Examen algèbre janvier ucd smpc1 2013 2014 algèbre 1 -Algèbr
Télécharger PDFUniversité Chouaïb Doukkali, Département de Mathématiques et Informatique, El Jadida
Année Universitaire: 2013/2014
Filières SMPC1
Examen du premier semestre
Examen de Janvier
Épreuve d'Algèbre
Durée 1h30
Exercice 1
Dans ℝ4, on considère les vecteurs u1 = (1,0,1,1), u2 = (1, 1, 0, 1), u3 = (0,-1,1,0), u4 = (2, 1, 1, 2) et F le sous-espace vectoriel de ℝ4 engendré par la famille {u1, u2, u3, u4}.
1. Donner une (ou plusieurs) équation(s) qui caractérise(nt) F.
2. En déduire une base de F.
Exercice 2
Soit G le sous-espace vectoriel de ℝ4 engendré par les vecteurs : (3,1,-1,-3), (1,-1,2,-2), (4,0,1,-5) et soit H = {(x, y, z, t) ∈ ℝ4 | x+y=0, x-y+z+2t = 0}.
1. Dire pourquoi H est un sous-espace vectoriel de ℝ4.
2. Déterminer une base de G et une base de H.
3. Déterminer une base de G ∩ H et une base de G + H.
4. A-t-on G + H = ℝ4 ?
5. Trouver un supplémentaire de G+H dans ℝ4.
6. Trouver un supplémentaire de G ∩ H dans G+H.
Exercice 3
On considère le système non linéaire suivant:
(S)
x³y²z = 3²
x³y²z² = 3⁷
x²yz⁻¹ = 2¹¹
1. Montrer que si (x, y, z) est une solution du système (S), alors x, y et z sont du même signe, c'est-à-dire, sont tous positifs ou tous négatifs.
2. Résoudre le système (S).
Correction d'examen d'Algèbre 2013/2014
Correction de l'Exercice 1
1. On considère le système suivant et on applique la méthode de Gauss :
1 1 0 2 | 0 1 0 1 1 | 0 0 -1 1 0 | 0 2 1 1 2 | 0
Après application de la méthode de Gauss, les équations cartésiennes de F sont :
-x + y - z = 0
t = 0
2. La solution du système homogène qui définit F donne F = {(x, y, z, t) ∈ ℝ4 | -x+y-z=0 et t=0}. On cherche une base pour F. Les vecteurs {(1, 1, 0, 1), (0, -1, 1, 0)} constituent une base de F.
Correction de l'Exercice 2
1. H est l'ensemble des solutions d'un système homogène, donc H est un sous-espace vectoriel de ℝ4.
2. Pour G, on applique la méthode de Gauss aux vecteurs de G :
1 -1 2 -2 3 1 -1 -3 4 0 1 -5
Après réduction par la méthode de Gauss, on obtient par exemple les vecteurs :
1 -1 2 -2 0 4 -7 3 0 0 0 0
Posons u1 = (1,-1,2,-2) et u2 = (0,4,-7,3), alors B1 = (u1, u2) est une base de G.
Pour H, H = {(-y, y, 2y-2t, t) | y, t ∈ ℝ} (on a considéré ici y et t comme inconnues secondaires). On a (-y, y, 2y-2t, t) = y(-1, 1, 2, 0) + t(0, 0, -2, 1). Donc B2 = (v1, v2) est une base de H où v1 = (-1, 1, 2, 0) et v2 = (0, 0, -2, 1).
3. On considère la juxtaposition des deux bases (B1, B2) et on applique la méthode de Gauss :
1 -1 2 -2 0 4 -7 3 -1 1 2 0 0 0 -2 1
Après opérations par la méthode de Gauss, on obtient par exemple :
1 -1 2 -2 0 4 -7 3 0 0 4 -2 0 0 0 0
Posons u3 = (0,0,4,-2), alors d'après la dernière matrice, {u1, u2, u3} est une base de G+H. Ainsi, dim(G+H) = 3.
La dernière ligne nulle indique une dépendance linéaire. En résolvant pour un vecteur commun à G et H, on trouve qu'une base de G ∩ H est {v2}, où v2 = (0,0,-2,1).
