Td espaces vectoriels familles libres sous espaces algèbre 2

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Espaces Vectoriels

Exercice 1

Soient dans R³ les vecteurs v1 = (1,1,0), v2 = (4,1,4) et v3 = (2, -1,4). La famille (v1, v2, v3) est-elle libre ?

Exercice 2

Les familles suivantes sont-elles libres ? 1. v1 = (1,0,1), v2 = (0,2,2) et v3 = (3,7,1) dans R³. 2. v1 = (1,0,0), v2 = (0,1,1) et v3 = (1,1,1) dans R³. 3. v1 = (1,2,1,2,1), v2 = (2,1,2,1,2), v3 = (1,0,1,1,0) et v4 = (0,1,0,0,1) dans R⁵. 4. v1 = (2,4,3, -1, -2,1), v2 = (1,1,2,1,3,1) et v3 = (0, -1,0,3,6,2) dans R⁶. 5. v1 = (2,1,3, -1, -4, -1), v2 = (-1,1, -2,2, -3,3) et v3 = (1,5,0,4, -1,7) dans R⁶.

Exercice 3

On considère dans Rⁿ une famille de 4 vecteurs linéairement indépendants (v1,v2,v3,v4). Les familles suivantes sont-elles libres ? 1. (v1, 2v2,v3). 2. (v1,v3). 3. (v1, 2v1 + v4,v4). 4. (3v1 + v3,v3,v2 + v3). 5. (2v1 + v2,v1 - 3v2,v4,v2 - v1).

Exercice 4

Soient dans R⁴ les vecteurs v1 = (1,2,3,4) et v2 = (1, -2,3, -4). Peut-on déterminer a et b pour que (a, 1, b, 1) ∈ Vect(v1, v2) ? Et pour que (a, 1,1, b) ∈ Vect(v1, v2) ?

Exercice 5

Dans R⁴ on considère l'ensemble E des vecteurs (x1, x2, x3, x4) vérifiant x1 + x2 + x3 + x4 = 0. L'ensemble E est-il un sous-espace vectoriel de R⁴? Si oui, en donner une base.

Exercice 6

Dans l'espace R⁴, on se donne cinq vecteurs : v1 = (1,1,1,1) , v2 = (1,2,3,4), v3 = (3,1,4,2), v4 = (10,4,13,7) et v5 = (1,7,8,14). Chercher les relations de dépendance linéaires entre ces vecteurs. Si ces vecteurs sont dépendants, en extraire au moins une famille libre engendrant le même sous-espace.

Exercice 7

Dans l'espace R⁴, on se donne cinq vecteurs : v1 = (1,1,1,1) , v2 = (1,2,3,4), v3 = (3,1,4,2), v4 = (10,4,13,7) et v5 = (1,7,8,14). À quelle(s) condition(s) un vecteur v = (x1, x2, x3, x4) appartient-il au sous-espace engendré par les vecteurs ? Définir ce sous-espace par une ou des équations.

Exercice 8

Soit E un espace vectoriel sur R et u, v, w et z une famille libre d'éléments de E, les familles suivantes sont-elles libres? 1. (u, 2v, w)

1 Espaces Vectoriels Pascal Laine 2. (u, v) 3. (u, v + 2,w) 4. (3u + w, w, v + w). 5. (2u + v, u - 3v,w, v - u)

Exercice 9

Dans R⁴, comparer les sous-espaces E et F suivants : E = Vect((1,0,1,1), (-1, -2,3, -1), (-5, -3,1,5)) F = Vect((-1, -1,1, -1), (4,1,2,4))

Exercice 10

On suppose que v1, v2,...,v_n sont des vecteurs indépendants de Rⁿ. 1. Les vecteurs v1 - v2, v2 - v3, v3 - v4,..., v_n-1 - v_n, v_n - v1 sont-ils linéairement indépendants ? 2. Les vecteurs v1 + v2, v2 + v3, v3 + v4,..., v_n-1 + v_n, v_n + v1 sont-ils linéairement indépendants? 3. Les vecteurs v1, v1 + v2, v1 + v2 + v3, v1 + v2 + v3 + v4,..., v1 + v2 + ⋯ + v_n-1 + v_n sont-ils linéairement indépendants?

