Td applications linéaires matrices déterminants pascal lainé
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Exercice 1
Soit f: ℝ³ → ℝ² défini pour tout x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ³ par f(x) = (x1 + x2 + x3, 2x1 + x2 - x3)
1. Montrer que f est linéaire.
2. Déterminer ker(f).
Exercice 2
Soit f: ℝ³ → ℝ² définie pour tout vecteur u = (x, y, z) ∈ ℝ³ par : f(u) = (-2x + y + z, x - 2y + z)
1. Montrer que f est une application linéaire.
2. Donner une base de ker(f), en déduire dim(Im(f)).
3. Donner une base de Im(f).
Exercice 3
Soit f: ℝ³ → ℝ² définie pour tout vecteur u = (x, y, z) ∈ ℝ³ par : f(u) = (-2x + y + z, x - 2y + z)
1. Montrer que f est une application linéaire.
2. Donner une base de ker(f), en déduire dim(Im(f)).
3. Donner une base de Im(f).
Exercice 4
On considère l’application h: ℝ² → ℝ² définie par : h(x, y) = (x - y, -3x + 3y)
1. Montrer que h est une application linéaire.
2. Montrer que h est ni injective ni surjective.
3. Donner une base de son noyau et une base de son image.
Exercice 5
Soit f l’application linéaire f: ℝ³ → ℝ³ définie par : f(x1, x2, x3) = (x1 - x3, 2x1 + x2 - 3x3, -x2 + 2x3)
Et soit (e1, e2, e3) la base canonique de ℝ³.
1. Calculer f(e1), f(e2) et f(e3).
2. Déterminer les coordonnées de f(e1), f(e2) et f(e3) dans la base canonique.
3. Calculer une base de ker(f) et une base de Im(f).
Exercice 6
Soit f: ℝ³ → ℝ³ définie pour tout vecteur u = (x, y, z) ∈ ℝ³ par : f(u) = (-2x + y + z, x - 2y + z, x + y - 2z)
1. Montrer que f est une application linéaire.
2. Donner une base de ker(f), en déduire dim(Im(f)).
3. Donner une base de Im(f).
Exercice 7
Soit B = (e1, e2, e3) la base canonique de ℝ³. Soit f: ℝ³ → ℝ³ l’application linéaire définie pour tout u = (x, y, z) ∈ ℝ³ par : f(u) = (6x - 4y - 4z, 5x - 3y - 4z, x - z)
1. Montrer qu’il existe un vecteur u ∈ ℝ³, non nul, tel que ker(f) = Vect(u), déterminer un vecteur qui convient.
2. Soit v = e1 + e2 et w = e2 - e3
a. Calculer f(v) et f(w)
b. En déduire que {v, w} est une base de Im(f). On pourra utiliser une autre méthode.
3. Déterminer une ou plusieurs équations caractérisant Im(f).
4. A-t-on ker(f) ⊕ Im(f) = ℝ³?
Exercice 8
Soit B = (e1, e2, e3, e4) la base canonique de ℝ⁴ et B' = (ε1, ε2, ε3) la base canonique de ℝ³. Soit f: ℝ⁴ → ℝ³ une application linéaire définie par f(e1) = ε1 - ε2 + 2ε3; f(e2) = 2ε1 + ε2 - 3ε3; f(e3) = 3ε1 - ε3 et f(e4) = -ε1 - 2ε2 + 5ε3
1. Déterminer l’image par f des vecteurs x = (x1, x2, x3, x4).
2. Déterminer une base de ker(f) et sa dimension.
3. Déterminer une base de Im(f) et sa dimension.
Exercice 9
Soit f: ℝ⁴ → ℝ⁴ l’application définie pour tout x = (x1, x2, x3, x4) ∈ ℝ⁴ par : f(x) = (x1 - x2 + x3, 0, x1 + x2 - x3 + x4, x4)
