Examen algèbre rattrapage smpc1 fs el jadida 2011 2012 algèbe 1

Examen algèbre rattrapage smpc1 fs el jadida 2011 2012 algèb

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Exercice 1

Dans l'espace vectoriel ℝ⁴, muni de sa base canonique {e₁, e₂, e₃, e₄}, on considère les vecteurs : a = (1,1,1,1), b = (2,3,2,1), c = (4,1,1,1).

1. Déterminer les composantes du vecteur d

Calculer d = a - 3b + 2c.

Pour calculer un vecteur linéaire, on effectue les opérations composante par composante. Soit d = (d₁, d₂, d₃, d₄).

d = (1,1,1,1) - 3(2,3,2,1) + 2(4,1,1,1)

d = (1,1,1,1) - (6,9,6,3) + (8,2,2,2)

d = (1-6+8, 1-9+2, 1-6+2, 1-3+2)

d = (3, -6, -3, 0)

2. Déterminer la (les) valeur(s) du réel α pour laquelle la famille {a, b, c, g} est une base de ℝ⁴

On pose g = d + α(e₁ + e₄).

Les vecteurs de la base canonique sont e₁ = (1,0,0,0) et e₄ = (0,0,0,1).

Donc, e₁ + e₄ = (1,0,0,1).

g = (3, -6, -3, 0) + α(1,0,0,1)

g = (3+α, -6, -3, α)

La famille {a, b, c, g} est une base de ℝ⁴ si et seulement si ces quatre vecteurs sont linéairement indépendants. Pour cela, le déterminant de la matrice formée par ces vecteurs doit être non nul.

La matrice M dont les colonnes (ou lignes) sont les vecteurs a, b, c, g est :

| 1  2  4  3+α |
| 1  3  1  -6  |
| 1  2  1  -3  |
| 1  1  1  α   |

Calculons le déterminant par opérations sur les lignes :

L₂ ← L₂ - L₁

L₃ ← L₃ - L₁

L₄ ← L₄ - L₁

| 1  2  4       3+α |
| 0  1  -3      -9-α |
| 0  0  -3      -6-α |
| 0  -1 -3      α-(3+α) |

L₄ ← L₄ + L₂

| 1  2  4       3+α |
| 0  1  -3      -9-α |
| 0  0  -3      -6-α |
| 0  0  -6      -12-α |

L₄ ← L₄ - 2L₃

| 1  2  4       3+α    |
| 0  1  -3      -9-α   |
| 0  0  -3      -6-α   |
| 0  0  0       (-12-α) - 2(-6-α) |

Le dernier élément est : -12 - α + 12 + 2α = α.

Le déterminant de la matrice est donc le produit des éléments diagonaux : 1 × 1 × (-3) × α = -3α.

Pour que la famille {a, b, c, g} soit une base de ℝ⁴, le déterminant doit être non nul.

-3α ≠ 0

Par conséquent, α ≠ 0.

Exercice 1 (suite)

II. Familles de vecteurs dans ℝ⁵

Dans l'espace vectoriel ℝ⁵, on considère les deux familles :

S = {u₁, u₂, u₃} où u₁ = (1,2,0,3,3), u₂ = (2,0,0,1,2) et u₃ = (4,4,0,7,8).
T = {w₁, w₂, w₃} où w₁ = (1,2,1,-1,0), w₂ = (-1,2,0,2,1) et w₃ = (1,6,2,0,1).

1. Déterminer une base de F = sev(S) et une base de G = sev(T)

Pour trouver une base d'un sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs, il faut extraire une sous-famille libre et génératrice. On utilise généralement la méthode de l'échelonnement de matrices.

Base de F = sev(S)

Représentons les vecteurs de S en lignes d'une matrice et échelonnons-la :

| 1  2  0  3  3 |
| 2  0  0  1  2 |
| 4  4  0  7  8 |

Opérations : L₂ ← L₂ - 2L₁ ; L₃ ← L₃ - 4L₁

| 1  2  0  3  3 |
| 0 -4  0 -5 -4 |
| 0 -4  0 -5 -4 |

Opération : L₃ ← L₃ - L₂

| 1  2  0  3  3 |
| 0 -4  0 -5 -4 |
| 0  0  0  0  0 |

Les deux premières lignes non nulles de la matrice échelonnée sont linéairement indépendantes. Elles forment une base de F. La dimension de F est 2.