Exercice 11

Soient u = (2,3, -1), v = (1, -1, -2), w = (3,7,0) et z = (5,0, -7). Soient E = Vect(u, v) et F = Vect(w, z) les sous-espaces vectoriels de R³. Montrer que E = F

Exercice 12

Peut-on déterminer des réels a, b pour que le vecteur u = (-2, a, b, 3) appartienne au sous-espace vectoriel engendré par le système (v1, v2), où v1 = (1, -1,1,2) et v2 = (-1,2,3,1)

Exercice 13

Soient v1 = (0,1, -2,1), v2 = (1,0,2, -1), v3 = (3,2,2, -1), v4 = (0,0,1,0) et v5 = (0,0,0,1) des vecteurs de R⁴. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier votre réponse. 1. Vect(v1, v2, v3) = Vect((1,1,0,0), (-1,1, -4,2)) 2. (1,1,0,0) ∈ Vect(v1, v2) ∩ Vect(v2, v3, v4). 3. dim(Vect(v1, v2) ∩ Vect(v2, v3, v4)) = 1. 4. Vect(v1, v2) + Vect(v2, v3, v4) = R⁴. 5. Vect(v4, v5) est un sous-espace vectoriel supplémentaire de Vect(v1, v2, v3) dans R⁴.

Exercice 14

On considère les vecteurs v1 = (1,0,0,1), v2 = (0,0,1,0), v3 = (0,1,0,0), v4 = (0,0,0,1) et v5 = (0,1,0,1) dans R⁴. 1. Vect(v1, v2) et Vect(v3) sont-ils supplémentaires dans R⁴? 2. Même question pour Vect(v1, v3, v4) et Vect(v2, v5). 3. Même question pour Vect(v1, v2) et Vect(v3, v4, v5)

Exercice 15

1. Est-ce que le sous-ensemble E = {(x, y) ∈ R², y = 2x} de R², muni des lois habituelles de l’espace vectoriel R², est un R-espace vectoriel ? 2. Est-ce que le sous-ensemble F = {(x, y, z) ∈ R³, y² = 2x, z = 0} de R³, muni des lois habituelles de l’espace vectoriel R³ est un sous-espace vectoriel de R³?

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Exercice 16

Soient v1 = (1,1,1), v2 = (2, -2, -1) et v3 = (1,1, -1) Soient E = {(x, y, z) ∈ R³, x + y = 0} et F = Vect(v1, v2) 1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de R³. Déterminer une base de E. 2. La famille (v1, v2, v3) est-elle libre ? Est-ce que v3 ∈ E ? 3. Est-ce que v3 ∈ F ? 4. Donner une base de E ∩ F. 5. Soit v4 = (-1,7,5), est-ce que v4 ∈ E ? est-ce que v4 ∈ F ?

Exercice 17

Soit E = {(x, y, z) ∈ R³, x + y + z = 0} Soient u = (1, -2,3) et v = (2,1, -1) deux vecteurs. On pose F = Vect(u, v) 1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de R³. 2. Déterminer E ∩ F. 3. A-t-on E ⊕ F ?

Exercice 18

Soient E = {(x, y, z) ∈ R³|x + y - 2z = 0 et 2x - y - z = 0} et F = {(x, y, z) ∈ R³|x + y - z = 0} deux sous-ensembles de R³. On admettra que F est un sous-espace vectoriel de R³. Soient u = (1,1,1), v = (1,0,1) et w = (0,1,1) 1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de R³. 2. Déterminer une famille génératrice de E et montrer que cette famille est une base. 3. Montrer que {u, v} est une base de F. 4. Montrer que {u, v, w} est une famille libre de R³. 5. A-t-on E ⊕ F = R³. 6. Soit X = (x, y, z), exprimer X dans la base {u, v, w}.

Exercice 19

Soient E = Vect(u, v, w, z) un sous-espace vectoriel de R³ u = (2, -1, -1); v = (-1,2,3); w = (1,4,7); z = (1,1,2) 1. Est-ce que (u, v, w, z) est une base de R³? 2. Montrer que (u, v) est une base de E. 3. Déterminer une ou plusieurs équations caractérisant E. 4. Compléter une base de E en une base de R³.