Soit P = {(x1, x2, x3, x4) ∈ ℝ⁴, x1 + x2 - x3 + x4 = 0}
1. Donner une base de ker(f) et sa dimension.
2. Donner une base (la plus simple possible) de Im(f) et sa dimension.
3. A-t-on ker(f) ⊕ Im(f) = ℝ⁴?
4. Montrer que P est un sous-espace vectoriel de ℝ⁴, en donner une base et sa dimension.
5. A-t-on ker(f) ⊕ P = ℝ⁴?
Exercice 10
Soit f un endomorphisme de ℝ³ dont l'image de la base canonique B = (e1, e2, e3) est :
f(e1) = -7e1 - 6e2
f(e2) = 8e1 + 7e2
f(e3) = 6e1 + 6e2 - e3
1. Pour tout vecteur x = x1e1 + x2e2 + x3e3 déterminer f o f(x).
2. En déduire que f est inversible (c'est-à-dire bijective) et déterminer f⁻¹.
Exercice 11
Soit f: ℝ⁴ → ℝ⁴ définie pour tout (x, y, z, t) ∈ ℝ⁴ par f(x, y, z, t) = (x - 2y, y - 2z, 0, x - y - z - t)
1. Montrer que f est une application linéaire.
2. Déterminer le noyau et l’image de f.
3. A-t-on ker(f) ⊕ Im(f) = ℝ⁴?
Exercice 12
Soit l’application f: ℝ⁴ → ℝ³ définie pour tout u = (x, y, z, t) ∈ ℝ⁴ par : f(x, y, z, t) = (x + y, y + z, x + y + z + t)
1. Montrer que f est une application linéaire.
2. Déterminer une base de ker(f).
3. Déterminer une base de Im(f).
Exercice 13
Soit f: ℝ³ → ℝ³ l’application définie par : f(x1, x2, x3) = (-2x1 + 4x2 + 4x3, -x1 + x3, -2x1 + 4x2 + 4x3)
1. Montrer que f est linéaire.
2. Déterminer une base de ker(f) et une base de Im(f).
3. A-t-on ker(f) ⊕ Im(f) = ℝ³?
Exercice 14
Soit (e1, e2, e3) la base canonique de ℝ³.
Soit f: ℝ³ → ℝ³ l’application linéaire telle que :
f(e1) = ⅓(-e1 + 2e2 + 2e3)
f(e2) = ⅓(2e1 - e2 + 2e3)
f(e3) = ⅓(2e1 + 2e2 - e3)
Soient E_{-1} = {x ∈ ℝ³ | f(x) = -x} et E_1 = {x ∈ ℝ³ | f(x) = x}
1. Montrer que E_{-1} et E_1 sont des sous-espaces vectoriels de ℝ³.
2. Montrer que e1 - e2 et e1 - e3 appartiennent à E_{-1} et que e1 + e2 + e3 appartient à E_1.
3. Que peut-on en déduire sur les dimensions de E_{-1} et de E_1 ?
4. Déterminer E_{-1} ∩ E_1.
5. A-t-on E_{-1} ⊕ E_1 = ℝ³?
6. Calculer f² = f o f et en déduire que f est bijective et déterminer f⁻¹.
Exercice 15
Soit B = (e1, e2, e3) la base canonique de ℝ³.
Soient u = ⅓(2, -2, 1); v = ⅓(2, 1, -2); w = ⅓(1, 2, 2)
Soit B' = (u, v, w)
Soit f l’endomorphisme de ℝ³ définie par :
f(e1) = 3e1 + e2 - e3
f(e2) = e1 + 7e2
f(e3) = -e1 - e3
1. Montrer que B' est une base de ℝ³.
2. Soit x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ³, calculer f(x).
3. Montrer que :
f(u) = 3u - 3v
f(v) = 3u + 3v
f(w) = -3u + 3v + 3w
Exercice 16
Soit f l’application de ℝ³ dans ℝ³ qui à tout vecteur u = (x, y, z) associe le vecteur f(u) = (-2x - 6y, x + y + z, y + 3z)
Soit (e1, e2, e3) la base canonique de ℝ³.
