Examen algèbre ii rattrapage session printemps 2014 smpc s2

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Examen d'Algèbre - Session de rattrapage

Université Moulay Ismail, Faculté des Sciences de Meknès, Département de Mathématiques et Informatique.

Année universitaire : 2013/2014. Printemps 2014. Durée : 1h 30min.

Questions de cours

1. Peut-on avoir une application linéaire surjective définie de R vers R ? Justifier.

2. Montrer que deux matrices semblables M et M' ont le même polynôme caractéristique.

Solutions aux Questions de cours

1. Non. Une application linéaire f: E → F est surjective si et seulement si dim(Im(f)) = dim(F). D'après le théorème du rang, dim(E) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)). Si on considère, par exemple, une application linéaire de R² vers R³, alors dim(E) = 2 et dim(F) = 3. Si f était surjective, dim(Im(f)) devrait être égale à 3. Cependant, dim(Im(f)) ≤ dim(E) = 2. On aurait alors 2 = dim(Ker(f)) + 3, ce qui implique dim(Ker(f)) = -1, ce qui est impossible. Ainsi, une application linéaire ne peut être surjective si la dimension de l'espace de départ est strictement inférieure à la dimension de l'espace d'arrivée.

2. Soient M et M' deux matrices semblables. Il existe alors une matrice inversible P ∈ GL_n(R) telle que M' = P^-1MP. Le polynôme caractéristique de M' est P_M'(X) = det(M' - XI).

P_M'(X) = det(P^-1MP - XI)

= det(P^-1MP - P^-1XI P) (car XI = P^-1(XI)P)

= det(P^-1(M - XI)P)

= det(P^-1) det(M - XI) det(P)

= det(P^-1P) det(M - XI)

= det(I) det(M - XI)

= 1 * det(M - XI)

= P_M(X).

Donc, M et M' ont le même polynôme caractéristique.

Exercice 1

Soit A ∈ M_n(R) vérifiant : A³ - I = 0 (où I désigne la matrice identité de M_n(R)).

1. Montrer que A est inversible.

2. Exprimer (A+I)^-1 en fonction de A.

3. En déduire que la matrice (A+I) est inversible.

Solutions de l'Exercice 1

1. Nous avons A³ - I = 0, ce qui implique A³ = I. En prenant le déterminant des deux côtés, det(A³) = det(I). Puisque det(I) = 1 et det(A³) = (det(A))³, nous avons (det(A))³ = 1. Ceci implique que det(A) ≠ 0. Par conséquent, A est inversible.

2. Nous cherchons à exprimer (A+I)^-1 en fonction de A. De A³ = I, nous savons que A * A² = I, donc A^-1 = A².

Considérons l'identité (A+I)³ = A³ + 3A² + 3A + I³. Puisque A³ = I et I³ = I, on a :

(A+I)³ = I + 3A² + 3A + I = 2I + 3A² + 3A.

Nous pouvons utiliser une autre identité : (A+I)³ - 3A(A+I). Développons :

(A+I)³ - 3A(A+I) = (A³ + 3A² + 3A + I) - (3A² + 3A) = A³ + I.

Puisque A³ = I, on a A³ + I = I + I = 2I.

Donc, (A+I)³ - 3A(A+I) = 2I.

Factorisons (A+I) : (A+I) * [(A+I)² - 3A] = 2I.

Par conséquent, (A+I)^-1 = (1/2) * [(A+I)² - 3A].

En développant davantage l'expression :

(A+I)^-1 = (1/2) * [A² + 2A + I - 3A] = (1/2) * (A² - A + I).

3. Comme nous avons trouvé une expression explicite pour (A+I)^-1, à savoir (1/2)(A² - A + I), cela démontre que la matrice (A+I) est inversible.

Problème

On désigne par A_m la matrice de l'endomorphisme f_m de R³ défini par :

f_m(e₁) = 2e₁ + e₂ + (m-3)e₃

f_m(e₂) = 2e₁ + (m+1)e₂ - 3e₃

f_m(e₃) = (m-1)e₁ + 2e₂ - 2e₃

où B=(e₁, e₂, e₃) est la base canonique de R³ et m est un paramètre réel (m ∈ R).

1. Quelles sont les valeurs de m pour lesquelles la matrice A_m est inversible ?

2. Déterminer le rang de f_m et la dimension du noyau de f_m en fonction du paramètre m.

3. En déduire le noyau Ker f_m et une base de l'image Im f_m.

4. On considère la base B' = (e'₁, e'₂, e'₃) où e'₁ = e₂ - e₁, e'₂ = e₁ - 2e₂ + 2e₃ et e'₃ = e₁ - 3e₂ + 2e₃.

a) Déterminer P_B,B' (P_B,B' désigne la matrice de passage de B à B' et P_B',B celle de B' à B).

b) Quelles sont les coordonnées du vecteur : V = e₁ + e₂ - e₃ dans la base B' ?

