Td serie 1 mecanique quantique smp4 universite ibn zohr 2022

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Université Ibn Zohr, Faculté des Sciences, Agadir

جامعة ابن زهر، كلية العلوم، أكادير

Exercice 1: Concept de la Première Quantification

Les résultats expérimentaux obtenus pour un corps noir sont régis par les deux lois empiriques :

Loi de Stefan : u(λ,T)dλ = aT⁴
Loi de déplacement de Wien : λ_max T = constante.

Il est demandé de calculer :

Donner une interprétation de ces deux lois.
Pour un tel système, la théorie classique de Rayleigh-Jeans conduit à : u_RJ(ν,T) = 8π k_B Tν² / c³
1. Écrire u(λ,T) et donner son allure.
2. Cette théorie est-elle en accord avec l'expérience ? Pourquoi ?
3. Expliquer ce que l'on entend par 'catastrophe ultraviolette'.
Planck a établi la formule suivante donnant la densité u : u_Planck(ν,T) = u(ν,T) = (8πhν³ / c³) * (1 / (e^hν/k_BT - 1)). Trouver son accord avec l'expérience.
On veut retrouver la loi empirique de déplacement de Wien
1. Écrire la formule de Planck en termes de λ : u(λ, T).
2. Déterminer λ_max sachant que l'équation : (1 - e^-x) = x/5 peut être résolue graphiquement ; soit : x = x_max = 4,97. En déduire la loi de Wien.
3. Estimer la température du Soleil sachant que le maximum d'intensité du spectre solaire correspond à λ_max = 0,55 μm. Commenter.

Exercice 2: Effet Photoélectrique (Introduction du concept de photon)

Rappeler et interpréter la relation d'Einstein donnant le bilan énergétique de l'absorption du photon par un métal.
Soit une substance métallique quelconque,
1. Cette substance est éclairée par la lumière visible (0,4-0,75 μm) mais ne produit aucun courant électrique. Que peut-on dire de son travail de sortie ?
2. On recouvre la substance par du zinc dont le travail de sortie est W_s = 3,4 eV puis on l'éclaire avec une radiation de longueur d'onde λ = 0,2 μm. Donner la longueur d'onde et la fréquence du seuil photoélectrique. Quelle est la vitesse maximale des photoélectrons arrachés ?
3. Mêmes questions pour le césium dont le travail de sortie est W₁ = 1,8 eV.
4. Comparer les résultats b) et c) et conclure.

Les potentiels d'arrêt mesurés au cours d'une expérience photoélectrique menée avec un émetteur au calcium sont les suivants :

λ (Å)	V₀ (Volt)
2536	1,95
3132	0,98
3650	0,5
4047	0,14

Déterminer la valeur de la constante de Planck.
Déterminer le travail de sortie de l'émetteur.

Exercice 3: Effet Compton

État initial : Photon incident (λ), Électron au repos (v=0)

État final : Photon diffusé (λ'), Électron (v' non nulle)

On envoie un faisceau de rayons X de fréquence ν et de longueur d'onde λ = c/ν sur une cible très mince (on suppose pour simplifier les choses un électron lié à un atome de la cible, dont l'énergie est négligeable - quelques eV - devant celle du photon incident, et on peut considérer que la vitesse initiale de l'électron est nulle (v=0)). On observe les rayons diffusés dans une direction faisant l'angle θ avec la direction Ox du faisceau incident. On constate que la longueur d'onde λ' des photons diffusés est supérieure à λ et que cette longueur d'onde est fonction de l'angle d'observation suivant la relation : λ' - λ = (h / m_ec) (1 - cos θ) (*)

Interpréter la relation (*) qui régit l'effet Compton.
Montrer que la relation entre l'angle de diffusion du photon et l'angle de diffusion de l'électron (α) est telle que : cot α = (1 + hν / (m_ec²)) tan(θ/2).
Montrer que l'énergie cinétique maximale transférée à l'électron après diffusion est : E_max = hν * (2hν / (m_ec² + 2hν)).
Un rayon X de longueur d'onde 0,300 Å subit une diffusion Compton à 60°. Quelles sont, après diffusion, la longueur d'onde du photon et l'énergie cinétique de l'électron ?
Un électron frappé par un rayon X de 0,5 MeV acquiert une énergie de 0,1 MeV.
1. Calculer la longueur d'onde du photon diffusé sachant que l'électron était initialement au repos.
2. Calculer l'angle que fait le photon diffusé avec le photon incident.