4. Non, car G ∩ H ≠ {0} et dim(G+H) = 3 ≠ 4 (la dimension de ℝ4 est 4).
5. La dernière matrice est à lignes échelonnées et les vecteurs sont écrits en lignes. Comme les colonnes pivots sont les colonnes 1, 2 et 3, on peut compléter la base {u1, u2, u3} par le vecteur e4 = (0,0,0,1). Par suite, le sous-espace vectoriel engendré par (e4) est un supplémentaire de G+H dans ℝ4.
6. On a {u1, u2, u3} est une base de G+H et {v2} est une base de G ∩ H. Le sous-espace vectoriel G = sev(u1, u2) est un supplémentaire de G ∩ H dans G+H.
Correction de l'Exercice 3
1. Dans la première équation (x³y²z = 3²), 3² est positif et y² est positif, donc x³z l'est aussi. Comme les exposants de x et de z sont impairs, alors x et z sont du même signe. De la même façon, on tire de la deuxième équation (x³y²z² = 3⁷) que x et y sont du même signe, et de la troisième équation (x²yz⁻¹ = 2¹¹) que y et z sont du même signe. En conclusion, x, y et z sont du même signe.
2. On applique la fonction ln (logarithme naturel) pour obtenir un système linéaire :
3 ln|x| + 2 ln|y| + ln|z| = 2 ln(3) 3 ln|x| + 2 ln|y| + 2 ln|z| = 7 ln(3) 2 ln|x| + ln|y| - ln|z| = 11 ln(2)
On considère le tableau complet de ce dernier système et on applique la méthode de Gauss :
3 2 1 | 2 ln(3) 3 2 2 | 7 ln(3) 2 1 -1 | 11 ln(2)
Après application de la méthode de Gauss, on obtient :
3 2 1 | 2 ln(3) 0 0 1 | 5 ln(3) 0 -1 -5 | 33 ln(2) - 4 ln(3)
En réorganisant et poursuivant la résolution, on trouve :
ln|x| = 2 ln(3) - ln(2) ln|y| = -2 ln(2) + ln(3) ln|z| = -6 ln(3) + 7 ln(2)
Alors :
|x| = e(2ln(3) - ln(2)) = 3² / 2 = 9/2
|y| = e(-2ln(2) + ln(3)) = 3 / 2² = 3/4
|z| = e(-6ln(3) + 7ln(2)) = 2⁷ / 3⁶ = 128/729
En conclusion, les solutions du système S sont :
S = {(9/2, 3/4, 128/729), (-9/2, -3/4, -128/729)}
Remarques sur l'Exercice 1
1. On peut aussi utiliser la méthode du rang.
2. Si on change les inconnues secondaires, on obtient une autre base.
Remarques sur l'Exercice 2
2. On peut écrire les vecteurs en colonnes et on utilise des opérations de colonnes, et on peut aussi répondre à la question en donnant une base extraite des vecteurs u, v et w.
6. Si le vecteur de la base de G ∩ H, par exemple s, trouvé par l'étudiant n'est pas un élément de la base B de G ∩ H, dans ce cas on cherche par exemple les coordonnées du vecteur s dans la base B et on applique la méthode du rang pour compléter ce vecteur à une base de G ∩ H, ce qui donne une base d'un supplémentaire de G ∩ H dans G + H.
FAQ
Qu'est-ce qu'un sous-espace vectoriel ?
Un sous-espace vectoriel est un sous-ensemble d'un espace vectoriel qui est lui-même un espace vectoriel sous les mêmes opérations d'addition vectorielle et de multiplication scalaire. Il doit contenir le vecteur nul, être fermé sous l'addition vectorielle et être fermé sous la multiplication scalaire.
Comment déterminer une base d'un sous-espace vectoriel ?
Pour déterminer une base, on peut utiliser la méthode de Gauss sur une matrice formée par les vecteurs générateurs. Après réduction en forme échelonnée, les vecteurs non nuls de la matrice échelonnée forment une base du sous-espace vectoriel. Pour un sous-espace défini par des équations, on résout le système pour exprimer les variables dépendantes en fonction des variables libres, puis on décompose le vecteur solution en une combinaison linéaire de vecteurs, qui formeront une base.
Comment trouver un supplémentaire d'un sous-espace vectoriel ?
Étant donné un espace vectoriel E et un sous-espace vectoriel F, un supplémentaire G de F dans E est un autre sous-espace vectoriel tel que F ∩ G = {0} et F + G = E. On peut le trouver en complétant une base de F avec des vecteurs supplémentaires pour former une base de E. Ces vecteurs supplémentaires engendrent alors un sous-espace G qui est un supplémentaire de F.