Exercices algèbre 2 smpc2 série 1

Exercices algèbre 2 smpc2 série 1 univ chouaïb doukkali 2013

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Exercice 1 : Matrices de Pauli et Commutateurs

Les matrices de Pauli, développées par Wolfgang Pauli, sont définies comme l'ensemble des matrices carrées complexes d'ordre 2 suivantes :

σ_x = [[0, 1], [1, 0]], σ_y = [[0, -i], [i, 0]] et σ_z = [[1, 0], [0, -1]].

Elles sont utilisées en mécanique quantique dès 1927 pour représenter les observables quantiques.

Calculer les commutateurs suivants : [σ_x, σ_y], [σ_y, σ_z] et [σ_z, σ_x].
Soit σ² = σ_x² + σ_y² + σ_z², calculer [σ², σ_x] = σ²σ_x - σ_xσ².

Exercice 2 : Matrices et Puissances

(Extrait de l'examen de la session de rattrapage année 2013/2014)

Soit la matrice T = [[2, 0, 0], [0, 1, -1], [0, 0, 1]].

Montrer que T = D + N avec D une matrice diagonale et N une matrice dont la diagonale est nulle.
Calculer N² et en déduire N^k pour k ≥ 2.
Calculer DN et ND et en déduire Tⁿ en fonction de N, D et n.
Calculer Tⁿ en fonction de n uniquement.

Exercice 3 : Inversibilité et Inverse de Matrices

Pour chacune des matrices suivantes, dire si elle est inversible ou non. Dans le cas où la matrice est inversible, calculer son inverse :

A = [[3, 0, 2], [5, 0, 7], [2, 1, 0]]

B = [[1, 1, 2], [0, 1, 1], [1, 0, 5]]

C = [[√3, 7, 4], [0, 0, 5], [0, 0, 1]]

D = [[1, 0, 0], [2, 1, 0], [-5, -2, 4]]

E = [[1, 1, 1], [1, 1, 1], [2, 2, 2]]

Refaire cette question en utilisant la méthode du déterminant.

Exercice 4 : Calcul de Déterminant

Soit a ∈ R. Calculer le déterminant de la matrice suivante :

A = [[1, cos(a), cos(2a)], [cos(a), cos(2a), cos(3a)], [cos(2a), cos(3a), cos(4a)]]

Exercice 5 : Rang de Matrice

Soient a, b, c ∈ R. Calculer le rang de la matrice suivante :

[[1, 1, 1], [b+c, c+a, a+b], [bc, ca, ab]]

Exercice 6 : Rang d'une Matrice Paramétrée

Soient a, b ∈ R et A la matrice suivante :

A = [[a, 2, -1, b], [3, 0, 1, -4], [5, 4, -1, 2], [1, 0, 3, -5]]

Montrer que rg(A) > 0.
Pour quelles valeurs de a et b a-t-on rg(A) = 2 ?

Exercice 7 : Applications Linéaires, Bases et Matrices de Passage

(Extrait de l'examen de la session de rattrapage année 2012/2013)

On considère les deux applications linéaires suivantes :

f: R² → R³, (x, y) ↦ (x + y, x - y, 2x + 3y)

g: R³ → R², (x, y, z) ↦ (-x - y + 2z, 3x - y + 2z)

Soient B₂ = {e₁ = (1,0), e₂ = (0,1)} la base canonique de R² et B₃ = {v₁ = (1,0,0), v₂ = (0,1,0), v₃ = (0,0,1)} la base canonique de R³.

1. Montrer que f et g sont des applications linéaires.
2. Donner les matrices suivantes : M(f, B₂, B₃), M(g, B₃, B₂), M(f ∘ g, B₃, B₃) et M(g ∘ f, B₂, B₂).
3. En déduire les expressions de (f ∘ g)(x, y, z) et de (g ∘ f)(x, y).
4. Déterminer Ker(f), Im(f), Ker(g) et Im(g).
On pose f₁ = e₁ + e₂, f₂ = e₁ - e₂ pour une nouvelle base B'₂ de R², et w₁ = v₁ - v₂ + v₃, w₂ = v₁ + v₂ - v₃ et w₃ = -v₁ + v₂ + v₃ pour une nouvelle base B'₃ de R³. Montrer que B'₂ est une base de R² et que B'₃ est une base de R³.
1. Donner la matrice P de passage de la base B₂ à la base B'₂ et calculer P⁻¹.
2. Donner la matrice Q de passage de la base B₃ à la base B'₃ et calculer Q⁻¹.
Écrire les matrices suivantes :
1. M(f, B'₂, B₃)
2. M(f, B'₂, B'₃)
3. M(g, B'₃, B₂)
4. M(f ∘ g, B'₃, B'₃)
Résoudre les systèmes suivants :
1. f(x, y) = (a, b, c)
2. g(x, y, z) = (a, b), où a, b, c ∈ R.