On note f² = f o f.
1. Montrer que f est une application linéaire.
2. Calculer f(e1), f(e2) et f(e3), puis f²(e1), f²(e2) et f²(e3), que peut-on en déduire sur f²(u) pour tout u ∈ ℝ³?
3. Donner une base de Im(f) et une base de ker(f - Id), montrer que ces deux espaces vectoriels sont égaux.
4. Montrer que ker(f) ⊕ Im(f) = ℝ³
Exercice 17
Soit E un espace vectoriel. Soit f un endomorphisme de E tel que f² = f o f = Id_E.
On pose E_1 = ker(f - Id_E) et E_{-1} = ker(f + Id_E)
1. Soit x1 ∈ E_1 et x2 ∈ E_{-1}. Calculer f(x1) et f(x2).
2. Pour tout x ∈ E écrire x = (x + f(x))/2 + (x - f(x))/2 et montrer que E_1 ⊕ E_{-1} = E
3. On suppose que E est de dimension finie et que f ≠ ±Id_E. Soit (e1, e2, … , en) une base de E telle que : E_1 = Vect(e1, … , ek) et E_{-1} = Vect(e_{k+1}, … , en) calculer f(ei) dans la base (e1, e2, … , en).
Exercice 18
Soit f: ℝ⁴ → ℝ l’application définie pour tout x = (x1, x2, x3, x4) ∈ ℝ⁴ par f(x) = x1 + x2 + x3 + x4
On appelle B = (e1, e2, e3, e4) la base canonique de ℝ⁴.
1. Calculer les images des vecteurs de la base canonique par f. En déduire la dimension de Im(f).
2. Déterminer la dimension de ker(f) et en donner une base.
Exercice 19
Soit f l’application de ℝⁿ dans ℝ définie pour tout x = (x1, x2, … , xn) par : f(x) = x1 + x2 + ⋯ + xn
1. Montrer que f est une application linéaire.
2. Déterminer les dimensions de Im(f) et de ker(f).
Exercice 20
Soit f une application linéaire de E dans E, E étant un espace vectoriel de dimension n avec n pair.
Montrer que les deux assertions suivantes sont équivalentes
(a) f² = 0_L(E) (où 0_L(E) est l’application linéaire nulle) et n = 2 dim(Im(f))
(b) Im(f) = ker(f)
Exercice 21
Question de cours
Soit f une application linéaire de E vers F. Montrer que : f est injective si et seulement si ker(f) = {0_E}.
Exercice 22
Soit f: E → F une application linéaire et λ un réel.
1. Soit E_λ = ker(f - λId_E). Calculer f(x) pour x ∈ E_λ. Montrer que E_λ est un sous-espace vectoriel de E.
2. Soit W ⊂ E un sous-espace vectoriel de E, montrer que f(W) est un sous-espace vectoriel de F.
3. Si λ ≠ 0, montrer que f(E_λ) = E_λ
Exercice 23
Soit f: E → F une application linéaire
Montrer que : ker(f) ∩ Im(f) = f(ker(f²))
Exercice 24
Soient f et g deux endomorphismes de ℝⁿ.
Montrer que f(ker(g o f)) = ker(f) ∩ Im(g)
Exercice 25
Soit f un endomorphisme de E un espace vectoriel.
1. Montrer que ker(f) ⊂ ker(f²).
2. Montrer que Im(f²) ⊂ Im(f).
Exercice 26
Soit f un endomorphisme de E, un espace vectoriel.
Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes
(i) ker(f) ∩ Im(f) = {0_E}
(ii) ker(f) = ker(f²)
Exercice 27
Soit f: ℝⁿ → ℝᵐ, une application linéaire, B = (e1, … , en) la base canonique de ℝⁿ et B' = (ε1, … , εm) la base canonique de ℝᵐ.
