sont des spectres de raies, aux fréquences n/Δ, dont l’enveloppe spectrale est la transformée de Fourier d’une période du signal divisée par la période Δ.

• X(f) = ∑_n=−∞^+∞ X_nδ(f − n/Δ), avec X_n défini ci-dessus,
• Y(f) = ∑_n=−∞^+∞ Y_nδ(f − n/Δ), avec Y_n défini ci-dessus.

5.8.3. Transformées de signaux périodiques usuels

• &cos;(2πf₀t) ↔ &frac{1;2;}[δ(f + f₀) + δ(f − f₀)] : signal cosinusoïdal,
• &sin;(2πf₀t) ↔ &frac{j;2;}[δ(f + f₀) − δ(f − f₀)] : signal sinusoïdal,
• exp(j2πf₀t) ↔ δ(f − f₀) : phaseur à la fréquence f₀,
• ∑_kδ(t−kΔ) ↔ &frac{1;Δ;} ∑_nδ(f − n/Δ) : peigne de Dirac,
• δ_Δ(t) ↔ &frac{1;Δ;} δ_1/Δ(f) : peigne de Dirac avec les notations abrégées,
• ∑_n=−∞^+∞ X_n exp(j2πnt/Δ) ↔ ∑_n=−∞^+∞ X_nδ(f−n/Δ) : signal x(t) périodique,
• A rep_Δ{rect(t/θ)} ↔ ∑_n=−∞^+∞ X_nδ(f−n/Δ) avec X_n = Aθ/Δ sinc(nθ/Δ).

6. CORRÉLATIONS ET DENSITÉS SPECTRALES

6.1. Signaux à énergie finie

6.1.1. Auto- et inter-corrélation

• Auto-corrélation : Γ_xx(τ) = ∫_−∞^+∞ x(t)x^*(t − τ)dt,
• Inter-corrélation : Γ_xy(τ) = ∫_−∞^+∞ x(t)y^*(t − τ)dt.

6.1.2. Relation entre corrélation et convolution

• Γ_xy(τ) = x(τ) * y^*(−τ).

6.1.3. Propriétés des fonctions de corrélation

• Symétrie hermitienne :
  • Γ_xy(τ) = Γ^*_yx(−τ),
  • Γ_xx(τ) = Γ^*_xx(−τ),
• Bornes
  • Cas général : |Γ_xy(τ)|² ≤ Γ_xx(0)Γ_yy(0),
  • Pour x(t) = y(t) : |Γ_xx(τ)| ≤ Γ_xx(0),
  • Γ_xx(0) ∈ ℜ est l’énergie du signal.
• Dans le cas de signaux réels, la fonction d’autocorrélation est paire et maximale en 0, où Γ_xx(0) est l’énergie du signal.

6.1.4. Densité spectrale d’énergie

• Γ_xx(τ) ↔ S_xx(f) = ∫_−∞^+∞ Γ_xx(τ) exp(−j2πfτ)dτ,
• S_xx(f) = |X(f)|² : densité spectrale d’énergie (théorème de Wiener-Khintchine pour signaux déterministes),
• Γ_xy(τ) ↔ S_xy(f) = ∫_−∞^+∞ Γ_xy(τ) exp(−j2πfτ)dτ : densité inter-spectrale d’énergie,
• S_xy(f) = X(f)Y(f)^*.

6.1.5. Relations de Parseval

• ∫_−∞^+∞ x(t)y^*(t)dt = ∫_−∞^+∞ X(f)Y^*(f)df,
• ∫_−∞^+∞ |x(t)|²dt = ∫_−∞^+∞ S_xx(f)df : énergie du signal (pour le cas τ = 0, Γ_xy(0) = ∫_−∞^+∞ |X(f)|²df).

6.1.6. Dérivation de la fonction de corrélation

• &frac;dΓ_xy(τ)}{dτ} = Γ′_xy(τ) = −Γ′_xy(τ).

6.2. Signaux à puissance moyenne finie

6.2.1. Fonctions de corrélation

• Γ_xx(τ) = lim_T→∞ &frac{1;T;} ∫_−T/2^+T/2x(t)x^*(t − τ)dt : auto-corrélation,
• Γ_xy(τ) = lim_T→∞ &frac{1;T;} ∫_−T/2^+T/2x(t)y^*(t − τ)dt : inter-corrélation.