Une base de F est {(1,2,0,3,3), (0,-4,0,-5,-4)}.

Base de G = sev(T)

Représentons les vecteurs de T en lignes d'une matrice et échelonnons-la :

| 1  2  1 -1  0 |
| -1 2  0  2  1 |
| 1  6  2  0  1 |

Opérations : L₂ ← L₂ + L₁ ; L₃ ← L₃ - L₁

| 1  2  1 -1  0 |
| 0  4  1  1  1 |
| 0  4  1  1  1 |

Opération : L₃ ← L₃ - L₂

| 1  2  1 -1  0 |
| 0  4  1  1  1 |
| 0  0  0  0  0 |

Les deux premières lignes non nulles de la matrice échelonnée sont linéairement indépendantes. Elles forment une base de G. La dimension de G est 2.

Une base de G est {(1,2,1,-1,0), (0,4,1,1,1)}.

2. Déterminer une base de F ∩ G

Un vecteur v appartient à F ∩ G s'il est une combinaison linéaire des vecteurs de la base de F et également une combinaison linéaire des vecteurs de la base de G.

Soit v ∈ F ∩ G. On peut écrire v = a u₁ + b u₂' = c w₁ + d w₂' avec u₂' = (0,-4,0,-5,-4) et w₂' = (0,4,1,1,1).

a(1,2,0,3,3) + b(0,-4,0,-5,-4) = c(1,2,1,-1,0) + d(0,4,1,1,1)

(a, 2a-4b, 0, 3a-5b, 3a-4b) = (c, 2c+4d, c+d, -c+d, d)

En égalant les composantes, on obtient le système d'équations suivant :

a = c
2a - 4b = 2c + 4d
0 = c + d
3a - 5b = -c + d
3a - 4b = d

De (1), c = a. De (3), d = -c, donc d = -a.

Substituons c et d dans les autres équations :

Dans (2) : 2a - 4b = 2a + 4(-a) ⇒ 2a - 4b = 2a - 4a ⇒ -4b = -4a ⇒ b = a.
Dans (4) : 3a - 5b = -a + (-a) ⇒ 3a - 5b = -2a. Puisque b=a, 3a - 5a = -2a ⇒ -2a = -2a. (Toujours vraie)
Dans (5) : 3a - 4b = -a. Puisque b=a, 3a - 4a = -a ⇒ -a = -a. (Toujours vraie)

Les conditions sont a=c, b=a, d=-a. Pour tout a ∈ ℝ, un vecteur de l'intersection est de la forme :

v = a u₁ + a u₂' = a (u₁ + u₂')

v = a ( (1,2,0,3,3) + (0,-4,0,-5,-4) )

v = a (1, -2, 0, -2, -1)

Le sous-espace F ∩ G est donc engendré par le vecteur (1, -2, 0, -2, -1). Sa dimension est 1.

Une base de F ∩ G est {(1, -2, 0, -2, -1)}.

Exercice 2

Dans l'espace affine ℝ³, soit le point A(1,-1,-2) et les vecteurs u = (0,1,1), v = (1,1,0), w = (1,0,1).

1. Vérifier que R' = (A, {u, v, w}) est un repère cartésien de ℝ³

Un ensemble (A, {u, v, w}) est un repère cartésien de ℝ³ si A est un point et si les vecteurs {u, v, w} forment une base de l'espace vectoriel ℝ³. Pour vérifier que {u, v, w} est une base, il faut montrer qu'ils sont linéairement indépendants, ce qui revient à calculer le déterminant de la matrice formée par ces vecteurs et vérifier qu'il est non nul.