Exercice 20

Soient E = {(x, y, z) ∈ R³|2x + y - z = 0 et x + 2y + z = 0} et F = {(x, y, z) ∈ R³|2x - 3y + z = 0} deux sous-ensembles de R³. On admettra que F est un sous-espace vectoriel de R³. Soient u = (1, -1,1), v = (-2, -1,1) et w = (-1,0,2) 1°) Montrer que E est un sous-espace vectoriel de R³. 2°) Déterminer une famille génératrice de E et montrer que cette famille est une base. 3°) Montrer que {u, v} est une base de F. 4°) Montrer que {u, v, w} est une famille libre de R³.

3 Espaces Vectoriels Pascal Laine 5°) A-t-on E ⊕ F = R³. 6°) Soit X = (x, y, z), exprimer X dans la base {u, v, w}.

Exercice 21

Soient E = {(x, y, z, t) ∈ R⁴, x + y + z - t = 0 et x - 2y + 2z + t = 0 et y - z + t = 0} On admettra que E est un espace vectoriel. Et F = {(x, y, z, t) ∈ R⁴, 2x + 6y + 7z - t = 0} Soient u = (2,1, -1,2), v = (1,1, -1,1), w = (-1, -2,3,7) et z = (4,4, -5, -3) quatre vecteurs de R⁴. Première partie 1. Déterminer une base de E et en déduire la dimension de E. 2. Compléter cette base en une base de R⁴. Deuxième partie 3. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R⁴. 4. Déterminer une base de F. 5. A-t-on E ⊕ F = R⁴? Troisième partie 6. Montrer que E = Vect(u, v, w). 7. Soit X = (x, y, z, t) ∈ E, exprimer X comme une combinaison linéaire de u, v et w.

Exercice 22

Soit E = {(x1, x2, x3) ∈ R³, x1 + 2x2 - 3x3 = 0} Soit u = (1,2, -3), et F = Vect(u) 1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de R³, et déterminer une base de cet espace vectoriel. 2. A-t-on E ⊕ F = R³? On justifiera la réponse.

Exercice 23

Soit E = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R⁴, x1 + x3 = 0 et x2 + x4 = 0} Soient v1 = (1,1,1,1), v2 = (1, -1,1, -1) et v3 = (1,0,1,0) Soit F = Vect(v1, v2, v3) On admettra que F est un espace vectoriel. 1. Donner une base de E et en déduire sa dimension. 2. Déterminer une base de F. 3. Donner une (ou plusieurs) équation(s) qui caractérise(nt) F. 4. Donner une famille génératrice de E + F. 5. Montrer que : E ⊕ F = R⁴.

Exercice 24

Soit E = {(x, y, z, t) ∈ R⁴, x + y + z + t = 0, x + 2y - z + t = 0, -x - y + 2z + 2t = 0} et F = {(x, y, z, t) ∈ R⁴, x + 3y + 4z = 0} 1. Donner une base de ces deux sous-espaces vectoriels de R⁴. 2. A-t-on E ⊕ F = R⁴? 3. Soit u = (1,3,0,4) ∈ R⁴ et on pose G = Vect(u), a-t-on E ⊕ G = R⁴?

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Exercice 25

Soient u = (1,1,1,1) et v = (1, -1,1, -1) deux vecteurs de R⁴. Soit E = Vect(u, v). Soient E1 = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R⁴, x1 + x2 + x3 + x4 = 0 et 2x1 + x2 = 0} E2 = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R⁴, x2 + x4 = 0 et x1 + x3 = 0} On admettra que E, E1 et E2 sont trois sous-espaces vectoriels de R⁴. 1. Déterminer une base (a, b) de E1. 2. Déterminer une base (c, d) de E2 3. A-t-on E1 ⊕ E2 = R⁴? 4. Montrer que (u, v, a, b) est une base de R⁴. 5. A-t-on E ⊕ E1 = R⁴?

Exercice 26

Soient v1 = (2,1,1), v2 = (1,2, -1), v3 = (1,1,0) et v4 = (1, -1, -2) quatre vecteurs de R³. Déterminer une sous-famille de (v1, v2, v3, v4) libre qui engendre E = Vect(v1, v2, v3, v4), en déduire la dimension de E.

