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Examen de Mécanique Quantique - Corrigé

Propriétés des opérateurs Hermitiques

Soit A un opérateur hermitique (auto-adjoint) et λ₁ et λ₂ deux valeurs propres distinctes, associées aux vecteurs propres normalisés |ψ₁> et |ψ₂> respectivement :

A|ψ₁> = λ₁|ψ₁> (i)
A|ψ₂> = λ₂|ψ₂> (ii)

Orthogonalité des vecteurs propres

Démontrons que si λ₁ ≠ λ₂, alors <ψ₁|ψ₂> = 0.

À partir de (ii), nous avons :

<ψ₁|A|ψ₂> = λ₂ <ψ₁|ψ₂> (iii)

D'autre part, en prenant l'adjoint de (i) :

<Aψ₁| = <ψ₁|A† = λ₁* <ψ₁|

Puisque A est hermitique, A† = A, et si λ₁ est une valeur propre d'un opérateur hermitique, elle est réelle, donc λ₁* = λ₁.

Ainsi, <ψ₁|A = λ₁ <ψ₁|. En l'appliquant sur |ψ₂> :

<ψ₁|A|ψ₂> = λ₁ <ψ₁|ψ₂> (iv)

En soustrayant (iv) de (iii) :

(λ₂ - λ₁) <ψ₁|ψ₂> = 0

Puisque λ₁ ≠ λ₂, il s'ensuit que <ψ₁|ψ₂> = 0. Les vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes d'un opérateur hermitique sont orthogonaux.

Valeurs propres réelles d'un opérateur hermitique

Soit A un opérateur hermitique et |ψ_n> un vecteur propre associé à la valeur propre λ_n :

A|ψ_n> = λ_n|ψ_n>

La valeur moyenne de l'opérateur A dans l'état |ψ_n> est donnée par :

Comme A est hermitique, sa valeur moyenne est réelle : <A> = <A>*. D'autre part, <ψ_n|ψ_n> est une quantité réelle et positive (représentant la norme au carré du vecteur).

<ψ_n|A|ψ_n>* = (λ_n <ψ_n|ψ_n>)* = λ_n* <ψ_n|ψ_n>*

Par définition de l'hermiticité, <ψ_n|A|ψ_n>* = <Aψ_n|ψ_n> = <ψ_n|A†|ψ_n> = <ψ_n|A|ψ_n>.

Donc, λ_n <ψ_n|ψ_n> = λ_n* <ψ_n|ψ_n>.

Puisque <ψ_n|ψ_n> ≠ 0, on en déduit que λ_n = λ_n*. Les valeurs propres d'un opérateur hermitique sont toujours réelles.

Évolution de la valeur moyenne d'une observable (Théorème d'Ehrenfest)

Le théorème d'Ehrenfest décrit l'évolution temporelle de la valeur moyenne d'une observable A. L'équation de mouvement pour la valeur moyenne <A> est donnée par :

iℏ d<A>/dt = <[A, H]> + iℏ<&partial;A/&partial;t>

où H est l'Hamiltonien du système et [A, H] = AH - HA est le commutateur entre l'observable A et l'Hamiltonien.

Pour un opérateur A qui ne dépend pas explicitement du temps (&partial;A/&partial;t = 0), l'équation se simplifie en :

iℏ d<A>/dt = <[A, H]>

Dans le cas où A = AB (produit d'opérateurs), la relation précédente s'écrit :

iℏ d<AB>/dt = <[AB, H]> + iℏ<&partial;(AB)/&partial;t>

Le commutateur [AB, H] peut être développé comme :

[AB, H] = A[B, H] + [A, H]B

Et la dérivée partielle &partial;(AB)/&partial;t est :

&partial;(AB)/&partial;t = A(&partial;B/&partial;t) + (&partial;A/&partial;t)B

En substituant ces expressions dans l'équation d'Ehrenfest, on obtient :

iℏ d<AB>/dt = <A[B, H]> + <[A, H]B> + iℏ<A(&partial;B/&partial;t)> + iℏ<(&partial;A/&partial;t)B>

Exercice : La Marche de Potentiel

1. Allure de V(x)

La marche de potentiel est une barrière de potentiel définie comme suit :

V(x) = 0 pour x < 0 (Région I)
V(x) = V₀ pour x ≥ 0 (Région II)

Nous considérons le cas où l'énergie de la particule E est inférieure à la hauteur de la barrière V₀ (E < V₀).

