Examen algebre 1 smpc1 universite chouaib doukkali 2014 2015

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Exercice 1

On considère le polynôme P(X) = X⁴ - 3X³ + X² + 4.

Montrer que 2 est une racine de P.
Déterminer l'ordre de multiplicité de la racine 2.
Factoriser alors P dans R[X].
En déduire une factorisation de P dans C[X].

Réponses et clarifications pour l'Exercice 1

Pour le polynôme P(X) = X⁴ - 3X³ + X² + 4 :

Montrer que 2 est une racine de P :
Pour vérifier que 2 est une racine, on calcule P(2) : P(2) = 2⁴ - 3(2)³ + 2² + 4 = 16 - 3(8) + 4 + 4 = 16 - 24 + 4 + 4 = 0. Donc, 2 est bien une racine de P.
Déterminer l'ordre de multiplicité de la racine 2 :
On calcule les dérivées successives de P(X) :
- P'(X) = 4X³ - 9X² + 2X
- P''(X) = 12X² - 18X + 2
On évalue ces dérivées en X=2 :
- P'(2) = 4(2)³ - 9(2)² + 2(2) = 32 - 36 + 4 = 0
- P''(2) = 12(2)² - 18(2) + 2 = 12(4) - 36 + 2 = 48 - 36 + 2 = 14
Puisque P(2) = 0, P'(2) = 0 et P''(2) ≠ 0, la racine 2 a un ordre de multiplicité de 2.
Factoriser P dans R[X] :
Puisque 2 est une racine de multiplicité 2, (X-2)² est un facteur de P(X). Effectuons la division euclidienne de P(X) par (X-2)² = X² - 4X + 4.

On trouve P(X) = (X² - 4X + 4)(X² + X + 1).

Pour le trinôme X² + X + 1, le discriminant est Δ = 1² - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3. Puisque Δ < 0, X² + X + 1 n'a pas de racines réelles et est irréductible dans R[X].

La factorisation de P dans R[X] est donc : P(X) = (X - 2)² (X² + X + 1).
En déduire une factorisation de P dans C[X] :
Nous devons trouver les racines complexes de X² + X + 1. Les racines sont X = (-1 ± √(-3))/2 = (-1 ± i√3)/2.

Soient j = (-1 + i√3)/2 et j² = (-1 - i√3)/2. Ce sont les racines cubiques de l'unité, j = e^i2π/3 et j² = e^i4π/3.

Ainsi, X² + X + 1 = (X - j)(X - j²).

La factorisation de P dans C[X] est donc : P(X) = (X - 2)² (X - j)(X - j²).

Exercice 2

On donne les nombres complexes : z₁ = (√6 - i√2) / (1 - i√3) et z₂ = -1 + i√3.

Mettre z₁ et z₂ sous forme algébrique a + ib.
Déterminer le module puis un argument de z₁, z₂ et z₁z₂.
Déterminer le module puis un argument de Z = z₁/z₂ et Z' = z₂¹⁰. Écrire Z et Z' sous forme algébrique.

Réponses et clarifications pour l'Exercice 2

Avec z₁ = (√6 - i√2) / (1 - i√3) et z₂ = -1 + i√3 :

Mettre z₁ et z₂ sous forme algébrique a + ib :
Pour z₁ :
z₁ = (√6 - i√2) / (1 - i√3) = ((√6 - i√2)(1 + i√3)) / ((1 - i√3)(1 + i√3))
= (√6 + i√18 - i√2 - i²√6) / (1² + (√3)²)
= (√6 + i3√2 - i√2 + √6) / (1 + 3)
= (2√6 + i(3√2 - √2)) / 4
= (2√6 + i2√2) / 4
z₁ = √6/2 + i√2/2

Pour z₂, elle est déjà sous forme algébrique : z₂ = -1 + i√3.
Déterminer le module puis un argument de z₁, z₂ et z₁z₂ :
Pour z₁ = √6/2 + i√2/2 :
Module |z₁| = √((√6/2)² + (√2/2)²) = √(6/4 + 2/4) = √(8/4) = √2.
Argument arg(z₁) : cos(θ₁) = (√6/2)/√2 = √3/2, sin(θ₁) = (√2/2)/√2 = 1/2. Donc, arg(z₁) = π/6.

Pour z₂ = -1 + i√3 :
Module |z₂| = √((-1)² + (√3)²) = √(1 + 3) = √4 = 2.
Argument arg(z₂) : cos(θ₂) = -1/2, sin(θ₂) = √3/2. Donc, arg(z₂) = 2π/3.

Pour z₁z₂ :
Module |z₁z₂| = |z₁| |z₂| = √2 * 2 = 2√2.
Argument arg(z₁z₂) = arg(z₁) + arg(z₂) = π/6 + 2π/3 = π/6 + 4π/6 = 5π/6.
Déterminer le module puis un argument de Z = z₁/z₂ et Z' = z₂¹⁰. Écrire Z et Z' sous forme algébrique :
Pour Z = z₁/z₂ :
Module |Z| = |z₁| / |z₂| = √2 / 2.
Argument arg(Z) = arg(z₁) - arg(z₂) = π/6 - 2π/3 = π/6 - 4π/6 = -3π/6 = -π/2.