Exercice 27

Soit E = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R⁴|x1 - x2 = 0 et x3 - x4 = 0} On admettra que E est un sous-espace vectoriel de R⁴. 1. Déterminer une base de E. 2. Compléter cette base de E en une base de R⁴.

Exercice 28

Soient P0 = (1/2)(x - 1)(x - 2), P1 = -x(x - 2) et P2 = (1/2)x(x - 1) trois polynômes de R²[x]. 1. Montrer que (P0, P1, P2) est une base de R²[x]. 2. Soit P = ax² + bx + c ∈ R²[x], exprimer P dans la base (P0, P1, P2). 3. Soit P = aP0 + bP1 + cP2 ∈ R²[x], exprimer P dans la base (1, x, x²). 4. Pour tout a, b et c réels montrer qu’il existe un unique polynôme de P ∈ R²[x], tel que : P(0) = a, P(1) = b et P(2) = c.

Exercice 29

Soit E = {P ∈ R²[x], P(1) = 0} 1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de R²[x]. 2. Donner une base de E et en déduire sa dimension.

Exercice 30

Soit E = {P ∈ R³[x], P(-1) = 0 et P(1) = 0} 1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de R³[x]. 2. Déterminer une base et la dimension de E.

Exercice 31

5 Espaces Vectoriels Pascal Laine Dans F(R,R), les trois fonctions x ↦ sin(x), x ↦ sin(2x) et x ↦ sin(3x), sont-elles linéairement indépendantes?

Exercice 32

Soient f(x) = cos(x), g(x) = cos(x) cos(2x) et h(x) = sin(x) sin(2x). Déterminer Vect(f, g, h).

Exercice 33

Soit E l’ensemble des fonctions vérifiant l’équation différentielle y'' + ay' - b²y = 0 Montrer que E est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des fonctions.

Exercice 34

(Hors programme) 1. Montrer que les systèmes : B1 = (1, sqrt(2)) et B2 = (1,sqrt(2),sqrt(3)) sont libres dans R considéré comme Q-espace vectoriel. 2. Soient, dans R², les vecteurs v1 = (3 + sqrt(5), 2 + 3sqrt(5)) et v2 = (4,7sqrt(5) - 9). Montrer que le système (v1, v2) est Q-libre et R-lié. 3. Soient les vecteurs v1 = (1 - i, i) et v2 = (2, -1 + i) dans C². a. Montrer que le système (v1, v2) est R-libre et C-lié. b. Vérifier que le système B = {(1,0), (i, 0), (0,1), (0, i)} est une base de l’espace vectoriel C² sur R et donner les composantes des vecteurs v1 et v2 par rapport à cette base.

Corrections

Correction Exercice 1

On peut éventuellement s’apercevoir que v2 - v3 = 2v1 donc la famille est liée. Sinon alpha v1 + beta v2 + gamma v3 = 0_R³ ⇒ alpha(1,1,0) + beta(4,1,4) + gamma(2, -1,4) = (0,0,0) ⇒ { alpha + 4beta + 2gamma = 0 alpha + beta - gamma = 0 4beta + 4gamma = 0 ⇒ { alpha + 4beta + 2gamma = 0 -3beta - 3gamma = 0 4beta + 4gamma = 0 ⇒ { alpha + 4beta + 2gamma = 0 beta = -gamma beta = -gamma ⇒ { alpha = 2gamma beta = -gamma Il n’y a pas que (0,0,0) comme solution donc la famille est liée, en prenant gamma = 1, on trouve que alpha = 2 et que beta = -1, par conséquent 2v1 - v2 + v3 = 0_R³, ce qui est la même relation que l’on avait « deviné » ci-dessus.