Exercice 4 : Diagonalisation, Vecteurs Propres et Suites de Matrices

On considère les matrices suivantes :

A = [[5, 5, -14], [6, 6, -16], [4, 4, -12]]

B = [[5, 5, -14], [0, 4, -8], [1, 0, 1]]

P = [[2, -1, 1], [1, 0, 1], [1, 1, 2]]

Vecteurs : v₁ = [[1], [1], [0]] ; v₂ = [[ -1], [0], [1]] ; v₃ = [[ -1], [1], [1]].

1. Vérifier que v₁, v₂ et v₃ sont des vecteurs propres de A.
2. À quelles valeurs propres sont-ils associés ?
3. Montrer que ces valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique P_A(λ) = det(A - λI₃).
1. Montrer que P est inversible et calculer P⁻¹.
2. Calculer P⁻¹AP, on pose D = P⁻¹AP.
3. Calculer P⁻¹BP, on pose Δ = P⁻¹BP.
On se propose de calculer la suite des matrices colonnes X_n définie par : X₀ = [[1], [2], [0]] ; X₁ = [[1], [0], [1]] et X_n+2 = AX_n+1 + BX_n pour tout n ∈ N.
Pour étudier X_n, on pose Y_n = P⁻¹X_n = [[U_n], [V_n], [W_n]].
1. Calculer Y₀ et Y₁.
2. Montrer que Y_n+2 = D Y_n+1 + Δ Y_n.
3. Montrer que U_n+2 = U_n+1, V_n+2 = 4V_n+1 et W_n+2 = -4W_n+1 - 4W_n.
4. En déduire l'expression explicite de U_n, V_n et W_n en fonction de n.
Donner finalement l'expression de la matrice X_n en fonction de n.

Exercice 5 : Trigonalisation de Matrices

Trigonaliser dans R les matrices suivantes :

A = [[0, 1, 0], [3, -1, 0], [0, 0, 1]]

B = [[2, 4, 2], [-3, 0, 4], [0, 0, 1]]

C = [[5, -1, 0], [1, 1, 0], [1, 0, 3]]

Exercice 6 : Endomorphisme et Forme de Jordan

On considère l'application linéaire f: R³ → R³ définie par :

(x, y, z) ↦ (7x + 3y - 4z, -6x - 2y + 5z, 4x + 2y - z)

Donner la matrice A de f dans la base canonique B de R³.
Calculer le polynôme caractéristique de A.
Déterminer les deux valeurs propres de A notées λ₁ et λ₂ telles que λ₁ < λ₂.
Trouver un vecteur u tel que E(λ₂) = sev(u), calculer dim E(λ₂).
Trouver un vecteur v tel que E(λ₁) = sev(v), en déduire dim E(λ₁).
Trouver un vecteur w tel que {v, w} soit une base de Ker((A - λ₁ I)²).
Montrer que B' = (u, v, w) est une base de R³.
Déterminer la matrice P_B'B et la matrice P_BB'.
Calculer f(w) en fonction de v et w et en déduire la matrice de f dans la base B' notée B = M(f, B', B'). Quelle relation existe entre A et B ?
Calculer Aⁿ en utilisant l'exercice 2 de la série 2.

FAQ

Qu'est-ce qu'une application linéaire ?

Une application linéaire est une fonction entre deux espaces vectoriels qui préserve l'addition des vecteurs et la multiplication par un scalaire. Elle est fondamentale en algèbre linéaire pour modéliser des transformations.

Quand une matrice est-elle inversible ?

Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Cela signifie qu'il existe une autre matrice qui, multipliée par la première, donne la matrice identité.

Que représente le rang d'une matrice ?

Le rang d'une matrice est le nombre maximal de lignes (ou de colonnes) linéairement indépendantes. Il indique la dimension de l'espace image de l'application linéaire associée à la matrice.