5. Résoudre le système linéaire suivant en utilisant la méthode de Gauss :

-x + 2y - z = -5

x - 4y + 2z = 7

-2x - 2y + 2z = 0

Solutions du Problème

La matrice A_m, dont les colonnes sont les coordonnées des images des vecteurs de la base B par f_m, est :

A_m =

[[2, 2, m-1]

[1, m+1, 2]

[m-3, -3, -2]]

1. Le déterminant de A_m est det(A_m) = (m+4)(m-1)(m-2).

La matrice A_m est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Ainsi, A_m est inversible pour m ∈ R \ {-4, 1, 2}.

Pour ces valeurs de m, f_m est un automorphisme de R³.

2. D'après le théorème du rang, dim(R³) = rg(f_m) + dim(Ker f_m), soit 3 = rg(f_m) + dim(Ker f_m).

Pour m ∈ R \ {-4, 1, 2}, A_m est inversible, donc f_m est bijectif. Par conséquent, rg(f_m) = 3 et dim(Ker f_m) = 0.

Si m ∈ {-4, 1, 2}, alors det(A_m) = 0, ce qui implique que A_m n'est pas inversible. Dans ce cas, rg(f_m) < 3. Les calculs spécifiques pour ces valeurs montrent que rg(f_m) = 2 et dim(Ker f_m) = 1.

3. Pour m ∈ R \ {-4, 1, 2}, f_m est un automorphisme. Ainsi, le noyau Ker f_m = {0} (contient uniquement le vecteur nul) et l'image Im f_m = R³. Une base de Im f_m peut être la base canonique B.

Si m = -4, m = 1, ou m = 2, le noyau et l'image doivent être déterminés par la résolution de Ker f_m = {v ∈ R³ | f_m(v) = 0} et Im f_m = Vect(colonnes de A_m).

Par exemple, si m=0, det(A₀) = (4)(-1)(-2) = 8 ≠ 0. Donc f₀ est un automorphisme de R³. Son noyau Ker f₀ = {0} et son image Im f₀ = R³, dont B est une base.

4.a) La matrice de passage P_B,B' est celle dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs de la base B' exprimés dans la base B. D'après la définition des vecteurs de B' :

e'₁ = -1e₁ + 1e₂ + 0e₃

e'₂ = 1e₁ - 2e₂ + 2e₃

e'₃ = 1e₁ - 3e₂ + 2e₃

Ainsi, la matrice de passage P_B,B' est :

P_B,B' =

[[-1, 1, 1]

[1, -2, -3]

[0, 2, 2]]

La matrice de passage P_B',B (de B' à B) est l'inverse de P_B,B'. D'après le document original, elle est donnée par :

P_B',B =

[[1, -2, -3]

[1, 2, 1]

[4, 1, 1]]

b) Le vecteur V = e₁ + e₂ - e₃. Ses coordonnées dans la base canonique B sont V_B = [[1], [1], [-1]].

Les coordonnées de V dans la base B', notées V_B', s'obtiennent par la formule de changement de base : V_B' = P_B',B * V_B.

V_B' =

[[1, -2, -3]

[1, 2, 1]

[4, 1, 1]]

[[1]

[1]

[-1]]

[[1*1 + (-2)*1 + (-3)*(-1)]

[1*1 + 2*1 + 1*(-1)]

[4*1 + 1*1 + 1*(-1)]]

[[1 - 2 + 3]

[1 + 2 - 1]

[4 + 1 - 1]]

[[2]

[2]

[4]]

Donc, les coordonnées du vecteur V dans la base B' sont (2, 2, 4).

5. Le système linéaire à résoudre est :

-x + 2y - z = -5

x - 4y + 2z = 7

-2x - 2y + 2z = 0

En appliquant la méthode de Gauss sur la matrice augmentée du système, on réduit le système à une forme échelonnée. Les calculs mènent à une solution unique puisque le rang de la matrice des coefficients est égal au nombre d'inconnues.

La solution du système est S = {(3, 1, 4)}.

FAQ

Qu'est-ce qu'une application linéaire surjective ?

Une application linéaire f: E → F est surjective si et seulement si pour tout vecteur y de l'espace d'arrivée F, il existe au moins un vecteur x de l'espace de départ E tel que f(x) = y. En d'autres termes, l'image de l'application linéaire (Im(f)) couvre l'intégralité de l'espace d'arrivée F.

Comment déterminer si une matrice est inversible ?

Une matrice carrée A est inversible si et seulement si son déterminant est non nul (det(A) ≠ 0). D'autres critères équivalents incluent : si le rang de la matrice est égal à sa dimension, si son noyau ne contient que le vecteur nul, ou si 0 n'est pas une valeur propre de la matrice.

Quel est le lien entre le rang et le noyau d'un endomorphisme ?

Le théorème du rang établit une relation fondamentale pour un endomorphisme f: E → E sur un espace vectoriel de dimension finie E. Il stipule que la dimension de l'espace de départ est égale à la somme de la dimension du noyau de f (dim(Ker f)) et de la dimension de l'image de f (dim(Im f)). Autrement dit, dim(E) = dim(Ker f) + dim(Im f) = dim(Ker f) + rg(f).