Correction Exercice 2

1. alpha v1 + beta v2 + gamma v3 = 0_R³ ⇒ alpha(1,0,1) + beta(0,2,2) + gamma(3,7,1) = (0,0,0) ⇒ { alpha + 3gamma = 0 2beta + 7gamma = 0 alpha + 2beta + gamma = 0 ⇒ { alpha = -3gamma beta = -(7/2)gamma -3gamma - 7gamma + gamma = 0 ⇒ { alpha = -3gamma beta = -(7/2)gamma -9gamma = 0 ⇒ { alpha = 0 beta = 0 gamma = 0 Donc la famille est libre 2. Là, il est clair que v1 + v2 = v3 donc la famille est liée 3. On peut raisonnablement s’apercevoir que :

6 Espaces Vectoriels Pascal Laine Donc la famille est liée. v1 + v2 = (3,3,3,3,3) = 3(1,1,1,1,1) = 3(v3 + v4) Sinon on se lance dans un gros calcul alpha v1 + beta v2 + gamma v3 + delta v4 = 0_R⁵ alpha(1,2,1,2,1) + beta(2,1,2,1,2) + gamma(1,0,1,1,0) + delta(0,1,0,0,1) = (0,0,0,0,0) ⇒ { alpha + 2beta + gamma = 0 2alpha + beta + delta = 0 alpha + 2beta + gamma = 0 2alpha + beta + delta = 0 alpha + 2beta + delta = 0 ⇒ { alpha + 2beta + gamma = 0 -3beta + gamma - 2delta = 0 gamma - delta = 0 -alpha + delta = 0 ⇒ { alpha + 2beta + gamma = 0 -3beta + gamma - 2delta = 0 gamma = delta ⇒ { alpha + 2beta + gamma = 0 -3beta - gamma = 0 gamma = delta ⇒ { alpha + 2beta + gamma = 0 beta = -(1/3)gamma gamma = delta ⇒ { alpha = - (1/3)gamma beta = -(1/3)gamma gamma = delta Il n’y a pas que (0,0,0,0) comme solution donc la famille est liée. En prenant gamma = 3, on trouve la relation : -v1 - v2 + 3v3 + 3v4 = 0_R⁵ 4. alpha v1 + beta v2 + gamma v3 = 0_R⁶ ⇒ alpha(2,4,3, -1, -2,1) + beta(1,1,2,1,3,1) + gamma(0, -1,0,3,6,2) = (0,0,0,0,0,0) { 2alpha + beta = 0 4alpha + beta - gamma = 0 3alpha + 2beta = 0 -alpha + beta + 3gamma = 0 -2alpha + 3beta + 6gamma = 0 alpha + beta + 2gamma = 0 On peut s’amuser à faire méthodiquement la méthode de Gauss, mais avec la première et la seconde ligne, on s’aperçoit que alpha = beta = 0, puis on remplace dans n’importe quelle ligne pour trouver que gamma = 0. La famille est libre. 5. C’est trop fatigant, 2v1 + 3v2 = v3, la famille est liée.

Correction Exercice 3

1. Oui évidemment, sinon alpha v1 + 2 beta v2 + gamma v3 = 0_Rⁿ ⇒ { alpha = 0 2beta = 0 gamma = 0 ⇒ { alpha = 0 beta = 0 gamma = 0 2. Une sous famille d’une famille libre est libre. 3. 2 × v1 - 1 × (2v1 + v4) + 1 × v4 = 0_Rⁿ Il existe une combinaison linéaire non identiquement nulle de ces trois vecteurs, la famille est liée. 4. alpha(3v1 + v3) + beta v3 + gamma(v2 + v3) = 0_Rⁿ ⇒ 3alpha v1 + gamma v2 + (beta + gamma + delta)v3 = 0_Rⁿ ⇒ { 3alpha = 0 gamma = 0 beta + gamma + delta = 0 ⇒ { alpha = 0 beta = 0 gamma = 0 La famille est libre.

7 Espaces Vectoriels Pascal Laine 5. Il y a trois vecteurs 2v1 + v2, v1 - 3v2, v2 - v1 dans le plan Vect(v1,v2) donc ces trois vecteurs forment une famille liée, en rajoutant v4 cela ne change rien, la famille est liée.

