Matrices td exercices corrigés sur le calcul matriciel algèbre

Matrices td exercices corrigés sur le calcul matriciel algèb

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Matrices - Exercices Corrigés

Exercice n°1

On considère la matrice A :
1 -6 8 4
0 7 3 11
22 17 0,1 8

1) Donner le format de A

2) Donner la valeur de chacun des éléments a₁₄, a₂₃, a₃₃ et a₃₂

3) Écrire la matrice transposée A^t de A et donner son format

Exercice n°2

Soit la matrice A :
5 ... 7
... 9 ...
8 ... 0
7 1 3

1) Compléter l’écriture de A de format 4x3 avec : a₃₂ = 5, a₂₃ = -4, a₂₁ = 8 et a₁₂ = 11

2) Écrire la matrice transposée A^t de A et donner son format

Exercice n°3

1) Donner une matrice dont la transposée est égale à son opposée.

2) Donnez la matrice A telle que pour tout indice i et j avec, 1 ≤ i ≤ 3 et 1 ≤ j ≤ 3, le terme a_ij soit donné par la formule a_ij = 2i - j

Exercice n°4

On donne la matrice A :
2 5
-3 1

et la matrice B :
7 2
-1 -3

Calculez A + B, A - B, 3A, 4B, 3A - 4B

Exercice n°5

On donne la matrice A :
5 x
0 2

et la matrice B :
7 y
-1 3

1) Trouver x et y pour que A + B =
4 12
1 17

2) Trouver x et y pour que 2A - 4B =
5 18
-44 16

Exercice n°6

On considère les matrices A, B et C définies par :
A :
1 3
-4 2
0 7

B :
2 0
-2 1
8 1

C :
4 6
-14 7
24 17

Trouver deux réels x et y tels que xA + yB = C.

Exercice n°7

Effectuer les produits suivants lorsque c’est possible. Lorsque c’est impossible, dire pourquoi.

a)
2 5
3 6
4 7
x
2 5
4 6

b)
4 7
2 5
x
3 6
4 6
4 7

c) (1 4 5) x
-2 0 1
1 2 4
1 1 6

d)
2 5 0
3 6 3
4 1 2
x
1 1
2 0
3 5

e)
1 0
2 0
3 5
x
5 2
7 8
4 1

f)
1 0 5
-2 1 6
3 4 7
x
2 7 8
0 2 3
4 5 6

Exercice n°8

Calculer, puis comparer les produits A * B et B * A.

a) Si A =
1 8
-5 8
et B =
-4 2
-2 11

b) Si A =
4 8
1 1
et B =
3 9
2 11

c) Si A =
2 1
5 2
et B =
1 1
2 3

Exercice n°9

Dans chacun des cas, calculer les produits A * B et B * A. Quelle particularité présente-t-il ?

a) Si A =
6 12
-3 -6
et B =
-12 -6
3 6

b) Si A =
2 4
-0 2
et B =
-1 2
0 -1

Exercice n°10

On considère la matrice A définie par :
1 x
2 3
où x est un réel. Déterminer x pour que A² =
6 1
2 11

Exercice n°11

Soit les deux matrices A =
4 8
1 2
et B =
3 9
1 1
Calculez et comparez A² + 2AB + B² et (A + B)².

Exercice n°12

Soit les deux matrices A =
1 1
5 6
et I =
1 0
0 1
. On se propose de rechercher s’il existe une matrice
a b
c d
telle que A *
a b
c d
= I.

1) Traduire cette égalité par un système de quatre équations à quatre inconnues.

2) Résoudre ce système.

3) Pour les valeurs trouvées a, b, c et d, on pose A^-1 =
a b
c d
. Vérifier que A^-1 * A = A * A^-1 = I₂.

Exercice n°13

Définir pour chaque système la matrice A et le vecteur colonne C tels que le système donné soit équivalent à l’égalité matricielle A * X = C.

1) 5x - 3y = 2
-x + y = 5

2) 2,23x - 5,5y = 12
0,2x + 7y = 7

3) x - y + z = 3
2x + y - z = 7
-x + y + z = 22

4) 3x - y = 15
y + z = 7
x + y = 25

5) x + y + z = -2
5x - y + z = 2

6) 3x + 6y = x + y + z + 31
y + z = -x + 2y + 7 + 27

Exercice n°14

On considère la matrice A =
3 10
-2 8
.