On donne : h / (m_ec) = 0,024 Å (appelée longueur d'onde de Compton λ_c).

Exercice 4: Traitement Classique ou Quantique

Par analogie avec le critère de la relativité basé sur la constante c (vitesse de la lumière), on a utilisé un critère relatif à la constante h de Planck. Rappeler ce critère et donner les dimensions de h.
Applications: Dans chacun des exemples suivants, préciser si l'on a (ou pas) recours à la théorie quantique:
1. Une montre à ressort possédant des parties mobiles de taille et de masse typiques: d = 0,1 mm et m = 0,1 mg et un temps typique t = 1 s.
2. Un noyau dont l'énergie de liaison (neutron ou proton) est typiquement de l'ordre de 8 MeV; la dimension caractéristique du noyau se situe autour de r = 1 fm (1 fm = 10^-15 m) tandis que la masse d'un nucléon vaut 1,6 × 10^-27 kg.
Utiliser la relation de Louis de Broglie et réécrire le critère ci-dessous pour un système d'atomes distants de a. Faire application pour un faisceau monocinétique d'électrons d'énergie 100 eV qui rencontre un cristal de paramètre de réseau de 1 Å.

Exercice 5: Quantification de l'Énergie – Modèle de Bohr pour un Hydrogénoïde

Un hydrogénoïde est un atome constitué d'un électron (masse m et charge -e) et d'un noyau de masse M≫m et de charge +Ze. On suppose que l'électron décrit un cercle de rayon r autour du noyau supposé fixe.

Montrer que l'énergie totale de l'hydrogénoïde s'écrit : E = - (Ze²) / (8πε₀r). Quelle est la signification d'une énergie totale nulle ?
Quel résultat obtient-on par application de la théorie classique ?
On tient compte des deux hypothèses suivantes (hypothèses de Bohr):
1. Les seules orbites permises pour l'électron sont celles pour lesquelles le moment cinétique L satisfait à la relation : |L| = nℏ où n est un entier ≥ 1 et ℏ = h/(2π) (h étant la constante de Planck).
2. L'électron rayonne de l'énergie seulement lorsqu'il saute d'une orbite caractérisée par une énergie E_n à une autre orbite d'énergie E_p plus petite. La fréquence ν_n→p d'émission est telle que : hν_n→p = E_n – E_p.
1. Établir l'expression du rayon des orbites permises ainsi que leurs énergies correspondantes.
2. Montrer que les longueurs d'onde λ_n→p d'émission vérifient la relation suivante : 1/λ_n→p = Z² R_H (1/p² - 1/n²) où R_H est la constante de Rydberg pour l'Hydrogène. Exprimer littéralement, puis numériquement la constante R_H.
3. Donner les séries associées aux valeurs de p et n et faire un diagramme.

Exercice 6: Atome d'Hydrogène (Facultatif)

La fonction d'onde décrivant l'état fondamental de l'électron de l'atome d'hydrogène s'écrit, en coordonnées sphériques : ψ(r) = C e^-r/a, où C est une constante réelle et positive et a est le rayon de l'orbite de Bohr: a = 0,53 × 10^-10 m.

Calculer la constante C.
Calculer la densité de probabilité de présence de l'électron et tracer son allure.
Calculer la probabilité de trouver l'électron entre les deux sphères de rayons r et r + dr. Pour quelle valeur de r, cette probabilité est-elle maximale ?