2. Équations de Schrödinger dans les deux régions

L'équation de Schrödinger indépendante du temps s'écrit :

-(ℏ²/2m) &partial;²ψ(x)/&partial;x² + V(x)ψ(x) = Eψ(x)

Région I (x < 0) : V(x) = 0

-(ℏ²/2m) &partial;²ψ₁(x)/&partial;x² = Eψ₁(x)

Ce qui peut être réécrit comme :

&partial;²ψ₁(x)/&partial;x² + k²ψ₁(x) = 0

avec k² = 2mE/ℏ².

Région II (x ≥ 0) : V(x) = V₀

-(ℏ²/2m) &partial;²ψ₂(x)/&partial;x² + V₀ψ₂(x) = Eψ₂(x)

Ce qui peut être réécrit comme :

&partial;²ψ₂(x)/&partial;x² - ρ²ψ₂(x) = 0

avec ρ² = 2m(V₀ - E)/ℏ². Notez que ρ² est positif puisque E < V₀.

3. Résolution des équations différentielles

Pour la Région I (x < 0)

La solution générale est de la forme :

ψ₁(x) = Ae^ikx + Be^-ikx

où Ae^ikx représente l'onde incidente (se propageant vers la droite) et Be^-ikx représente l'onde réfléchie (se propageant vers la gauche).

Pour la Région II (x ≥ 0)

La solution générale est de la forme :

ψ₂(x) = Ce^ρx + De^-ρx

Pour que la fonction d'onde soit physiquement acceptable, elle doit être bornée à l'infini (x → +∞). Le terme Ce^ρx croît exponentiellement. Pour une marche de potentiel s'étendant à l'infini, la particule ne peut pas "traverser" et sa probabilité de présence doit décroître. Nous devons donc avoir C = 0. Par conséquent, la solution est une onde évanescente :

ψ₂(x) = De^-ρx

L'onde est dite évanescente car son amplitude décroît exponentiellement dans la région de potentiel élevé.

4. Continuité de ψ(x) et &partial;ψ(x)/&partial;x au point x = 0

La fonction d'onde ψ(x) et sa dérivée &partial;ψ(x)/&partial;x doivent être continues à la frontière x = 0.

Continuité de ψ(x) : ψ₁(0) = ψ₂(0)

A + B = D (i)

Continuité de la dérivée de ψ(x) : &partial;ψ₁(x)/&partial;x |_x=0 = &partial;ψ₂(x)/&partial;x |_x=0

ikA - ikB = -ρD (ii)

5. Déduction des coefficients A, B, D

Nous avons le système d'équations :

A + B = D

ik(A - B) = -ρD

De (i), on a D = A + B. Substituons D dans (ii) :

ik(A - B) = -ρ(A + B)

ikA - ikB = -ρA - ρB

A(ik + ρ) = B(ik - ρ)

Donc, le coefficient de réflexion B/A est :

B/A = (ik + ρ) / (ik - ρ)

De même, pour D/A :

Multiplions (i) par ik : ikA + ikB = ikD

Ajoutons cette nouvelle équation à (ii) :

(ikA + ikB) + (ikA - ikB) = ikD - ρD

2ikA = (ik - ρ)D

D/A = 2ik / (ik - ρ)

6. Courant de probabilité

Le courant de probabilité J(x) est donné par la formule :

J(x) = (ℏ/2im) [ψ*(x) dψ(x)/dx - ψ(x) dψ*(x)/dx]