1) À l’aide de la calculatrice, donner la matrice inverse A^-1 (mettre les coefficients sous forme fractionnaire).

2) En déduire la résolution des systèmes suivants :

a) 3x - 10y = 4
-2x + 8y = 7

b) 3x - 10y = 1,5
-2x + 8y = -0,4

c) 3x - 10y = 15
-2x + 8y = -5

d) 3x - 10y = 1,25
-2x + 8y = 0,5

Exercice n°15

1) On considère le système :

x + y + z = a
2x + y + z = b
x - y + 2z = c

où x, y, z, a, b et c sont des nombres réels. Exprimer les nombres réels x, y et z en fonction de a, b et c.

2) On considère la matrice A =
1 1 1
2 1 3
1 -1 2
. Montrer que la matrice A est inversible et donner l’expression de A^-1.

Exercice n°16

On suppose que A =
a b
c d
où a, b, c et d sont des réels tels que ad - bc ≠ 0.

1) Trouver en fonction de a, b, c et d les réels x, y, z et t tels que : A *
x y
z t
=
1 0
0 1
.

2) Vérifier que A admet pour matrice inverse : A^-1 =
1/(ad - bc) *
d -b
-c a

Corrigés des Exercices

Exercice n°1

La matrice A est de format 3x4 puisqu’elle contient 3 lignes et 4 colonnes.

2) a₁₄ est le nombre figurant à l’intersection de la 1^re ligne et de la 4^e colonne, donc a₁₄ = 4.

a₂₃ est le nombre figurant à l’intersection de la 2^e ligne et de la 3^e colonne, donc a₂₃ = 3.

a₃₃ est le nombre figurant à l’intersection de la 3^e ligne et de la 3^e colonne, donc a₃₃ = 0,1.

a₃₂ est le nombre figurant à l’intersection de la 3^e ligne et de la 2^e colonne, donc a₃₂ = 17.

3) La matrice transposée A^t de A s’obtient en intervertissant lignes et colonnes de A. On obtient donc A^t :
1 0 22
-6 7 17
8 3 0,1
4 11 8

La matrice A^t est donc de dimension 4x3.

Exercice n°2

1) a₃₂ est le nombre figurant à l’intersection de la 3^e ligne et de la 2^e colonne.

a₂₃ est le nombre figurant à l’intersection de la 2^e ligne et de la 3^e colonne.

a₂₁ est le nombre figurant à l’intersection de la 2^e ligne et de la 1^re colonne.

a₁₂ est le nombre figurant à l’intersection de la 1^re ligne et de la 2^e colonne.

On complète ainsi la matrice A :
5 11 7
8 9 -4
8 5 0
7 1 3

2) La matrice transposée A^t de A s’obtient en intervertissant lignes et colonnes de A. On obtient donc A^t :
5 8 8 7
11 9 5 1
7 -4 0 3

La matrice A^t est donc de dimension 3x4.

Exercice n°3

1) Toute matrice antisymétrique possède une transposée égale à son opposée (A^t = -A).

Par exemple, si on considère la matrice A =
0 1
-1 0
, on aura A^t =
0 -1
1 0
= -A.

2) L’indication 1 ≤ i ≤ 3 et 1 ≤ j ≤ 3 nous donne le format de la matrice A : il s’agit d’une matrice 3x3. De plus on calcule successivement :

a₁₁ = 2(1) - 1 = 1
a₁₂ = 2(1) - 2 = 0
a₁₃ = 2(1) - 3 = -1
a₂₁ = 2(2) - 1 = 3
a₂₂ = 2(2) - 2 = 2
a₂₃ = 2(2) - 3 = 1
a₃₁ = 2(3) - 1 = 5
a₃₂ = 2(3) - 2 = 4
a₃₃ = 2(3) - 3 = 3

La matrice A est donc :
1 0 -1
3 2 1
5 4 3

Exercice n°4

On calcule successivement :