1. n = 3, m = 2
f(e1) = ε1 + 2ε2, f(e2) = 2ε1 - ε2 et f(e3) = -ε1 + ε2
a) Déterminer l’image d’un vecteur x = (x1, x2, x3) par f.
b) Déterminer la matrice de f de la base B dans la base B'.
c) Déterminer le noyau et l’image de f.
2. n = 3 et m = 3, dans cette question B' = B
f(e1) = 3e1 + 2e2 + 2e3, f(e2) = 2e1 + 3e2 + 2e3 et f(e3) = 2e1 + 2e2 + 3e3
a) Déterminer l’image d’un vecteur x = (x1, x2, x3) par f.
b) Déterminer la matrice de f de la base B dans la base B.
c) Déterminer le noyau et l’image de f.
Exercice 28
Soit f: ℝⁿ → ℝᵐ, une application linéaire, B = (e1, … , en) la base canonique de ℝⁿ et B' = (ε1, … , εm) la base canonique de ℝᵐ.
1. n = 2, m = 3
M = Mat_{B,B'}(f) = ( 1 0
-1 2
1 1 )
a) Déterminer l’image d’un vecteur x = (x1, x2) par f.
b) Déterminer l’image de la base B (c’est-à-dire f(e1) et f(e2)).
c) Déterminer le noyau et l’image de f.
2. n = 4, m = 4, dans cette question B' = B
M = Mat_{B,B}(f) = ( 1 0 2 -1
-1 2 0 -1
1 -1 1 0
2 3 7 -5 )
a) Déterminer l’image d’un vecteur x = (x1, x2, x3, x4) par f.
b) Déterminer l’image de la base B (c’est-à-dire f(e1), f(e2), f(e3) et f(e4)).
c) Déterminer le noyau et l’image de f.
Exercice 29
Soit f: ℝⁿ → ℝᵐ, une application linéaire, B = (e1, … , en) la base canonique de ℝⁿ et B' = (ε1, … , εm) la base canonique de ℝᵐ.
1. n = 3 et m = 3 dans cette question B' = B. Soit x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ³
f(x) = (x1 + x2, 2x1 - x3, 3x1 + x2 - x3)
(On admet que f est une application linéaire).
a) Déterminer l’image de la base B (c’est-à-dire f(e1), f(e2), et f(e3)).
b) Déterminer la matrice de f de la base B dans la base B.
c) Déterminer le noyau et l’image de f.
2. n = 3 et m = 3 dans cette question B' = B. Soit x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ³
f(x) = (x1 + x2, x1 + x2, x1 + x2)
(On admet que f est une application linéaire).
a) Déterminer l’image de la base B (c’est-à-dire f(e1), f(e2), et f(e3)).
b) Déterminer la matrice de f de la base B dans la base B.
c) Déterminer le noyau et l’image de f.
Exercice 30
Soit f: ℝ⁴ → ℝ³ l’application linéaire dont la matrice dans les bases canoniques de ℝ⁴ et ℝ³ est
M = ( 1 2 1 3
1 1 2 1
1 -2 5 -11 )
1. Déterminer une base du noyau de f.
2. Déterminer une base de l’image de f. Quel est le rang de f ?
Exercice 31
Déterminer le rang de la matrice
M = ( 1 1 2
1 1 1
2 1 2
1 1 1 )
Exercice 32
Soit la matrice M définie par :
M = ( 13 -8 -12
12 -7 -12
6 -4 -5 )
1. Montrer que M est inversible et calculer son inverse M⁻¹.
2. En déduire Mⁿ, pour tout n entier.
Exercice 33
Soit M la matrice définie par :
M = ( 0 1 1
1 0 1
1 1 0 )