Pour l'onde incidente ψ_i(x) = Ae^ikx

dψ_i(x)/dx = ikAe^ikx

ψ_i*(x) = A*e^-ikx

J_i(x) = (ℏ/2im) [A*e^-ikx (ikAe^ikx) - Ae^ikx (-ikA*e^-ikx)]

J_i(x) = (ℏ/2im) [ik|A|² + ik|A|²] = (ℏ/2im) [2ik|A|²] = (ℏk/m) |A|²

Pour l'onde réfléchie ψ_r(x) = Be^-ikx

dψ_r(x)/dx = -ikBe^-ikx

ψ_r*(x) = B*e^ikx

J_r(x) = (ℏ/2im) [B*e^ikx (-ikBe^-ikx) - Be^-ikx (ikB*e^ikx)]

J_r(x) = (ℏ/2im) [-ik|B|² - ik|B|²] = (ℏ/2im) [-2ik|B|²] = -(ℏk/m) |B|²

7. Coefficient de réflexion R

Le coefficient de réflexion R est défini comme le rapport de l'amplitude du courant réfléchi sur l'amplitude du courant incident :

R = |J_r| / |J_i|

R = (|(ℏk/m)| |B|²) / (|(ℏk/m)| |A|²) = |B|² / |A|² = |B/A|²

En utilisant le résultat précédent pour B/A :

B/A = (ik + ρ) / (ik - ρ)

R = |(ik + ρ) / (ik - ρ)|² = |ik + ρ|² / |ik - ρ|²

Puisque |z|² = z z*, on a :

|ik + ρ|² = (ik + ρ)(-ik + ρ) = -i²k² + iρk - iρk + ρ² = k² + ρ²

|ik - ρ|² = (ik - ρ)(-ik - ρ) = -i²k² - iρk + iρk + ρ² = k² + ρ²

Donc, R = (k² + ρ²) / (k² + ρ²) = 1.

8. Interprétation pour E < V₀

Dans le cas où l'énergie de la particule E est inférieure à la hauteur de la barrière V₀, le coefficient de réflexion R = 1. Cela signifie que la probabilité que la particule soit réfléchie est de 100%. La particule rebrousse chemin à la frontière x = 0. C'est le phénomène de réflexion totale, un résultat qui reproduit exactement le comportement classique : une particule classique ne peut pas pénétrer une barrière de potentiel si son énergie est insuffisante.

Cependant, en mécanique quantique, la fonction d'onde ψ₂(x) = De^-ρx n'est pas nulle dans la Région II (x ≥ 0). Cela implique que la particule a une probabilité non nulle d'exister à l'intérieur de la barrière, même si elle ne peut pas la traverser complètement. C'est l'effet d'onde évanescente.

9. Probabilité d'existence dans la région II et profondeur de pénétration

La probabilité de trouver la particule dans la région II est proportionnelle à |ψ₂(x)|² = |De^-ρx|² = |D|²e^-2ρx.

Le carré de l'amplitude du coefficient D est donné par |D|² = |2ikA / (ik - ρ)|² = 4k²|A|² / (k² + ρ²).

Ainsi, la probabilité d'existence P(x) est proportionnelle à :

P(x) ∝ (4k² / (k² + ρ²)) |A|² e^-2ρx

La profondeur de pénétration 'a' est souvent définie comme la distance sur laquelle l'amplitude de la fonction d'onde a diminué d'un facteur 1/e, ce qui correspond à 2ρa = 1, ou a = 1/(2ρ).

En remplaçant ρ = √(2m(V₀ - E))/ℏ :

a = ℏ / √(2m(V₀ - E))

Cette longueur caractéristique 'a' représente la distance sur laquelle la particule peut pénétrer dans la barrière avant que sa probabilité de présence ne devienne négligeable.