Correction Exercice 4

Le problème est de déterminer a et b tels qu’il existe alpha et beta vérifiant (a, 1, b, 1) = alpha v1 + beta v2 { a = alpha + beta 1 = 2alpha - 2beta b = 3alpha + 3beta 1 = 4alpha - 4beta ⇔ { alpha + beta = a 2alpha - 2beta = 1 3alpha + 3beta = b 4alpha - 4beta = 1 ⇔ { alpha + beta = a -4beta = 1 - 2a 0 = b - 3a -8beta = 1 - 4a ⇔ { alpha + beta = a -4beta = 1 - 2a 0 = b - 3a 0 = -1 La dernière ligne entraîne qu’il n’y a pas de solution. Le problème est de déterminer a et b tels qu’il existe alpha et beta vérifiant (a, 1,1, b) = alpha v1 + beta v2 { a = alpha + beta 1 = 2alpha - 2beta 1 = 3alpha + 3beta b = 4alpha - 4beta ⇔ { alpha + beta = a 2alpha - 2beta = 1 3alpha + 3beta = 1 4alpha - 4beta = b ⇔ { alpha + beta = a -4beta = 1 - 2a 0 = 1 - 3a -8beta = b - 4a { alpha + beta = a alpha + beta = 1/3 ⇔ { -4beta = 1 - 2a -4beta = 1 - 2a 1 = 3a b = 2 ⇔ { a = 1/3 beta = -1/12 b = 2 ⇔ { a = 1/3 beta = -1/12 b = 2 (1/3, 1,1,2) = (5/12) v1 - (1/12) v2

Correction Exercice 5

Première méthode 0 + 0 + 0 + 0 = 0 donc 0_R⁴ ∈ E Soit u = (u1, u2, u3, u4) ∈ E et v = (v1, v2, v3, v4) ∈ E, on a u1 + u2 + u3 + u4 = 0 et v1 + v2 + v3 + v4 = 0. Et pour tout alpha et beta réels alpha u + beta v = (alpha u1 + beta v1, alpha u2 + beta v2, alpha u3 + beta v3, alpha u4 + beta v4) Et (alpha u1 + beta v1) + (alpha u2 + beta v2) + (alpha u3 + beta v3) + (alpha u4 + beta v4) = alpha(u1 + u2 + u3 + u4) + beta(v1 + v2 + v3 + v4) = alpha × 0 + beta × 0 = 0 Ce qui signifie que alpha u + beta v ∈ E, E est donc un sous-espace vectoriel de R⁴. Deuxième méthode Un vecteur de E s’écrit v = (-x2 - x3 - x4, x2, x3, x4) = x2(-1,1,0,0) + x3(-1,0,1,0) + x4(-1,0,0,1) Donc E = Vect((-1,1,0,0), (-1,0,1,0), (-1,0,0,1)), E est un sous-espace vectoriel de R⁴. Pour trouver une base, il reste à montrer que ((-1,1,0,0), (-1,0,1,0), (-1,0,0,1)) est libre (Puisque cette famille est déjà génératrice). alpha(-1,1,0,0) + beta(-1,0,1,0) + gamma(-1,0,0,1) = (0,0,0,0) ⇒ { -alpha - beta - gamma = 0 alpha = 0 beta = 0 gamma = 0