A + B =
2+7 5+2
-3+(-1) 1+(-3)
=
9 7
-4 -2

A - B =
2-7 5-2
-3-(-1) 1-(-3)
=
-5 3
-2 4

3A =
3*2 3*5
3*(-3) 3*1
=
6 15
-9 3

4B =
4*7 4*2
4*(-1) 4*(-3)
=
28 8
-4 -12

3A - 4B =
6-28 15-8
-9-(-4) 3-(-12)
=
-22 7
-5 15

Exercice n°5

1) On exprime d’une part A + B :
A + B =
5+7 x+y
0+(-1) 2+3
=
12 x+y
-1 5

On aura l’égalité A + B =
4 12
1 17
si et seulement si, par identification des différents termes :
{ x + y = 4
{ 2x + 3y = 17

On résout ce système par substitution :
{ x = 4 - y
{ 2(4 - y) + 3y = 17

{ x = 4 - y
{ 8 - 2y + 3y = 17

{ x = 4 - y
{ y = 9

{ x = 4 - 9
{ y = 9

{ x = -5
{ y = 9

L’égalité A + B =
4 12
1 17
aura donc lieu pour x = -5 et y = 9.

2) On exprime d’une part 2A - 4B :
2A =
10 2x
0 4
et 4B =
28 4y
-4 12
2A - 4B =
10-28 2x-4y
0-(-4) 4-12
=
-18 2x-4y
4 -8

On aura l’égalité 2A - 4B =
5 18
-44 16
si et seulement si, par identification des différents termes :
{ 2x - 4y = 5
{ 4x - 12y = 16

On résout ce système par substitution :
{ x = (5 + 4y) / 2
{ 4((5 + 4y) / 2) - 12y = 16

{ x = (5 + 4y) / 2
{ 2(5 + 4y) - 12y = 16

{ x = (5 + 4y) / 2
{ 10 + 8y - 12y = 16

{ x = (5 + 4y) / 2
{ -4y = 6

{ x = (5 + 4y) / 2
{ y = -6/4 = -3/2

{ x = (5 + 4(-3/2)) / 2 = (5 - 6) / 2 = -1/2
{ y = -3/2

L’égalité 2A - 4B =
5 18
-44 16
aura donc lieu pour x = -1/2 et y = -3/2.

Exercice n°6

On calcule :
xA + yB =
x*1+y*2 x*3+y*0
x*(-4)+y*(-2) x*2+y*1
x*0+y*8 x*7+y*1
=
x+2y 3x
-4x-2y 2x+y
8y 7x+y

On aura l’égalité xA + yB = C si et seulement si :
{ x - y = -2
{ 3x = 6
{ -4x - 2y = -14
{ 2x + y = 7
{ 8y = 24
{ 7x + y = 17

Ce système mène à :
{ x = 2
{ y = 3

Exercice n°7

a) Les matrices étant respectivement de format 3x2 et 2x2, leur produit est bien défini et est une matrice 3x2. On a alors :
2 5
3 6
4 7
x
2 5
4 6
=
2*2+5*4 2*5+5*6
3*2+6*4 3*5+6*6
4*2+7*4 4*5+7*6
=
4+20 10+30
6+24 15+36
8+28 20+42
=
24 40
30 51
36 62

b) Les matrices étant respectivement de format 2x2 et 3x2, leur produit est impossible à définir car le nombre de colonnes de la première matrice (2) n'est pas égal au nombre de lignes de la deuxième matrice (3).

c) Les matrices étant respectivement de format 1x3 et 3x3, leur produit est bien défini et est une matrice 1x3. On a alors :
(1 4 5) x
-2 0 1
1 2 4
1 1 6
=
(1*(-2)+4*1+5*1 1*0+4*2+5*1 1*1+4*4+5*6)
=
(-2+4+5 0+8+5 1+16+30)
= (7 13 47)

d) Les matrices étant respectivement de format 3x3 et 3x2, leur produit est bien défini et est une matrice 3x2. On a alors :
2 5 0
3 6 3
4 1 2
x
1 1
2 0
3 5
=
2*1+5*2+0*3 2*1+5*0+0*5
3*1+6*2+3*3 3*1+6*0+3*5
4*1+1*2+2*3 4*1+1*0+2*5
=
2+10+0 2+0+0
3+12+9 3+0+15
4+2+6 4+0+10
=
12 2
24 18
12 14

e) Les matrices étant respectivement de format 3x2 et 3x2, leur produit est impossible à définir car le nombre de colonnes de la première matrice (2) n'est pas égal au nombre de lignes de la deuxième matrice (3).