6.2.2. Densités spectrale et interspectrale de puissance

• S_xx(f) = F{Γ_xx(τ)} : densité spectrale de puissance,
• S_xy(f) = F{Γ_xy(τ)} : densité inter-spectrale de puissance,
• S_xx(f) = lim_T→∞ &frac{1;T;}|X(f, T)|², avec X(f, T) = F{x(t, T)} = F{rect(t/T)x(t)}.

6.2.3. Relation de Parseval

• P_x = Γ_xx(0) = ∫_−∞^+∞ S_xx(f)df.

6.3. Signaux périodiques

Soient deux signaux x(t) et y(t), périodiques de même période Δ.

6.3.1. Fonctions de corrélation

Les auto et inter-corrélations sont périodiques de période Δ, et on peut les calculer par intégration sur une période Δ.

• Auto-corrélation
  • Γ_xx(τ) = &frac{1;Δ;} ∫_−Δ/2^+Δ/2x(t)x^*(t − τ)dt,
  • Γ_xx(τ) = &frac{1;Δ;} ∫_t0^t0+Δx(t)x^*(t − τ)dt,
  • Γ_xx(τ) = ∑_n=−∞^+∞ |X_n|²exp(j2πnτ/Δ), en utilisant le DSF de x(t).
• Inter-corrélation
  • Γ_xy(τ) = &frac{1;Δ;} ∫_−Δ/2^+Δ/2x(t)y^*(t − τ)dt,
  • Γ_xy(τ) = &frac{1;Δ;} ∫_t0^t0+Δx(t)y^*(t − τ)dt,
  • Γ_xy(τ) = ∑_n=−∞^+∞ X_nY^*_nexp(j2πnτ/Δ), en utilisant le DSF de x(t) et y(t).

6.3.2. Densités spectrale et inter-spectrale de puissance

Les densités spectrale et inter-spectrale de puissance sont les transformées de Fourier de fonctions périodiques de périodes Δ. On obtient donc des spectres de raies, aux fréquences k/Δ, dont l’enveloppe spectrale est la transformée de Fourier d’une période de la fonction de corrélation divisée par la période Δ.

• Densité spectrale
  • S_xx(f) = ∑_n=−∞^+∞ |X_n|²δ(f − n/Δ), en utilisant le DSF de x(t),
  • S_xx(f) = &frac{1;Δ²;} |X(f, Δ)|²δ_1/Δ(f), avec X(f, Δ) = F{x(t, Δ)} = F{rect((t)/Δ)x(t)}.
• Densité inter-spectrale
  • S_xy(f) = ∑_n=−∞^+∞ X_nY^*_n δ(f − n/Δ), en utilisant le DSF de x(t),
  • S_xy(f) = &frac{1;Δ²;} X(f, Δ)Y^*(f, Δ)δ_1/Δ(f), avec X(f, Δ) = F{x(t, Δ)} = F{rect((t)/Δ)x(t)} et Y(f, Δ) = F{y(t, Δ)} = F{rect((t)/Δ)y(t)}.

6.3.3. Relations de Parseval

• P_x = Γ_xx(0) = ∫_−∞^+∞ S_xx(f)df = ∑_n=−∞^+∞ |X_n|².

7. SIGNAUX ALÉATOIRES

7.1. Variables aléatoires

7.1.1. Densités de probabilité

On note p_X(u) la densité d’une variable aléatoire (VA) X.

• Si X et Y sont deux VA indépendantes, la densité de la VA Z = X + Y est : p_Z(u) = (p_X * p_Y)(u),
• Si Y = f(X), avec f inversible, p_Y(u) = p_X(f⁻¹(u))/|f′(f⁻¹(u))|.

7.1.2. Moments

Moyenne d’une VA continue ou discrète

• μ₁ = E[X] = ∫_−∞^+∞ up_X(u)du,
• μ₁ = E[X] = ∑_iu_iPr(X = u_i).