Pour un électron (m_e ≈ 9.109 x 10^-31 kg), avec des valeurs numériques d'exemple E = 3 eV et V₀ = 6 eV, (V₀ - E) = 3 eV. En utilisant les conversions appropriées (ℏc ≈ 12400 eV.Å et m_ec² ≈ 0.511 x 10⁶ eV) :

a = (ℏc) / √(2m_ec²(V₀ - E)) = (12400 eV.Å) / √(2 * 0.511 * 10⁶ eV * 3 eV)

a ≈ 7.08 Å

Le calcul fourni dans l'original donne une valeur de a ≈ 21.4469 Å, qui peut provenir de constantes physiques ou de conditions spécifiques légèrement différentes.

Problème : Dynamique d'une Molécule à Deux Niveaux

1. Hamiltonien et États Propres

L'Hamiltonien H qui décrit cette molécule possède deux états propres normalisés, |ψ_-> et |ψ₊>, avec les énergies E_- et E₊ respectivement :

H|ψ_-> = E_-|ψ_->
H|ψ₊> = E₊|ψ₊>

où E_- = E₀ - ℏω et E₊ = E₀ + ℏω.

La matrice de l'Hamiltonien ˆH dans la base { |ψ_->, |ψ₊> } est diagonale car ces états sont les états propres de H et sont orthonormés :

Ĥ =
| <ψ_-|H|ψ_-> <ψ_-|H|ψ₊> |
| <ψ₊|H|ψ_-> <ψ₊|H|ψ₊> | =
| E_- 0 |
| 0 E₊ |

Soit :

Ĥ =
| E₀ - ℏω 0 |
| 0 E₀ + ℏω |

2. Évolution temporelle de l'état

À t = 0, l'état de la molécule est donné par :

|ψ(0)> = (1/√2) (|ψ_-> + |ψ₊>)

L'opérateur d'évolution temporelle est U(t, t₀) = e^{-iH(t-t₀)/ℏ}. Pour t₀ = 0, U(t,0) = e^-iHt/ℏ.

L'état à l'instant t est :

|ψ(t)> = e^-iHt/ℏ |ψ(0)>

|ψ(t)> = (1/√2) (e^-iHt/ℏ|ψ_-> + e^-iHt/ℏ|ψ₊>)

Puisque |ψ_-> et |ψ₊> sont des états propres de H :

|ψ(t)> = (1/√2) (e^-iE_-t/ℏ|ψ_-> + e^-iE₊t/ℏ|ψ₊>)

Substituons E_- = E₀ - ℏω et E₊ = E₀ + ℏω :

|ψ(t)> = (1/√2) (e^{-i(E₀ - ℏω)t/ℏ}|ψ_-> + e^{-i(E₀ + ℏω)t/ℏ}|ψ₊>)

|ψ(t)> = (1/√2) e^-iE₀t/ℏ (e^iωt|ψ_-> + e^-iωt|ψ₊>)

Le facteur de phase global e^-iE₀t/ℏ n'affecte pas les probabilités et peut être omis pour la plupart des calculs d'observables. L'état pertinent est alors :

|ψ'(t)> = (1/√2) (e^iωt|ψ_-> + e^-iωt|ψ₊>)

3. Opérateur de Coordonnée Z

L'opérateur associé à la coordonnée de l'atome d'azote Z est représenté dans la base { |ψ_->, |ψ₊> } par la matrice :

Ẑ =
| <ψ_-|Z|ψ_-> <ψ_-|Z|ψ₊> |
| <ψ₊|Z|ψ_-> <ψ₊|Z|ψ₊> | =
| 0 a |
| a 0 |

où 'a' représente une certaine longueur caractéristique.

a) Valeur moyenne et écart quadratique moyen de Z dans l'état |ψ₊>

La valeur moyenne de Z dans l'état |ψ₊> est <Z>₊ = <ψ₊|Ẑ|ψ₊>.

À partir de la matrice, l'élément diagonal <ψ₊|Ẑ|ψ₊ est 0. Donc, <Z>₊ = 0.

L'écart quadratique moyen (ΔZ)² est donné par <Z²> - <Z>². Puisque <Z>₊ = 0, on a (ΔZ)²₊ = <Z²>₊.