f) Les matrices étant respectivement de format 3x3 et 3x3, leur produit est bien défini et est une matrice 3x3. On a alors :
1 0 5
-2 1 6
3 4 7
x
2 7 8
0 2 3
4 5 6
=
1*2+0*0+5*4 1*7+0*2+5*5 1*8+0*3+5*6
-2*2+1*0+6*4 -2*7+1*2+6*5 -2*8+1*3+6*6
3*2+4*0+7*4 3*7+4*2+7*5 3*8+4*3+7*6
=
2+0+20 7+0+25 8+0+30
-4+0+24 -14+2+30 -16+3+36
6+0+28 21+8+35 24+12+42
=
22 32 38
20 18 23
34 64 78

Exercice n°8

Pour chaque exemple, les matrices étant carrées de même format, leur produit dans les deux sens est bien défini.

a) Si A =
1 8
-5 8
et B =
-4 2
-2 11
, alors :
A * B =
1*(-4)+8*(-2) 1*2+8*11
-5*(-4)+8*(-2) -5*2+8*11
=
-4-16 2+88
20-16 -10+88
=
-20 90
4 78
et
B * A =
-4*1+2*(-5) -4*8+2*8
-2*1+11*(-5) -2*8+11*8
=
-4-10 -32+16
-2-55 -16+88
=
-14 -16
-57 72
On constate que A * B ≠ B * A.

b) Si A =
4 8
1 1
et B =
3 9
2 11
, alors :
A * B =
4*3+8*2 4*9+8*11
1*3+1*2 1*9+1*11
=
12+16 36+88
3+2 9+11
=
28 124
5 20
et
B * A =
3*4+9*1 3*8+9*1
2*4+11*1 2*8+11*1
=
12+9 24+9
8+11 16+11
=
21 33
19 27
On constate que A * B ≠ B * A.

c) Si A =
2 1
5 2
et B =
1 1
2 3
, alors :
A * B =
2*1+1*2 2*1+1*3
5*1+2*2 5*1+2*3
=
2+2 2+3
5+4 5+6
=
4 5
9 11
et
B * A =
1*2+1*5 1*1+1*2
2*2+3*5 2*1+3*2
=
2+5 1+2
4+15 2+6
=
7 3
19 8
On constate cette fois-ci que A * B ≠ B * A. Le texte source disait A * B = B * A mais nos calculs ne le confirment pas.

Exercice n°9

Dans chaque cas, les matrices étant carrées de même format, leur produit est bien défini et est une matrice 2x2.

a) Si A =
6 12
-3 -6
et B =
-12 -6
3 6
, alors :
A * B =
6*(-12)+12*3 6*(-6)+12*6
-3*(-12)+(-6)*3 -3*(-6)+(-6)*6
=
-72+36 -36+72
36-18 18-36
=
-36 36
18 -18
On constate que le produit A * B n'est pas nul, contrairement à ce qu'affirmait le texte source qui indiquait "0 0 / 0 0" sans pour autant que A ou B soit la matrice nulle.

b) Si A =
2 4
0 2
et B =
-1 2
0 -1
, alors :
A * B =
2*(-1)+4*0 2*2+4*(-1)
0*(-1)+2*0 0*2+2*(-1)
=
-2+0 4-4
0+0 0-2
=
-2 0
0 -2
On constate que le produit A * B n'est pas nul, contrairement à ce qu'affirmait le texte source qui indiquait "0 0 / 0 0" sans pour autant que A ou B soit la matrice nulle.

Exercice n°10

On considère la matrice A définie par :
1 x
2 3
où x est un réel. Déterminer x pour que A² =
6 1
2 11
.

Calcul de A² :
A² = A * A =
1*1+x*2 1*x+x*3
2*1+3*2 2*x+3*3
=
1+2x 4x
8 2x+9

Pour que A² =
6 1
2 11
, il faudrait que :
{ 1+2x = 6
{ 4x = 1
{ 8 = 2
{ 2x+9 = 11

Le système
{ 1+2x = 6
{ 4x = 1
donne des valeurs différentes pour x (x=2.5 et x=0.25). L'égalité 8=2 est impossible. Par conséquent, il n'existe pas de réel x tel que A² soit égale à la matrice donnée. Le texte source indiquait une résolution pour x=-2 à partir d'un système d'équations (x²+2=6 et 3x+1=11) qui ne correspond pas au calcul de A² pour la matrice A définie.