Moment d’ordre k d’une VA continue ou discrète

• μ_k = E[X^k] = ∫_−∞^+∞ u^kp_X(u)du,
• μ_k = E[X^k] = ∑_iu_i^k Pr(X = u_i).

Moment centré d’ordre k d’une VA continue ou discrète

• μ′_k = E[(X − μ₁)^k] = ∫_−∞^+∞ (u − μ₁)^kp_X(u)du,
• μ′_k = E[(X − μ₁)^k] = ∑_i(u_i − μ₁)^kPr(X = u_i).

Variance

C’est le moment centré d’ordre 2. On la note fréquemment σ² plutôt que μ′₂.

• σ² = μ′₂ = E[(X − μ₁)²] = ∫_−∞^+∞ (u − μ₁)²p_X(u)du,
• σ² = μ′₂ = E[(X−μ₁)²] = ∑_i(u_i−μ₁)²Pr(X = u_i).

Relation entre variance et moments d’ordre 1 et 2

• σ² = E[(X − μ₁)²] = E[X²] − E[X]² = μ₂ − μ₁².

7.1.3. Distributions de quelques lois usuelles

• Pr(k) = Cⁿ_kp^k(1 − p)^n−k : loi Binomiale, de la VA somme de n VA binaires, avec p = Pr(X = x₁) et 1 − p = Pr(X = x₀),
• Pr(n) = λⁿ/n! exp(−λ) : loi de Poisson de paramètre λ > 0,
• p(u) = &frac{1;}{σ√2π} exp(−&frac{(u−m)²}{2σ²;}) : loi gaussienne de moyenne m et de variance σ², notée N(m, σ²).

7.2. Vecteurs aléatoires

7.2.1. Densités de probabilité

On note p_X(u₁, …, u_n) la densité d’un vecteur aléatoire (VcA) X de dimension n. Soit Y = f(X), avec f inversible. On note f⁻¹ la transformation inverse, |J_f⁻¹| son jacobien et (f⁻¹)_i la composante i de la transformation f⁻¹:

• p_Y(u₁, …, u_n) = p_X((f⁻¹)₁(u₁), …,(f⁻¹)_n(u_n))|J_f⁻¹|.

Dans le cas d’une transformation linéaire Y = AX où A est une matrice régulière et u = (u₁, …, u_n)^T:

• p_Y(u₁, …, u_n) = p_X(A⁻¹u)|det A⁻¹|.

Dans le cas de la somme Z = X + Y de deux variables aléatoires, la densité p_Z(u) vaut :

• p_Z(u) = ∫ p_XY(x, u − x)dx,
• p_Z(u) = ∫ p_X(x)p_Y(u − x)dx = (p_X * p_Y)(u), si X et Y sont des VA indépendantes.

7.2.2. Théorème de la limite centrale

Théorème 7.2.1 La distribution statistique d’une somme de n variables aléatoires indépendantes, possédant la même loi tend asymptotiquement vers une distribution gaussienne quelle que soit la distribution des termes individuels.

7.3. Auto-corrélation

On note de façon générale X_i = x(t_i) la VA associée au processus aléatoire x(t) pour t = t_i.

7.3.1. Auto-corrélation statistique

Cas général

• R_XX(t₁, t₂) = E[X₁X₂] = ∫∫ x₁x₂p(x₁, x₂)dx₁dx₂.

Cas d’un signal stationnaire, en notant τ = t₁ − t₂

• R_XX(τ) = E[X(t)X(t−τ)] = ∫∫ x₁x₂p(x₁, x₂)dx₁dx₂.

Les VA sont orthogonales ssi R_XX(τ) = 0.

7.3.2. Auto-covariance statistique

C’est l’auto-corrélation des processus aléatoires centrés. On la note C_XX(τ).

Cas général

• C_XX(t₁, t₂) = E[(X₁ − E[X₁])(X₂ − E[X₂])] = ∫∫ (x₁ − E[X₁])(x₂ − E[X₂])p(x₁, x₂)dx₁dx₂ = R_XX(t₁, t₂) − E[X₁]E[X₂].

