Fiche td 3 : exercices diagonalisation -Algèbre 2

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Université Hassan II de Casablanca, F.S.T Mohammadia, Département de Mathématiques

Fiche 3 : Diagonalisation - Entraînements

Exercice 1

Calculer le polynôme caractéristique de chacune des matrices A suivantes, et en déduire ses valeurs propres (complexes). Pour chacune d'entre elles, déterminer ensuite une base du sous-espace propre associé. La matrice A est-elle diagonalisable ?

(a) Matrice A = ((9, -10), (3, -2))
(b) Matrice A = ((4, 4), (1, 4))
(c) Matrice A = ((2, 5), (4, 3))
(d) Matrice A = ((5, 3i), (8i, -6))
(e) Matrice A = ((-4, 6, 6), (-5, 9, 6), (4, -8, -4))
(f) Matrice A = ((1, 5, -2), (0, 3, -1), (0, 0, -1))
(g) Matrice A = ((1, 1, -1), (0, 1, 0), (1, 0, 1))
(h) Matrice A = ((3, 4, -4), (-2, -1, 2), (-2, 0, 1))
(i) Matrice A = ((1, 1, -2), (-1, 2, -1), (-1, 1, 0))
(j) Matrice A = ((-1, -2, 2), (0, 1, -2), (-3, -3, 2))
(k) Matrice A = ((-1-i, -i, -i), (-i, -1-i, -i), (-i, -i, -1-i))
(l) Matrice A = ((-1, 2, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 0, 4, -2), (0, 0, -2, 1))
(m) Matrice A = ((0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 1), (1, 0, 0, 0, 0))

Exercice 2

Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de la rotation d'angle θ ∈ ]-π, π] de matrice : Rθ = ((cos(θ), sin(θ)), (-sin(θ), cos(θ))) ∈ M₂(K).

M₂(K) désigne l'ensemble des matrices carrées de taille 2x2 à coefficients dans le corps K (généralement ℝ ou ℂ).

Exercice 3

Soit f l'endomorphisme de ℝ³ dont la matrice relativement à la base canonique de ℝ³ est A = ((-1, 1, -1), (-1, 1, 1), (-2, 2, 0)).

Quelles sont les valeurs propres de f ?
Existe-t-il une base de ℝ³ relativement à laquelle la matrice de f est diagonale ? Si oui, donner une telle base.
Calculer Aⁿ pour tout entier naturel n.

Exercice 4

Soit E = ℝ₂[X]. On pose : ∀P ∈ E, f(P) = (2X + 1)P(X) + (1 − X²)P'(X).

Vérifier que f est un endomorphisme de E.
Écrire la matrice A de f par rapport à la base canonique (1, X, X²).
Trouver les valeurs propres de f.
Déterminer les vecteurs propres de f.

Exercice 5

Soit m un nombre réel et f l'endomorphisme de ℝ³ dont la matrice dans la base canonique est A = ((1, 0, 1), (-1, 2, 1), (2-m, m-2, m)).

Quelles sont les valeurs propres de f ?
Pour quelles valeurs de m l'endomorphisme est-il diagonalisable ?
On suppose m = 2. Calculer A^k pour tout k ∈ ℕ.

Exercice 6

Soient a et b des nombres réels et (u_n)_n∈ℕ la suite définie par : u₀ = a, u₁ = b, u_n+2 = u_n+1 + 2u_n, ∀n ∈ ℕ. On considère, pour tout entier n positif ou nul, le vecteur colonne X_n = ((u_n), (u_n+1)) ∈ M_2,1(ℝ).

Montrer que X_n+1 = AX_n, où A est une matrice carrée d'ordre 2 à déterminer.
En déduire l'égalité X_n = AⁿX₀ pour tout entier n positif.
Montrer que A est semblable à une matrice diagonale. Calculer Aⁿ.
En déduire une formule donnant la valeur de u_n en fonction de a, b et n.