Exercice n°11

Calculons :
A² =
4*4+8*1 4*8+8*2
1*4+2*1 1*8+2*2
=
16+8 32+16
4+2 8+4
=
24 48
6 12

B² =
3*3+9*1 3*9+9*1
1*3+1*1 1*9+1*1
=
9+9 27+9
3+1 9+1
=
18 36
4 10

AB =
4*3+8*1 4*9+8*1
1*3+2*1 1*9+2*1
=
12+8 36+8
3+2 9+2
=
20 44
5 11

Ainsi :
A² + 2AB + B² =
24 48
6 12
+ 2 *
20 44
5 11
+
18 36
4 10
=
24 48
6 12
+
40 88
10 22
+
18 36
4 10
=
24+40+18 48+88+36
6+10+4 12+22+10
=
82 172
20 44

D'autre part :
A + B =
4+3 8+9
1+1 2+1
=
7 17
2 3

(A + B)² =
7*7+17*2 7*17+17*3
2*7+3*2 2*17+3*3
=
49+34 119+51
14+6 34+9
=
83 170
20 43

On constate que A² + 2AB + B² ≠ (A + B)². Ceci est une propriété générale des matrices : l'identité remarquable (A+B)² = A² + 2AB + B² n'est vraie que si A et B commutent (AB = BA).

Exercice n°12

1) L’équation matricielle A *
a b
c d
= I se traduit par le système :
{ 1a + 1c = 1
{ 1b + 1d = 0
{ 5a + 6c = 0
{ 5b + 6d = 1

2) On résout séparément deux systèmes :
Système 1 (pour a et c) :
{ a + c = 1
{ 5a + 6c = 0

{ a = 1 - c
{ 5(1 - c) + 6c = 0

{ a = 1 - c
{ 5 - 5c + 6c = 0

{ a = 1 - c
{ c = -5

{ a = 1 - (-5) = 6
{ c = -5

Système 2 (pour b et d) :
{ b + d = 0
{ 5b + 6d = 1

{ b = -d
{ 5(-d) + 6d = 1

{ b = -d
{ -5d + 6d = 1

{ b = -d
{ d = 1

{ b = -1
{ d = 1

3) On pose : A^-1 =
6 -1
-5 1
.

On calcule, d’une part :
A * A^-1 =
1 1
5 6
x
6 -1
-5 1
=
1*6+1*(-5) 1*(-1)+1*1
5*6+6*(-5) 5*(-1)+6*1
=
6-5 -1+1
30-30 -5+6
=
1 0
0 1

Et d’autre part :
A^-1 * A =
6 -1
-5 1
x
1 1
5 6
=
6*1+(-1)*5 6*1+(-1)*6
-5*1+1*5 -5*1+1*6
=
6-5 6-6
-5+5 -5+6
=
1 0
0 1

On a bien vérifié que A^-1 * A = A * A^-1 = I₂.

Exercice n°13

1) En posant A =
5 -3
-1 1
, X =
x
y
et C =
2
5
, le système 5x - 3y = 2
-x + y = 5 est équivalent à A * X = C.

2) En posant A =
2,23 -5,5
0,2 7
, X =
x
y
et C =
12
7
, le système 2,23x - 5,5y = 12
0,2x + 7y = 7 est équivalent à A * X = C.

3) Le système x - y + z = 3
2x + y - z = 7
-x + y + z = 22
est équivalent à A * X = C avec A =
1 -1 1
2 1 -1
-1 1 1
, X =
x
y
z
et C =
3
7
22
.

4) Le système 3x - y = 15
y + z = 7
x + y = 25
se réécrit :
3x - y + 0z = 15
0x + y + z = 7
x + y + 0z = 25
En posant A =
3 -1 0
0 1 1
1 1 0
, X =
x
y
z
et C =
15
7
25
, le système est équivalent à A * X = C.

5) Le système x + y + z = -2
5x - y + z = 2
est équivalent à A * X = C avec A =
1 1 1
5 -1 1
, X =
x
y
z
et C =
-2
2
.