Cas d’un signal stationnaire, en notant τ = t₁ − t₂

• C_XX(τ) = E[(X(t) − E[X])(X(t − τ) − E[X])] = ∫∫ x₁x₂p(x₁, x₂)dx₁dx₂ = R_XX(τ) − E[X]².

Les VA sont non corrélées ssi C_XX(τ) = 0.

7.3.3. Cas de processus ergodiques et stationnaires

Dans ce cas, on peut remplacer les moyennes statistiques par des moyennes temporelles, car on a asymptotiquement :

• R_XX(τ) = lim_T→∞ &frac{1;T;} ∫_−T/2^+T/2x(t)x(t−τ)dt = Γ_XX(τ).

7.3.4. Coefficient de corrélation

Par définition, c’est l’auto-covariance normalisée, notée ρ_X(τ):

• ρ_X(τ) = &frac;C_XX(τ)}{σ²_X;} .

7.3.5. Propriétés pour les signaux réels

Les fonctions d’auto-corrélation et d’auto-covariance ont des propriétés intéressantes pour des processus aléatoires réels. De plus, en τ = 0, on a les relations énergétiques.

• elles sont paires,
• le maximum est atteint en τ = 0 :
  • |C_XX(τ)| ≤ C_XX(0),
  • |R_XX(τ)| ≤ R_XX(0),
  • C_XX(0) = σ²_X,
  • R_XX(0) = σ²_X + μ²_X.

7.4. Densité spectrale de puissance (DSP)

Pour un processus aléatoire x(t), on ne peut pas calculer directement la transformée de Fourier, puisque x(t) ne peut pas être décrit. Par conséquent, on ne peut pas calculer directement sa DSP. On peut en revanche calculer sa fonction d’auto-corrélation par une moyenne statistique ou temporelle, et en déduire sa DSP en appliquant le théorème ci-dessous.

7.4.1. Théorème de Wiener-Kintchine

Le théorème de Wiener-Kintchine établit le lien entre la fonction d’auto-corrélation et la DSP pour des signaux aléatoires.

Théorème 7.4.1 La DSP d’un processus aléatoire stationnaire au sens large est la transformée de Fourier de sa fonction d’auto-corrélation :

• S_XX(f) = ∫_−∞^+∞ R_XX(τ) exp(−j2πfτ)dτ.

7.4.2. Conséquence

Si on connaît la DSP S_XX(f) d’un processus aléatoire x(t), on peut déduire la fonction d’auto-corrélation par transformée de Fourier inverse :

• R_XX(τ) = ∫_−∞^+∞ S_XX(f) exp(j2πfτ)df.

On peut aussi l’exprimer en fonction de l’auto-covariance, car R_XX(τ) = C_XX(τ) + μ²_X :

• S_XX(f) = F{C_XX(τ)} + μ²_Xδ(f).

En τ = 0, on a :

• R_XX(0) = P_X = ∫_−∞^+∞ S_XX(f)df.

Si le processus est aussi ergodique, on a

• R_XX(0) = lim_T→∞ &frac{1;T;} ∫_−T/2^+T/2|x(t)|²dt = ∫_−∞^+∞ S_XX(f)df.

7.4.3. Bruit blanc

Définition 7.4.2 On appelle bruit blanc un processus aléatoire b(t) dont la densité spectrale de puissance est constante, ∀f : S_BB(f) = η/2. Par transformée de Fourier inverse, on déduit la fonction d’auto-corrélation d’un bruit blanc b(t) : R_BB(τ) = F⁻¹{S_XX(f)} = δ(τ)η/2.

7.5. Inter-corrélation et densité inter-spectrale

7.5.1. Inter-corrélation et inter-covariance

On définit les fonctions d’inter-corrélation :

• R_XY(t₁, t₂) = E[X(t₁)Y(t₂)] (cas général),
• R_XY(τ) = E[X(t)Y(t − τ)] (cas stationnaire).

et d’inter-covariance :

• C_XY(t₁, t₂) = E[(X(t₁) − μ_X)(Y(t₂) − μ_Y)] = R_XY(t₁, t₂) − E[X(t₁)]E[Y(t₂)] (cas général),
• C_XY(τ) = E[(X(t) − μ_X)(Y(t − τ) − μ_Y)] = R_XY(τ) − μ_Xμ_Y (cas stationnaire).