Exercice 7

Montrer que Aᵀ et A ont le même polynôme caractéristique, pour tout A ∈ M_n(K).
Soient A ∈ M_n(K) une matrice inversible et B ∈ M_n(K). Montrer que AB et BA ont le même polynôme caractéristique.
Soit A une matrice inversible n × n et P_A son polynôme caractéristique. Exprimer le polynôme caractéristique P_A⁻¹ de la matrice A⁻¹ à l'aide de P_A et de n uniquement (Indication : transformer l'expression P_A(0)P_A⁻¹(X)).
Soit m ∈ ℕ. Montrer que si λ est une valeur propre de A associée au vecteur propre v, alors λ^m est une valeur propre de A^m associée au vecteur propre v.
Déterminer les valeurs propres de A lorsque A² = A (on dit alors que A est idempotente).
Déterminer les valeurs propres de A lorsque Aⁿ = Id_E.
Supposons A inversible. Montrer que si λ est une valeur propre de A associée au vecteur propre v, alors λ⁻¹ est une valeur propre de A⁻¹ associée au vecteur propre v.

Exercice 8

On définit l'application φ de ℝ_n[X] dans lui-même par : ∀P ∈ ℝ_n[X], φ(P) = (X² − 1)P''(X) + XP'(X).

Montrer que φ est un endomorphisme de ℝ_n[X].
Pour tout k ∈ {0, ..., n}, déterminer φ(X^k). En déduire ker φ.
Déterminer la matrice de φ dans la base canonique (1, X, ..., Xⁿ) de ℝ_n[X]. Calculer la trace de φ.
Quelles sont les valeurs propres de φ ? L'endomorphisme est-il diagonalisable ?

Exercice 9

Soit n ∈ ℕ avec n ≥ 3. Déterminer les valeurs propres de la matrice A de M_n(ℝ) suivante :

A_1,j = 1 pour tout j de 1 à n.
A_i,1 = 1 pour tout i de 1 à n.
A_i,i = 1 pour tout i de 2 à n.
A_i,j = 0 pour i ≠ j et i,j > 1.

En d'autres termes, cette matrice a des 1 sur la première ligne, des 1 sur la première colonne et des 1 sur la diagonale principale (à partir de la deuxième ligne/colonne). Tous les autres éléments sont des zéros.

Exercice 10

Soit f ∈ L(E) (ensemble des endomorphismes définis sur E). On dit que f est un projecteur de E si et seulement si f ◦ f = f. f est une symétrie de E si et seulement si f ◦ f = Id_E.

Donner les valeurs propres possibles pour un projecteur et pour une symétrie.
Déterminer les sous-espaces propres pour chacun.
Montrer que tout projecteur et toute symétrie de E sont diagonalisables.

Exercice 11

Soit n ≥ 1 et f : M_n(ℝ) → M_n(ℝ) l'application définie par f(A) = Aᵀ.

Vérifier que f est linéaire.
Montrer que f est diagonalisable.
Déterminer les éléments propres de f ; diagonaliser f.

FAQ sur la Diagonalisation

Qu'est-ce que la diagonalisation d'une matrice ou d'un endomorphisme ?: La diagonalisation est le processus qui consiste à trouver une base dans laquelle la matrice associée à un endomorphisme est diagonale, ou à trouver une matrice P inversible telle que P⁻¹AP soit une matrice diagonale.
Quand une matrice est-elle diagonalisable ?: Une matrice est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses sous-espaces propres est égale à la dimension de l'espace vectoriel, ou de manière équivalente, si et seulement si pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre associé est égale à sa multiplicité algébrique.
À quoi sert la diagonalisation ?: La diagonalisation simplifie de nombreux calculs, notamment le calcul des puissances de matrices (Aⁿ), la résolution de systèmes différentiels linéaires et l'étude des formes quadratiques. Elle est fondamentale en algèbre linéaire, en physique et en ingénierie.