8 Espaces Vectoriels Pascal Laine Cette famille est bien libre, c’est une base de E.

Correction Exercice 6

Déjà, une famille de 5 vecteurs dans un espace de dimension 4 est liée, mais cela ne donne pas la (ou les) relation(s) reliant ces vecteurs. alpha(1,1,1,1) + beta(1,2,3,4) + gamma(3,1,4,2) + delta(10,4,13,7) + epsilon(1,7,8,14) = (0,0,0,0) ⇔ { alpha + beta + 3gamma + 10delta + epsilon = 0 alpha + 2beta + gamma + 4delta + 7epsilon = 0 alpha + 3beta + 4gamma + 13delta + 8epsilon = 0 alpha + 4beta + 2gamma + 7delta + 14epsilon = 0 ⇔ { alpha + beta + 3gamma + 10delta + epsilon = 0 beta - 2gamma - 6delta + 6epsilon = 0 2beta + gamma + 3delta + 7epsilon = 0 3beta - gamma - 3delta + 13epsilon = 0 ⇔ { alpha + beta + 3gamma + 10delta + epsilon = 0 beta - 2gamma - 6delta + 6epsilon = 0 5gamma + 15delta - 5epsilon = 0 5gamma + 15delta - 5epsilon = 0 ⇔ { alpha + beta + 3gamma + 10delta + epsilon = 0 beta - 2gamma - 6delta + 6epsilon = 0 gamma + 3delta - epsilon = 0 ⇔ { alpha = -beta - 3gamma - 10delta - epsilon beta = 2gamma + 6delta - 6epsilon gamma = -3delta + epsilon ⇔ { alpha = -(2gamma + 6delta - 6epsilon) - 3gamma - 10delta - epsilon = -5gamma - 16delta + 5epsilon beta = 2gamma + 6delta - 6epsilon gamma = -3delta + epsilon ⇔ { alpha = -5(-3delta + epsilon) - 16delta + 5epsilon = 15delta - 5epsilon - 16delta + 5epsilon = -delta beta = 2(-3delta + epsilon) + 6delta - 6epsilon = -6delta + 2epsilon + 6delta - 6epsilon = -4epsilon gamma = -3delta + epsilon Si on prend delta = 1 et epsilon = 0, alors alpha = -1, beta = 0 et gamma = -3, ce qui donne -v1 - 3v3 + v4 = 0_R⁴ Si on prend delta = 0 et epsilon = 1, alors alpha = 0, beta = -4 et gamma = 1, ce qui donne -4v2 + v3 + v5 = 0_R⁴ Autre façon de voir les choses : alpha v1 + beta v2 + gamma v3 + delta v4 + epsilon v5 = 0_R⁴ ⇔ alpha v1 + beta v2 + gamma v3 + delta v4 + epsilon v5 = 0_R⁴ ⇔ -delta v1 - 4epsilon v2 + (-3delta + epsilon)v3 + delta v4 + epsilon v5 = 0_R⁴ ⇔ delta(-v1 - 3v3 + v4) + epsilon(-4v2 + v3 + v5) = 0_R⁴ Cette dernière relation étant vraie pour tout delta et pour tout epsilon, on retrouve les deux relations. Ce ne sont pas les seules relations entre ces vecteurs, si on fait la somme ou la différence, on trouve d’autres relations v4 = v1 + 3v3 et v5 = 4v2 - v3 Vect(v1, v2, v3, v4, v5) = Vect(v1, v2, v3, v1 + 3v3, 4v2 - v3) = Vect(v1, v2, v3) Il reste à montrer que (v1, v2, v3) est libre, ce qui est quasi évident puisqu’il suffit de refaire le calcul ci-dessus avec delta = epsilon = 0 et alors { alpha = 0 beta = 0 gamma = 0, cela montre que (v1, v2, v3) est libre.

Correction Exercice 7

v ∈ Vect(v1, v2, v3, v4, v5) = Vect(v1, v2, v3) D’après l’exercice précédent. v ∈ Vect(v1, v2, v3) ⇔ il existe alpha, beta et gamma tels que v = alpha v1 + beta v2 + gamma v3 { alpha + beta + 3gamma = x1 alpha + 2beta + gamma = x2 alpha + 3beta + 4gamma = x3 alpha + 4beta + 2gamma = x4 ⇔ { alpha + beta + 3gamma = x1 beta - 2gamma = x2 - x1 2beta + gamma = x3 - x1 3beta - gamma = x4 - x1 ⇔ { alpha + beta + 3gamma = x1 beta - 2gamma = x2 - x1 5gamma = x3 - x1 - 2(x2 - x1) 5gamma = x4 - x1 - 3(x2 - x1) ⇔ { alpha + beta + 3gamma = x1 beta - 2gamma = x2 - x1 5gamma = x3 - x1 - 2(x2 - x1) 0 = x4 - x1 - 3(x2 - x1) - (x3 - x1 - 2(x2 - x1)) 0 = x4 - x1 - 3x2 + 3x1 - x3 + x1 + 2x2 - 2x1 ⇔ x1 - x2 - x3 + x4 = 0

9 Espaces Vectoriels Pascal Laine v ∈ Vect(v1, v2, v3, v4, v5) ⇔ x1 - x2 - x3 + x4 = 0 On peut constater que les composantes de v1, v2 et v3 vérifient x1 - x2 - x3 + x4 = 0