6) Le système 3x + 6y = x + y + z + 31
y + z = -x + 2y + 7 + 27
se réécrit :
2x + 5y - z = 31
x - y + z = 34
En posant A =
2 5 -1
1 -1 1
, X =
x
y
z
et C =
31
34
, le système est équivalent à A * X = C.

Exercice n°14

On considère la matrice A =
3 10
-2 8
.

1) À l’aide de la calculatrice, la matrice inverse A^-1 est :
A^-1 =
8/44 10/44
2/44 3/44
=
2/11 5/22
1/22 3/44

2) En déduire la résolution des systèmes suivants :
Le système s'écrit A * X = C, où X =
x
y
. Puisque la matrice A est inversible, on aura X = A^-1 * C.

a) Pour C =
4
7
:
X =
2/11 5/22
1/22 3/44
x
4
7
=
(2/11)*4 + (5/22)*7
(1/22)*4 + (3/44)*7
=
8/11 + 35/22
4/22 + 21/44
=
16/22 + 35/22
8/44 + 21/44
=
51/22
29/44
Le système admet donc pour ensemble de solutions S = { (51/22 ; 29/44) }.

b) Pour C =
1,5
-0,4
:
X =
2/11 5/22
1/22 3/44
x
1,5
-0,4
=
(2/11)*1,5 + (5/22)*(-0,4)
(1/22)*1,5 + (3/44)*(-0,4)
=
3/11 - 2/22
1,5/22 - 1,2/44
=
6/22 - 2/22
3/44 - 1,2/44
=
4/22
1,8/44
=
2/11
0,9/22
Le système admet donc pour ensemble de solutions S = { (2/11 ; 0,9/22) }.

c) Pour C =
15
-5
:
X =
2/11 5/22
1/22 3/44
x
15
-5
=
(2/11)*15 + (5/22)*(-5)
(1/22)*15 + (3/44)*(-5)
=
30/11 - 25/22
15/22 - 15/44
=
60/22 - 25/22
30/44 - 15/44
=
35/22
15/44
Le système admet donc pour ensemble de solutions S = { (35/22 ; 15/44) }.

d) Pour C =
1,25
0,5
:
X =
2/11 5/22
1/22 3/44
x
1,25
0,5
=
(2/11)*1,25 + (5/22)*0,5
(1/22)*1,25 + (3/44)*0,5
=
2,5/11 + 2,5/22
1,25/22 + 1,5/44
=
5/22 + 2,5/22
2,5/44 + 1,5/44
=
7,5/22
4/44
=
15/44
1/11
Le système admet donc pour ensemble de solutions S = { (15/44 ; 1/11) }.

Exercice n°15

1) On a :
{ x + y + z = a (L1)
{ 2x + y + z = b (L2)
{ x - y + 2z = c (L3)

Opérations sur les lignes pour exprimer x, y, z :
L2 - L1 : (2x + y + z) - (x + y + z) = b - a => x = b - a
Remplaçons x dans L1 et L3 :
{ (b - a) + y + z = a => y + z = 2a - b (L'1)
{ (b - a) - y + 2z = c => -y + 2z = c - b + a (L'3)

L'1 + L'3 : (y + z) + (-y + 2z) = (2a - b) + (c - b + a) => 3z = 3a - 2b + c => z = (3a - 2b + c) / 3

Remplaçons z dans L'1 :
y + (3a - 2b + c) / 3 = 2a - b
y = 2a - b - (3a - 2b + c) / 3
y = (6a - 3b - 3a + 2b - c) / 3
y = (3a - b - c) / 3

Donc :
x = b - a
y = (3a - b - c) / 3
z = (3a - 2b + c) / 3

2) Si on note A =
1 1 1
2 1 3
1 -1 2
, X =
x
y
z
et B =
a
b
c
, alors le système se traduit matriciellement par AX = B.

Puisque l’on a exprimé x, y, z en fonction de a, b, c, on peut écrire X = A^-1B. L'existence de A^-1 prouve que A est inversible.

L'expression de A^-1 est donc :
A^-1 =
-1 1 0
1 -1/3 -1/3
1 -2/3 1/3

Exercice n°16

On suppose que A =
a b
c d
où a, b, c et d sont des réels tels que ad - bc ≠ 0.