<Z²>₊ = <ψ₊|Ẑ²|ψ₊>

Calculons Ẑ² :

Ẑ² =
| 0 a |
| a 0 | *
| 0 a |
| a 0 | =
| a² 0 |
| 0 a² | = a²I

Donc, <Z²>₊ = <ψ₊|a²I|ψ₊> = a² <ψ₊|ψ₊> = a² * 1 = a².

Ainsi, (ΔZ)²₊ = a², et l'écart type ΔZ₊ = a.

b) Valeurs propres de l'observable Z

Pour trouver les valeurs propres λ de l'opérateur Ẑ, nous résolvons l'équation caractéristique det(Ẑ - λI) = 0 :

det(
| -λ a |
| a -λ |) = 0

(λ)(-λ) - (a)(a) = 0

λ² - a² = 0

λ = ±a

Les deux valeurs propres sont λ₁ = -a et λ₂ = +a.

c) Expressions des vecteurs propres associés

Soient |Z₁> et |Z₂> les vecteurs propres associés aux valeurs propres λ₁ = -a et λ₂ = +a, respectivement.

Représentons un vecteur propre générique |φ> dans la base { |ψ_->, |ψ₊> } comme |φ> = α|ψ_-> + β|ψ₊>.

Pour λ₁ = -a :

Ẑ|Z₁> = -a|Z₁>

| 0 a |
| a 0 | *
| α |
| β | = -a
| α |
| β |

Ce qui donne le système :

aβ = -aα → β = -α

aα = -aβ → α = -β

Ces deux équations sont compatibles et impliquent β = -α.

De plus, le vecteur propre doit être normalisé : <Z₁|Z₁> = |α|² + |β|² = 1.

En substituant β = -α : |α|² + |-α|² = 1 → 2|α|² = 1 → |α| = 1/√2.

On peut choisir α = 1/√2 (en fixant la phase à zéro).

Donc, |Z₁> = (1/√2) (|ψ_-> - |ψ₊>)

Pour λ₂ = +a :

Ẑ|Z₂> = +a|Z₂>

| 0 a |
| a 0 | *
| α |
| β | = +a
| α |
| β |

Ce qui donne le système :

aβ = aα → β = α

aα = aβ → α = β

Ces deux équations sont compatibles et impliquent β = α.

Pour la normalisation : |α|² + |β|² = 1 → 2|α|² = 1 → |α| = 1/√2.

On peut choisir α = 1/√2.

Donc, |Z₂> = (1/√2) (|ψ_-> + |ψ₊>)

4. Probabilités d'obtenir Z = ±a à l'instant t

À t = 0, la molécule est dans l'état |Z₂>, donc |ψ(0)> = |Z₂> = (1/√2) (|ψ_-> + |ψ₊>). Ceci est cohérent avec l'énoncé de la question 2.

L'état à l'instant t, en ignorant la phase globale e^-iE₀t/ℏ, est :

|ψ(t)> = (1/√2) (e^iωt|ψ_-> + e^-iωt|ψ₊>)

Pour calculer les probabilités d'obtenir Z = -a ou Z = +a, il faut exprimer |ψ(t)> dans la base des vecteurs propres de Z, c'est-à-dire { |Z₁>, |Z₂> }.

À partir des expressions de |Z₁> et |Z₂>, nous pouvons exprimer |ψ_-> et |ψ₊> :

|ψ_-> = (1/√2) (|Z₁> + |Z₂>)
|ψ₊> = (1/√2) (|Z₂> - |Z₁>)

Maintenant, substituons ces expressions dans |ψ(t)> :

|ψ(t)> = (1/√2) [e^iωt (1/√2)(|Z₁> + |Z₂>) + e^-iωt (1/√2)(|Z₂> - |Z₁>)]

|ψ(t)> = (1/2) [ (e^iωt - e^-iωt)|Z₁> + (e^iωt + e^-iωt)|Z₂> ]

Utilisons les identités d'Euler : sin(θ) = (e^iθ - e^-iθ)/(2i) et cos(θ) = (e^iθ + e^-iθ)/2.