Exercice 7: Paquet d'Ondes Gaussien (Facultatif)

Une particule libre de masse m, d'impulsion p = ℏk et d'énergie E est décrite par le paquet d'ondes ψ(x, t) à une dimension : ψ(x, t) = (1/√(2π)) ∫ g(k) e^i(kx-ωt) dk

Trouver la relation entre E et k. En déduire la relation de dispersion ω(k).
On considère le paquet d'ondes à l'instant initial : ψ(x, t = 0) = ψ(x).
1. Montrer que g(k) n'est autre que la transformée de Fourier de ψ(x).
2. Établir l'égalité de Parseval-Plancherel : ∫_-∞^+∞ |ψ(x)|²dx = ∫_-∞^+∞ |g(k)|²dk.
On suppose par la suite que la fonction g(k) est une gaussienne centrée en k₀ : g(k) = (2α²/π)^1/4 exp(-α² (k-k₀)² / 4), où α est une constante ayant la dimension d'une longueur.
Paquet d'ondes à l'instant t = 0:
1. Montrer que ψ(x, 0) est donnée par : ψ(x, 0) = (1 / (2πα²))^1/4 e^ik₀x exp(-x² / (2α²)).
2. On définit le centre du paquet d'ondes par le point x où |ψ(x, 0)|² est maximale ; donner la position du centre du paquet d'ondes.
3. Montrer que la probabilité de trouver la particule dans tout l'espace est égale à 1.
4. On définit la largeur Δy d'une gaussienne f(y) = exp(-y²/b²) par Δy = b/√2. Déterminer les largeurs Δx(0) de |ψ(x, 0)|² et Δk(0) de |g(k)|². En déduire que le paquet d'ondes ψ(x, 0) obéit à la relation d'incertitude d'Heisenberg.
Évolution du paquet d'ondes ψ(x, t) dans le temps: À l'instant t > 0, l'expression du paquet d'ondes ψ(x,t) est de la forme (à ne pas démontrer) : ψ(x,t) = (2πα²)^-1/4 (1 + iℏt/(mα²))^-1/2 exp(i(k₀x - ℏk₀²t/(2m))) exp(-(x - ℏk₀t/m)² / (2(α² + iℏt/m))).
1. Calculer la densité de probabilité |ψ(x, t)|² associée à la particule à l'instant t.
2. Déterminer la position x(t) du centre du paquet d'ondes à l'instant t. Quelle est sa vitesse de déplacement ? La comparer à la vitesse de groupe associée au paquet.
3. Déterminer la largeur Δx(t) et l'amplitude A(t) de |ψ(x, t)|². Décrire qualitativement la variation de ces deux grandeurs en fonction du temps. Conclure quant à l'évolution de la forme de la densité de probabilité au cours du temps.

Données

Solution de l'équation : 5 - x = 5e^-x est x ≈ 4,965
m_e = 9,109 × 10^-31 kg
h = 6,626 × 10^-34 J·s
c = 3 × 10⁸ m/s
k_B = 1,38 × 10^-23 J/K

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce que le rayonnement du corps noir et pourquoi la théorie classique a-t-elle échoué à le décrire ?

Le rayonnement du corps noir est l'émission de lumière par un objet idéalisé qui absorbe toutes les radiations électromagnétiques incidentes. La théorie classique de Rayleigh-Jeans échouait à le décrire en prédisant une quantité infinie d'énergie émise aux courtes longueurs d'onde (la "catastrophe ultraviolette"), ce qui contredisait les observations expérimentales.

Comment l'effet photoélectrique a-t-il conduit à la notion de photon ?

L'effet photoélectrique, où des électrons sont émis d'un matériau sous l'action de la lumière, a montré que l'énergie lumineuse n'est pas continue mais est absorbée en paquets discrets, appelés photons. L'énergie d'un photon dépend de sa fréquence (E = hν), expliquant pourquoi seule une lumière de fréquence suffisante peut arracher des électrons, quelle que soit son intensité.

Quel est le principe fondamental du modèle de Bohr pour l'atome d'hydrogène ?

Le modèle de Bohr postule que les électrons dans un atome se déplacent sur des orbites stables et quantifiées, ne rayonnant pas d'énergie tant qu'ils restent sur ces orbites. Les électrons ne rayonnent ou n'absorbent de l'énergie que lorsqu'ils "sautent" d'une orbite à une autre, avec une énergie d'émission ou d'absorption égale à la différence d'énergie entre les deux orbites (hν = E_n - E_p).