7.5.2. Coefficient d’inter-corrélation

Le coefficient d’inter-corrélation est défini par :

• ρ_XY(τ) = &frac;C_XY(τ)}{σ_Xσ_Y;}.

7.5.3. Densité inter-spectrale

La densité inter-spectrale de puissance est la transformée de Fourier de la fonction d’inter-corrélation :

• S_XY(f) = F{R_XY(τ)}.

7.5.4. Cohérence

• γ_XY(f) = &frac{|S_XY(f)|²}{S_XX(f)S_YY(f);}.

La cohérence est proche de 1 si les signaux x(t) et y(t) sont liés par une relation linéaire (filtre). Dans le cas d’une relation non linéaire ou en présence d’un bruit additif, la cohérence devient très inférieure à 1.

8. FILTRES LINÉAIRES INVARIANTS

On considère un filtre de réponse impulsionnelle g(t) et en fréquence G(f), dont les signaux d’entrée et de sortie sont x(t) et y(t), respectivement.

• Y(f) = G(f)X(f) = X(f)G(f),
• y(t) = (g * x)(t) = (x * g)(t).

Pour une cascade de filtres, on a g(t) = (g₁ * g₂ * … * g_n)(t) ou, en fréquence, G(f) = G₁(f)G₂(f)…G_n(f).

8.1. Formule des interférences

On considère deux filtres de réponses impulsionnelles g₁(t) et g₂(t) et de réponses en fréquence (TF) G₁(f) et G₂(f), dont les signaux d’entrée sont x₁(t) et x₂(t), et de sortie y₁(t) et y₂(t).

• S_Y1Y2(f) = S_X1X2(f)G₁(f)G^*₂(f).

8.2. Relation entrée-sortie des DSP

En conséquence de la formule des interférences, on a pour les DSP :

• S_YY(f) = |G(f)|²S_XX(f),
• S_YX(f) = G(f)S_XX(f).

8.3. Relation entrée-sortie entre corrélations

En conséquence des formules entre DSP, par transformée de Fourier inverse, on a pour les auto-corrélations :

• R_YY(τ) = Γ_gg(τ) * R_XX(τ) pour des signaux aléatoires, et
• Γ_YY(τ) = Γ_gg(τ) * Γ_XX(τ) si les signaux sont ergodiques, ou certains à puissance moyenne finie ou à énergie finie (attention aux définitions de Γ).

et pour les inter-corrélations :

• R_YX(τ) = g(τ) * R_XX(τ), pour des signaux aléatoires, et
• Γ_YX(τ) = g(τ)*Γ_XX(τ) si les signaux sont ergodiques, ou certains à puissance moyenne finie ou à énergie finie (attention aux définitions de Γ).

8.4. Statistiques en sortie d’un opérateur de filtrage

On considère y(t) = (g * x)(t). Les statistiques de y(t) supposé stationnaire et ergodique sont :

• μ_Y = μ_XG(0) (moyenne),
• P_Y = R_YY(0) = ∫ R_XX(τ)Γ_gg(τ)dτ = ∫ S_XX(f)|G(f)|²df (moment d’ordre 2),
• σ²_Y = C_YY(0) = P_Y − μ²_X = ∫ C_XX(τ)Γ_gg(τ)dτ (variance),
• S_YX(f) = G(f)S_XX(f) (auto-corrélation).

8.4.1. Filtre passe-bas sans perte

• G(0) = 1 et la moyenne en sortie : μ_Y = μ_X.

8.4.2. Filtre passe-haut

• G(0) = 0 et la moyenne en sortie μ_Y = 0.

8.4.3. Signal d’entrée blanc, centré et de DSP η/2

• moyenne en sortie : μ_Y = 0,
• auto-corrélation de l’entrée : Γ_XX(τ) = δ(τ)η/2,
• auto-corrélation en sortie : R_YY(τ) = Γ_gg(τ)η/2,
• variance : σ²_Y = Γ_gg(0)η/2.