Matrice des vecteurs {u, v, w} :

| 0  1  1 |
| 1  1  0 |
| 1  0  1 |

Calcul du déterminant :

det = 0 * (1*1 - 0*0) - 1 * (1*1 - 0*1) + 1 * (1*0 - 1*1)

det = 0 - 1 * (1) + 1 * (-1)

det = -1 - 1 = -2.

Puisque le déterminant est -2 ≠ 0, les vecteurs u, v, w sont linéairement indépendants. Ils forment donc une base de ℝ³. Par conséquent, (A, {u, v, w}) est bien un repère cartésien de ℝ³.

2. On considère le plan P : x + y - z = 2

a) Vérifier que u est parallèle à P et w est parallèle à P

L'énoncé demande de vérifier si des vecteurs sont dans le plan P. Un vecteur n'est pas un point et ne satisfait pas une équation de plan de cette manière. Il est plus probable que l'on doive vérifier si ces vecteurs sont des vecteurs directeurs du plan P, c'est-à-dire s'ils sont parallèles au plan.

Un vecteur (dx, dy, dz) est parallèle à un plan d'équation ax + by + cz = d si son produit scalaire avec le vecteur normal (a,b,c) du plan est nul.

L'équation du plan P est x + y - z = 2. Le vecteur normal au plan est n = (1, 1, -1).

Pour le vecteur u = (0,1,1) : Le produit scalaire n ⋅ u = (1)(0) + (1)(1) + (-1)(1) = 0 + 1 - 1 = 0. Donc, u est parallèle au plan P.
Pour le vecteur w = (1,0,1) : Le produit scalaire n ⋅ w = (1)(1) + (1)(0) + (-1)(1) = 1 + 0 - 1 = 0. Donc, w est parallèle au plan P.

Ainsi, les vecteurs u et w sont des vecteurs directeurs du plan P.

b) Déterminer l'équation cartésienne du plan P par rapport au repère R'

Soit M un point de coordonnées (x,y,z) dans le repère canonique. Soit (X,Y,Z) ses coordonnées dans le repère R' = (A, {u, v, w}).

La relation entre les coordonnées est : M = A + X u + Y v + Z w.

(x,y,z) = (1,-1,-2) + X(0,1,1) + Y(1,1,0) + Z(1,0,1)

Cela donne les équations de transformation :

x = 1 + Y + Z

y = -1 + X + Y

z = -2 + X + Z

Substituons ces expressions dans l'équation cartésienne du plan P (x + y - z = 2) :

(1 + Y + Z) + (-1 + X + Y) - (-2 + X + Z) = 2

1 + Y + Z - 1 + X + Y + 2 - X - Z = 2

En simplifiant, on obtient :

2Y + 2 = 2

2Y = 0

Y = 0.

L'équation cartésienne du plan P par rapport au repère R' est Y = 0.

c) Donner une équation paramétrique et une autre cartésienne du plan P' passant par A et de vecteurs directeurs u et v

Le plan P' passe par le point A(1,-1,-2) et est dirigé par les vecteurs u=(0,1,1) et v=(1,1,0).

Équation paramétrique de P'

Un point M(x,y,z) appartient à P' si M = A + λu + μv, où λ et μ sont des paramètres réels.

x = 1 + λ(0) + μ(1) = 1 + μ

y = -1 + λ(1) + μ(1) = -1 + λ + μ

z = -2 + λ(1) + μ(0) = -2 + λ

Le système d'équations paramétriques pour P' est :

x = 1 + μ
y = -1 + λ + μ
z = -2 + λ

Équation cartésienne de P'

Pour trouver l'équation cartésienne, on cherche un vecteur normal n' = (a',b',c') au plan P'. Ce vecteur est orthogonal aux vecteurs directeurs u et v. On peut le calculer par le produit vectoriel u × v.

n' = u × v = ( (1)(0) - (1)(1), (1)(1) - (0)(0), (0)(1) - (1)(1) )

n' = (-1, 1, -1).

L'équation de P' est donc de la forme -x + y - z = d'.