Forme algébrique de Z : Z = |Z|(cos(arg(Z)) + i sin(arg(Z))) = (√2/2)(cos(-π/2) + i sin(-π/2)) = (√2/2)(0 - i) = -i√2/2.

Pour Z' = z₂¹⁰ :
Nous avons z₂ = 2(cos(2π/3) + i sin(2π/3)).
Module |Z'| = |z₂|¹⁰ = 2¹⁰ = 1024.
Argument arg(Z') = 10 * arg(z₂) = 10 * (2π/3) = 20π/3.

Pour ramener l'argument principal : 20π/3 = 6π + 2π/3. Donc, arg(Z') = 2π/3.

Forme algébrique de Z' : Z' = |Z'|(cos(arg(Z')) + i sin(arg(Z')))
= 1024(cos(2π/3) + i sin(2π/3))
= 1024(-1/2 + i√3/2)
Z' = -512 + i512√3.

Exercice 3

On considère les polynômes Q(X) = X² + X + 1 et P(X) = Xⁿ + X + 1, où n ∈ N*.

Pour quelles valeurs de n, n > 0, Q(X) divise-t-il P(X) ?
Q(X) = X² + X + 1 a pour racines j = e^i2π/3 et j² = e^i4π/3. Pour que Q(X) divise P(X), il faut que ses racines soient aussi des racines de P(X), c'est-à-dire P(j) = 0 et P(j²) = 0. Comme P est à coefficients réels, si P(j)=0, alors P(j²)=0 est automatique. Il suffit donc de vérifier P(j)=0.

P(j) = jⁿ + j + 1. Puisque 1 + j + j² = 0, on sait que j + 1 = -j².

Nous avons les cas pour jⁿ :
- Si n ≡ 0 (mod 3), alors jⁿ = (j³)^k = 1^k = 1. Dans ce cas, P(j) = 1 + j + 1 = 2 + j ≠ 0. Donc, Q ne divise pas P.
- Si n ≡ 1 (mod 3), alors jⁿ = j. Dans ce cas, P(j) = j + j + 1 = 2j + 1 ≠ 0. Donc, Q ne divise pas P.
- Si n ≡ 2 (mod 3), alors jⁿ = j². Dans ce cas, P(j) = j² + j + 1 = 0. Donc, Q divise P.
Par conséquent, Q(X) divise P(X) si et seulement si n ≡ 2 (mod 3).
Dans le cas où Q divise P, déterminer l'ordre de multiplicité de la racine j de P.
Pour n ≡ 2 (mod 3), nous savons que P(j) = 0. Pour déterminer l'ordre de multiplicité, nous devons calculer P'(j).

P'(X) = nX^n-1 + 1.

P'(j) = n j^n-1 + 1.

Puisque n ≡ 2 (mod 3), nous pouvons écrire n = 3k + 2 pour un entier k ≥ 0.

Alors n - 1 = 3k + 1.

Donc, j^n-1 = j^3k+1 = (j³)^k * j¹ = 1^k * j = j.

P'(j) = n j + 1.

Pour que j soit une racine de multiplicité supérieure à 1, il faut que P'(j) = 0, c'est-à-dire n j + 1 = 0.

Si n j + 1 = 0, alors j = -1/n. C'est une contradiction car j est un nombre complexe non réel. j = (-1 + i√3)/2, qui n'est pas un nombre réel, et ne peut donc pas être égal à -1/n (qui est réel). En particulier, |j|=1, donc |-1/n|=1 implique 1/n=1, d'où n=1. Or, n=1 n'est pas congruent à 2 modulo 3 (1 ≡ 1 (mod 3)).

Par conséquent, P'(j) = n j + 1 ≠ 0.

Donc, dans le cas où Q divise P (c'est-à-dire n ≡ 2 (mod 3)), la racine j de P est une racine simple (ordre de multiplicité 1).

FAQ sur les Polynômes et Nombres Complexes

Qu'est-ce que l'ordre de multiplicité d'une racine ?: L'ordre de multiplicité d'une racine 'a' d'un polynôme P(X) est le plus grand entier 'k' tel que (X-a)^k divise P(X). Plus formellement, si P(a)=0, P'(a)=0, ..., P^(k-1)(a)=0 et P^(k)(a) ≠ 0, alors 'a' est une racine d'ordre de multiplicité 'k'.
Quelle est la différence entre la factorisation dans R[X] et C[X] ?: La factorisation dans R[X] (polynômes à coefficients réels) permet des facteurs linéaires (X-a) pour les racines réelles, et des facteurs quadratiques irréductibles (AX²+BX+C avec un discriminant négatif) pour les paires de racines complexes conjuguées. La factorisation dans C[X] (polynômes à coefficients complexes) permet de factoriser complètement tout polynôme en facteurs linéaires (X-z) où 'z' sont les racines, qu'elles soient réelles ou complexes.
Pourquoi les racines de X² + X + 1 sont-elles importantes en nombres complexes ?: Les racines de X² + X + 1 sont j = e^i2π/3 et j² = e^i4π/3. Elles sont appelées les racines cubiques de l'unité (différentes de 1) et possèdent des propriétés fondamentales comme 1 + j + j² = 0 et j³ = 1. Elles sont couramment utilisées dans divers problèmes d'algèbre et d'analyse complexe.