9. AUTRES OPÉRATEURS

9.1. Opérateur de retard t₀

• g(t) = δ(t − t₀),
• G(f) = exp(−j2πf t₀), soit |G(f)| = 1 et φ(G(f)) = −2πf t₀ (phase linéaire),
• Γ_gg(τ) = δ(τ) (auto-corrélation).

9.2. Opérateur de moyenne temporelle

• g(t) = rect((t − T /2)/T),
• G(f) = sinc(Tf) exp(−jπfT),
• μ_y = G(0)μ_X = μ_X (moyenne),
• Γ_gg(τ) = tri(τ/T)/T (auto-corrélation).

9.3. Opérateur de filtrage passe-bas idéal

Le filtre causal de largeur de bande B n’étant pas réalisable, on décale g(t) de t₀.

• G(f) = rect[f /(2B)] exp(−j2πf t₀), avec |G(f)| = rect[f /(2B)] et φ(G(f)) = −2πf t₀,
• g(t) = 2B sinc[2B(t − t₀)],
• Γ_gg(τ) = 2B sinc[2Bτ] (auto-corrélation).

9.4. Opérateur de filtrage passe-bande idéal

Le filtre causal de largeur de bande B, centré sur les fréquences ±f₀ n’étant pas réalisable, on décale g(t) de t₀.

• G(f) = rect[f /B] exp(−j2πf t₀) * [δ(f − f₀) + δ(f + f₀)], avec |G(f)| = rect[f /(2B)] et φ(G(f)) = −2πf t₀,
• g(t) = 2B sinc[2B(t − t₀)] &cos;(2πf₀t),
• Γ_gg(τ) = 2B sinc[Bτ] &cos;(2πf₀τ) (auto-corrélation).

10. FILTRE ADAPTÉ

Problème : concevoir un filtre h(t) qui détecte un signal x(t) connu dans une observation bruitée, x(t) + n(t), où n(t) est un bruit de DSP S_NN(f), avec le meilleur rapport signal/bruit au temps t₀. On note y(t) = (x + n) * h(t) la sortie du filtre h(t).

Le filtre optimal est le filtre adapté (au signal x(t)) :

• H(f) = k &frac;X^*(f)}{S_NN(f);} exp(−j2πf t₀), (1)

avec le rapport S/B :

• &left(&frac{S}{B}&right;)² = ∫_−∞^+∞ &frac{|X(f)|²}{S_NN(f);}df. (2)

Dans le cas où le bruit n(t) est un bruit blanc de DSP égale à N₀ :

• H(f) = k′X^*(f) exp(−j2πf t₀), (3)

ou, dans le domaine temporel :

• h(t) = k′x^*(t₀ − t), (4)

avec le rapport S/B :

• &left(&frac{S}{B}&right;)² = &frac{1;N₀;} ∫_−∞^+∞ |X(f)|²df. (5)

Pour un signal x(t) réel, on a simplement h(t) = k′x(t₀ − t).

FAQ - Questions Fréquemment Posées

Qu'est-ce qu'une transformée de Fourier ?

La transformée de Fourier (TF) est un outil mathématique qui décompose un signal en ses fréquences constitutives, révélant ainsi le spectre de fréquences du signal. Elle permet de passer du domaine temporel (ou spatial) au domaine fréquentiel, facilitant l'analyse de signaux et de systèmes.

Pourquoi les signaux aléatoires ne peuvent-ils pas être directement transformés par Fourier ?

Les signaux aléatoires ne peuvent pas être directement transformés par Fourier car ils ne sont pas "décrits" par une fonction déterministe simple et ne sont généralement pas absolument sommables. Pour analyser leur contenu fréquentiel, on utilise plutôt des concepts comme la fonction d'auto-corrélation et la densité spectrale de puissance (DSP), dont le lien est établi par le théorème de Wiener-Kintchine.

Quel est le rôle d'un filtre adapté dans la détection de signaux ?

Un filtre adapté est conçu pour optimiser le rapport signal/bruit à un instant précis en présence d'un signal connu et de bruit. Il est "adapté" à la forme du signal à détecter et sa fonction est de maximiser la puissance du signal tout en minimisant la puissance du bruit, ce qui est crucial pour la détection fiable de signaux faibles.

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