Examen corrigé algèbre ii s2 smpc 2015 2016 algèbre 1 -Algèb
Télécharger PDFCorrigé d'Examen d'Algèbre et Analyse - SMPC (Session Ordinaire 2016)
Ce document présente le corrigé détaillé d'un examen d'Algèbre II et d'Analyse (calcul intégral et équations différentielles) destiné aux étudiants de la filière SMPC (Sciences de la Matière Physique Chimie) à l'Université Moulay Ismail, pour l'année universitaire 2015-2016. Ce corrigé est proposé par le Département de Mathématiques et Informatique de la Faculté des Sciences.
Partie I : Algèbre Linéaire et Matrices
1. Calcul de A²
La matrice A² est calculée comme suit :
A² = [[10, -6, 6], [0, 8, 0], [6, -6, 10]]
2. Calcul de l'inverse A⁻¹
À partir d'une relation matricielle telle que A³ - 8A² + 20A - 16I = 0 (où I est la matrice identité), l'inverse de A peut être dérivée par multiplication par A⁻¹ :
16I = A³ - 8A² + 20A
16A⁻¹ = A² - 8A + 20I
Ainsi, A⁻¹ = (1/16)(A² - 8A + 20I).
3. Propriétés d'une base B'
a) Si le déterminant de la matrice formée par les vecteurs de la famille B' est égal à 1 (det(B') = 1), alors la famille de vecteurs B' est linéairement indépendante (libre).
Puisque B' est libre et que son cardinal est égal à la dimension de l'espace vectoriel (card(B') = 3 = dim(R³)), B' est une base de R³.
4. Matrices de changement de base et transformations
b) Matrice de passage P :
P = [[1, 1, 0], [-1, 0, 0], [0, 1, 1]]
Son inverse P⁻¹ (matrice de passage de la nouvelle base à l'ancienne) est :
P⁻¹ = [[0, -1, 0], [1, 1, 0], [-1, -1, 1]]
c) Matrice A' dans la nouvelle base :
La matrice A' est obtenue par la formule de changement de base pour un endomorphisme : A' = P⁻¹AP.
Le résultat de cette transformation est :
A' = [[4, 1, -2], [0, 2, 0], [0, 0, 2]]
d) Transformation de vecteurs :
Un vecteur X' dans la nouvelle base est obtenu par X' = P⁻¹X, où X est le vecteur dans l'ancienne base.
Le vecteur transformé Y' dans la nouvelle base est donné par Y' = A'X'.
Partie II : Diagonalisation
1. Polynôme caractéristique
Le polynôme caractéristique de la matrice A est :
P_A(X) = -(X-2)²(X-4)
2. Valeurs propres
Les valeurs propres de la matrice A, qui sont les racines du polynôme caractéristique, sont :
- λ₁ = 2 (valeur propre double, de multiplicité algébrique 2)
- λ₂ = 4 (valeur propre simple, de multiplicité algébrique 1)
3. Espaces propres
Les bases des espaces propres associés à chaque valeur propre sont :
- Pour λ₁ = 2, l'espace propre E₁ est engendré par les vecteurs : Vect{(v₁ = (1,1,0)), (v₂ = (0,1,1))}
- Pour λ₂ = 4, l'espace propre E₂ est engendré par le vecteur : Vect{(v₃ = (1,0,1))}
4. Diagonalisation de la matrice
i) La famille B'' = {v₁, v₂, v₃} forme une base de R³ composée de vecteurs propres de l'endomorphisme f associé à la matrice A.
ii) La matrice de l'endomorphisme f dans la base B'' est une matrice diagonale, où les éléments diagonaux sont les valeurs propres :
A'' = M(f, B'') = [[2,0,0], [0,2,0], [0,0,4]]
Partie III : Système Linéaire
1. Définition du système
a) Le système linéaire (S) est exprimé sous la forme matricielle AX = B, où la matrice A est :
A = [[1, 2, -1], [1, 1, 1], [3, -1, 2]]
b) La matrice augmentée M, regroupant la matrice des coefficients A et le vecteur B des constantes, est :
M = (A|B) = [[1, 2, -1, -6], [1, 1, 1, 4], [3, -1, 2, 7]]
2. Nature de la solution
c) Puisque le rang de la matrice A est égal au rang de la matrice augmentée M (rang(A) = rang(M) = 3), et que ce rang est égal au nombre d'inconnues du système, le système (S) admet une solution unique.
3. Résolution du système
d) Après réduction par la méthode de Gauss-Jordan, la matrice augmentée M' est obtenue sous forme échelonnée réduite :
M' = [[1,0,0,-1], [0,1,0,0], [0,0,1,5]]
e) La solution unique du système est donc le vecteur :
S = {(-1, 0, 5)}
Partie IV : Analyse (Calcul Intégral et Équations Différentielles)
1. Calcul d'intégrales
a) Primitive de la fonction arc tangente (par intégration par parties) :
∫ arctan(x) dx = x arctan(x) - (1/2) ln(1+x²) + C, où C est la constante d'intégration.
b) Calcul d'intégrales de fonctions rationnelles (par décomposition en éléments simples) :
∫ dx / (x(x²-1)) = ln|x| - (1/2) ln|x²-1| + C.
Cette primitive est valide sur tout intervalle ne contenant ni 0, ni 1, ni -1, par exemple sur l'intervalle ]0, 1[.
2. Équations Différentielles
a) Solution de l'équation homogène (EH) :
Pour une équation différentielle linéaire du premier ordre y' + a(x)y = 0, la solution homogène y_H est de la forme C * exp(-∫ a(x)dx).
b) Solution particulière (méthode de variation des constantes) :
Pour une équation différentielle linéaire non homogène y' + a(x)y = g(x), la solution particulière y_p est souvent recherchée en remplaçant la constante C de la solution homogène par une fonction C(x), d'où C(x)y_H.
Un résultat partiel pour C(x) pourrait être C(x) = ln|x|.
Un exemple de fonction g(x) associée à l'équation pourrait être g(x) = 1/(1-x²).
3. Convergence d'intégrales généralisées
L'intégrale généralisée ∫ (sin(t)/t) dt, connue sous le nom d'intégrale de Dirichlet, est convergente. Il est important de noter qu'elle est semi-convergente, car l'intégrale de sa valeur absolue, ∫ (|sin(t)|/t) dt, diverge.
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'une valeur propre double et quelles sont ses implications ?
Une valeur propre double est une racine du polynôme caractéristique d'une matrice qui apparaît deux fois, signifiant une multiplicité algébrique de deux. Dans certains cas, cela peut empêcher la diagonalisation de la matrice si la multiplicité géométrique (dimension de l'espace propre associé) est inférieure à la multiplicité algébrique.
Comment vérifier si des vecteurs forment une base de R³ ?
Pour vérifier si trois vecteurs forment une base de R³, on peut construire une matrice avec ces vecteurs en colonnes (ou lignes) et calculer son déterminant. Si le déterminant est non nul, les vecteurs sont linéairement indépendants et, étant au nombre de trois dans un espace de dimension trois, ils forment une base.
À quoi sert la méthode de variation des constantes dans les équations différentielles ?
La méthode de variation des constantes est une technique utilisée pour trouver une solution particulière à une équation différentielle linéaire non homogène. Elle permet de construire cette solution à partir de la solution générale de l'équation homogène associée, en remplaçant les constantes par des fonctions à déterminer.