Pour trouver la constante d', nous utilisons le point A(1,-1,-2) qui appartient à P' :

-(1) + (-1) - (-2) = d'

-1 - 1 + 2 = d'

0 = d'.

L'équation cartésienne du plan P' est -x + y - z = 0.

d) i) Donner le système d'équations qui définit le sous-espace affine P ∩ P'

L'intersection P ∩ P' est l'ensemble des points M(x,y,z) qui satisfont simultanément les équations des deux plans :

x + y - z = 2  (Équation du plan P)
-x + y - z = 0 (Équation du plan P')

ii) En déduire un repère cartésien de P ∩ P'

L'intersection de deux plans non parallèles dans ℝ³ est une droite. Les vecteurs normaux des plans sont n = (1,1,-1) pour P et n' = (-1,1,-1) pour P'. Puisqu'ils ne sont pas colinéaires (1/(-1) ≠ 1/1), les plans sont sécants.

Résolvons le système :

(1) x + y - z = 2

(2) -x + y - z = 0

Additionnons les deux équations (1) + (2) :

(x + y - z) + (-x + y - z) = 2 + 0

2y - 2z = 2

y - z = 1 ⇒ y = z + 1

Substituons y = z + 1 dans l'équation (1) :

x + (z + 1) - z = 2

x + 1 = 2

x = 1

En posant z = t (où t est un paramètre réel), les équations paramétriques de la droite d'intersection sont :

x = 1

y = 1 + t

z = t

Un repère cartésien pour une droite est défini par un point de la droite et un vecteur directeur. Nous savons que le point A(1,-1,-2) appartient au plan P (vérifié en 2.a) et au plan P' (par définition en 2.c). Donc A est un point de l'intersection P ∩ P'.

Le vecteur directeur de la droite d'intersection peut être obtenu à partir des équations paramétriques (les coefficients de t) ou en calculant le produit vectoriel des vecteurs normaux n × n'.

n × n' = (1,1,-1) × (-1,1,-1) = ((1)(-1) - (-1)(1), (-1)(-1) - (1)(-1), (1)(1) - (1)(-1))

n × n' = (-1 + 1, 1 + 1, 1 + 1) = (0, 2, 2).

Ce vecteur est colinéaire à (0,1,1), qui est le vecteur u.

Donc, un repère cartésien de P ∩ P' est (A, {u}), c'est-à-dire ((1,-1,-2), {(0,1,1)}).

FAQ : Questions Fréquentes sur les Espaces Vectoriels et Affines

1. Qu'est-ce qu'une base canonique dans un espace vectoriel ?

Une base canonique est un ensemble de vecteurs standards qui sont linéairement indépendants et qui engendrent tout l'espace vectoriel. Par exemple, dans ℝⁿ, la base canonique est formée par les vecteurs e_i = (0,...,1,...0) où 1 est à la i-ème position. Elle est souvent utilisée comme référence pour définir les coordonnées des autres vecteurs, car elle permet une représentation simple et directe.

2. Comment déterminer si un ensemble de vecteurs forme une base ?

Pour qu'un ensemble de n vecteurs dans un espace vectoriel de dimension n forme une base, deux conditions doivent être remplies : les vecteurs doivent être linéairement indépendants et ils doivent générer l'espace. Dans un espace de dimension finie n, si vous avez exactement n vecteurs, il suffit de vérifier une de ces conditions (par exemple, la linéarité indépendance en calculant le déterminant de la matrice formée par ces vecteurs : s'il est non nul, les vecteurs forment une base).

3. Quelle est la signification d'un repère cartésien dans un espace affine ?

Un repère cartésien dans un espace affine est défini par un point d'origine (le point A dans l'exercice) et une base de l'espace vectoriel associé (les vecteurs u, v, w dans l'exercice). Il permet de repérer de manière unique chaque point de l'espace par un ensemble de coordonnées. L'origine du repère est le point de référence à partir duquel tous les autres points sont mesurés, et la base vectorielle fournit les "directions" le long desquelles ces mesures sont effectuées, permettant ainsi de situer précisément n'importe quel point.