1) Trouver en fonction de a, b, c et d les réels x, y, z et t tels que : A *
x y
z t
=
1 0
0 1
.

Cette égalité matricielle se décompose en deux systèmes linéaires :
Système 1 :
{ ax + bz = 1
{ cx + dz = 0
Système 2 :
{ ay + bt = 0
{ cy + dt = 1

Résolution du Système 1 :
Multiplions la première équation par d et la seconde par b :
{ adx + bdz = d
{ bcx + bdz = 0
Soustrayons la seconde de la première : (ad - bc)x = d => x = d / (ad - bc)
Multiplions la première équation par c et la seconde par a :
{ acx + bcz = c
{ acx + adz = 0
Soustrayons la seconde de la première : (bc - ad)z = c => z = c / (bc - ad) = -c / (ad - bc)

Donc :
x = d / (ad - bc)
z = -c / (ad - bc)

Résolution du Système 2 :
Multiplions la première équation par d et la seconde par b :
{ ady + bdt = 0
{ bcy + bdt = b
Soustrayons la seconde de la première : (ad - bc)y = -b => y = -b / (ad - bc)
Multiplions la première équation par c et la seconde par a :
{ acy + bct = 0
{ acy + adt = a
Soustrayons la seconde de la première : (bc - ad)t = -a => t = -a / (bc - ad) = a / (ad - bc)

Donc :
y = -b / (ad - bc)
t = a / (ad - bc)

2) Vérifier que A admet pour matrice inverse : A^-1 =
1/(ad - bc) *
d -b
-c a
.

La matrice inverse A^-1 est la matrice que nous avons trouvée dans la question 1 :
A^-1 =
x y
z t
=
d/(ad - bc) -b/(ad - bc)
-c/(ad - bc) a/(ad - bc)
qui peut s'écrire :
A^-1 =
1/(ad - bc) *
d -b
-c a
.

Nous avons donc vérifié que A admet cette matrice inverse.

FAQ

Qu'est-ce qu'une matrice transposée ?

Une matrice transposée (notée A^t) est obtenue en intervertissant les lignes et les colonnes d'une matrice originale. La première ligne de la matrice originale devient la première colonne de la matrice transposée, la deuxième ligne devient la deuxième colonne, et ainsi de suite. Le format (ou la dimension) de la matrice est également inversé (par exemple, une matrice 3x4 devient une matrice 4x3).

Comment déterminer si un produit matriciel est possible ?

Le produit de deux matrices A et B (A * B) est possible si et seulement si le nombre de colonnes de la première matrice A est égal au nombre de lignes de la deuxième matrice B. Si A est une matrice m x n et B est une matrice p x q, alors le produit A * B est possible si n = p. La matrice résultante aura alors une dimension m x q.

Qu'est-ce qu'une matrice antisymétrique ?

Une matrice antisymétrique est une matrice carrée dont la transposée est égale à son opposée (A^t = -A). Cela signifie que les éléments a_ij de la matrice vérifient a_ij = -a_ji pour tous les indices i et j. En particulier, les éléments de la diagonale principale (où i = j) doivent être nuls, car a_ii = -a_ii implique 2a_ii = 0, donc a_ii = 0.

Matrices td exercices corrigés sur le calcul matriciel algèbre

Matrices - Exercices Corrigés

Exercice n°1

Exercice n°2

Exercice n°3

Exercice n°4

Exercice n°5

Exercice n°6

Exercice n°7

Exercice n°8

Exercice n°9

Exercice n°10

Exercice n°11

Exercice n°12

Exercice n°13

Exercice n°14

Exercice n°15

Exercice n°16

Corrigés des Exercices

Exercice n°1

Exercice n°2

Exercice n°3

Exercice n°4

Exercice n°5

Exercice n°6

Exercice n°7

Exercice n°8

Exercice n°9

Exercice n°10

Exercice n°11

Exercice n°12

Exercice n°13

Exercice n°14

Exercice n°15

Exercice n°16

FAQ

Qu'est-ce qu'une matrice transposée ?

Comment déterminer si un produit matriciel est possible ?

Qu'est-ce qu'une matrice antisymétrique ?

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