Correction Exercice 8

1. Attention, ici u, v, w et z sont des vecteurs. Oui évidemment, sinon alpha u + 2 beta v + gamma w = 0_E ⇒ { alpha = 0 2beta = 0 gamma = 0 ⇒ { alpha = 0 beta = 0 gamma = 0 2. Une sous-famille d’une famille libre est libre. 3. 2 × u - 1 × (2u + z) + 1 × z = 0_E Il existe une combinaison linéaire non identiquement nulle de ces trois vecteurs, la famille est liée. 4. alpha(3u + w) + beta w + gamma(v + w) = 0_E ⇒ 3alpha u + gamma v + (beta + gamma + delta)w = 0_E ⇒ { 3alpha = 0 gamma = 0 beta + gamma + delta = 0 ⇒ { alpha = 0 beta = 0 gamma = 0 La famille est libre. 5. Il y a trois vecteurs 2u + v, u - 3v, v - u dans le plan Vect(u, v) donc ces trois vecteurs forment une famille liée, en rajoutant w cela ne change rien, la famille est liée.

Correction Exercice 9

Comparer deux ensembles signifie que l’on doit trouver si l’un est inclus dans l’autre (ou réciproquement) ou si les ensembles sont égaux. On va d’abord caractériser E à l’aide d’une (ou plusieurs) équation cartésienne, ensuite il sera simple de savoir si les vecteurs qui engendrent F sont dans E. X = (x, y, z, t) ∈ E ⇔ il existe alpha, beta, gamma réels tels que X = alpha(1,0,1,1) + beta(-1, -2,3, -1) + gamma(-5, -3,1,5) ⇔ { x = alpha - beta - 5gamma y = -2beta - 3gamma z = alpha + 3beta + gamma t = alpha - beta + 5gamma ⇔ { x = alpha - beta - 5gamma y = -2beta - 3gamma z - x = 4beta + 6gamma t - x = 10gamma ⇔ { x = alpha - beta - 5gamma y = -2beta - 3gamma z - x + 2y = 0 t - x = 10gamma alpha, beta, gamma sont donnés par les équations (1), (2) et (4) donc E = {(x, y, z, t) ∈ R⁴, -x + 2y + z = 0} -(-1) + 2(-1) + 1 = 0 ⇒ (-1, -1,1, -1) ∈ E -4 + 2 × 1 + 2 = 0 ⇒ (4,1,2,4) ∈ E Cela montre que F ⊂ E Manifestement dim(F) = 2 car les deux vecteurs qui engendrent F ne sont pas colinéaires (donc ils forment une base de F). Si on en savait plus, on saurait que dim(E) = 3.

FAQ sur les Espaces Vectoriels

Qu'est-ce qu'une famille de vecteurs libres ?

Une famille de vecteurs (v1, v2, ..., v_n) dans un espace vectoriel E est dite libre si la seule combinaison linéaire de ces vecteurs qui égale le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont nuls. Autrement dit, si alpha1*v1 + alpha2*v2 + ... + alpha_n*v_n = 0_E, alors cela implique nécessairement que alpha1 = alpha2 = ... = alpha_n = 0.

Comment déterminer si un ensemble est un sous-espace vectoriel ?

Pour qu'un sous-ensemble F d'un espace vectoriel E soit un sous-espace vectoriel, trois conditions doivent être remplies : 1. F doit contenir le vecteur nul de E. 2. F doit être fermé par addition : si u et v sont dans F, alors u + v doit aussi être dans F. 3. F doit être fermé par multiplication scalaire : si u est dans F et alpha est un scalaire, alors alpha*u doit aussi être dans F.

Qu'est-ce que la somme directe de deux sous-espaces vectoriels ?

Soient E1 et E2 deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel E. Leur somme E1 + E2 est dite directe, et on la note E1 ⊕ E2, si leur intersection est réduite au vecteur nul de E, c'est-à-dire si E1 ∩ E2 = {0_E}. Dans ce cas, tout vecteur de E1 + E2 peut s'écrire de manière unique comme la somme d'un vecteur de E1 et d'un vecteur de E2.