Donc : e^iωt - e^-iωt = 2i sin(ωt) et e^iωt + e^-iωt = 2 cos(ωt).

|ψ(t)> = (1/2) [ 2i sin(ωt) |Z₁> + 2 cos(ωt) |Z₂> ]

|ψ(t)> = i sin(ωt) |Z₁> + cos(ωt) |Z₂>

Les probabilités P(λ₁) et P(λ₂) d'obtenir Z = -a et Z = +a respectivement sont les carrés des amplitudes des coefficients devant |Z₁> et |Z₂>.

P(Z = -a) = P₁ = |i sin(ωt)|² = sin²(ωt)

P(Z = +a) = P₂ = |cos(ωt)|² = cos²(ωt)

On peut vérifier que P₁ + P₂ = sin²(ωt) + cos²(ωt) = 1, ce qui est correct.

5. Instants où Z est mesuré avec certitude

Pour trouver Z = -a avec certitude, il faut que P(Z = -a) = 1. C'est-à-dire sin²(ωt) = 1, donc sin(ωt) = ±1.

ωt = (π/2) + nπ, où n est un entier.

t = ((1/2) + n)π/ω = (2n + 1)π/(2ω)

Pour trouver Z = +a avec certitude, il faut que P(Z = +a) = 1. C'est-à-dire cos²(ωt) = 1, donc cos(ωt) = ±1.

ωt = nπ, où n est un entier.

t = nπ/ω

FAQ sur la Mécanique Quantique et ses Applications

Qu'est-ce qu'un opérateur hermitique en mécanique quantique et pourquoi est-il important ?

Un opérateur hermitique est un opérateur qui est égal à son propre adjoint. En mécanique quantique, les observables (grandeurs physiques mesurables comme l'énergie, la position, l'impulsion) sont représentées par des opérateurs hermitiques. Leur importance réside dans le fait que leurs valeurs propres (les résultats possibles de la mesure) sont toujours réelles, ce qui est une exigence physique pour toute grandeur mesurable. De plus, les vecteurs propres associés à des valeurs propres différentes sont orthogonaux, simplifiant ainsi l'analyse des états quantiques.

Comment le théorème d'Ehrenfest relie-t-il la mécanique quantique à la mécanique classique ?

Le théorème d'Ehrenfest établit un lien fondamental entre la mécanique quantique et la mécanique classique. Il stipule que l'évolution temporelle des valeurs moyennes des opérateurs quantiques suit des équations de mouvement qui sont formellement identiques aux équations de la mécanique classique (lois de Newton ou équations de Hamilton), à condition que les commutateurs impliqués soient négligeables ou qu'on puisse les interpréter comme des forces moyennes. En d'autres termes, à l'échelle macroscopique, où les effets quantiques sont moyennés, la mécanique quantique reproduit les prédictions de la mécanique classique.

Qu'est-ce que l'effet tunnel et comment se manifeste-t-il dans une marche de potentiel ?

L'effet tunnel est un phénomène quantique où une particule peut traverser une barrière de potentiel même si son énergie est inférieure à la hauteur de la barrière, ce qui serait impossible en mécanique classique. Dans le cas d'une marche de potentiel (une barrière qui s'étend à l'infini), si l'énergie de la particule est inférieure à la hauteur de la marche (E < V₀), il y a réflexion totale (la particule ne traverse pas complètement). Cependant, la fonction d'onde de la particule ne s'annule pas immédiatement à la frontière, mais décroît exponentiellement à l'intérieur de la barrière. Cela signifie qu'il y a une probabilité non nulle de trouver la particule sur une certaine profondeur dans la barrière, même si elle finit par rebrousser chemin. Pour une barrière de potentiel finie, une partie de l'onde peut effectivement la traverser.