1. Calculer M².
2. Trouver un polynôme P de degré 2 tel que P(M) = 0.
3. En déduire M⁻¹.
4. Retrouver M⁻¹ par une autre méthode.
Exercice 34
Soit M = ( 1 0 0
0 0 1
0 -1 0 )
1. Calculer M², M³. Calculer M³ - M² + M - Id.
2. Exprimer M⁻¹ en fonction de M², M et Id.
3. Exprimer M⁴ en fonction de M², M et Id.
Exercice 35
Soit M la matrice M = ( 3 0 1
-1 3 -2
-1 1 0 )
Calculer (M - 2Id)³, puis en déduire que M est inversible et déterminer M⁻¹ en fonction de M, Id et de M².
Exercice 36
À tout nombre réel x on associe la matrice :
A(x) = ( ch(x) sh(x)
sh(x) ch(x) )
1. Calculer le produit des matrices A(x1) et A(x2), où x1 et x2 sont deux réels quelconques.
2. Montrer que A(x) est inversible, et déterminer A⁻¹(x).
Exercice 37
Soit f une application de ℝ² dans ℝ² définie par : f(x1, x2) = (x1 - x2, x1 + x2) et B = (e1, e2) la base canonique de ℝ².
1. Montrer que f est un endomorphisme de ℝ².
2. Déterminer la matrice M de f dans la base B.
3. a) Déterminer le noyau et l'image de f.
b) En déduire que f est inversible.
c) Déterminer M⁻¹ dans la base B, en déduire f⁻¹.
4. Montrer que M = K R. Où K est la matrice d'une homothétie dont on donnera le rapport et R est la matrice d'une rotation dont on donnera l'angle. Soient u = e1 + e2 et v = e1 - e2 deux vecteurs de ℝ². On pose B' = (u, v).
5. Montrer que B' = (u, v) est une base de ℝ².
6. Calculer f(u) et f(v).
7. Déterminer la matrice de f dans la base B'.
Exercice 38
Soit B = (e1, e2, e3) la base canonique de ℝ³.
Soit f l’endomorphisme de ℝ³ dont la matrice dans la base canonique est :
M = ( 1 4 4
-1 -3 -3
0 2 3 )
Soient u = e1 - e2 + e3, v = 2e1 - e2 + e3 et w = 2e1 - 2e2 + e3 trois vecteurs de ℝ³
1. Montrer que B' = (u, v, w) est une base de ℝ³.
2. Déterminer la matrice de passage P de B à B'. Calculer P⁻¹.
3. Déterminer la matrice M' de f dans la base B'.
4. a) Calculer P⁻¹ M P en fonction de M'
b) Calculer M'⁴
c) En déduire les valeurs de M⁴ u.
Exercice 39
Soit B = (e1, e2, e3) la base canonique de ℝ³.
Soit f une application linéaire de ℝ³ dans ℝ³ définie par :
f(e1) = -3e1 + 2e2 - 4e3
f(e2) = e1 - e2 + 2e3
f(e3) = 4e1 - 2e2 + 5e3
1. Déterminer la matrice de f dans la base canonique.
2. Montrer que E_1 = {x ∈ ℝ³, f(x) = x} est un sous-espace vectoriel de ℝ³. Montrer que la dimension de E_1 est 1 et donner un vecteur non nul u de E_1.
3. Montrer que P = {(x1, x2, x3) ∈ ℝ³, -2x1 + 2x2 + 3x3 = 0} est un sous-espace vectoriel de ℝ³. Donner une base (v, w) de P.
4. Montrer que B' = (u, v, f(w)) est une base de ℝ³.
5. Montrer que E_1 ⊕ P = ℝ³.
6. Déterminer la matrice M' de f dans la base B'.
Exercice 40
Soit B = (e1, e2, e3) la base canonique de ℝ³.
Soit f l’application linéaire qui à un vecteur x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ³ associe le vecteur f(x) = (x2 - 2x3, 2x1 - x2 + 4x3, x1 - x2 + 3x3)
1. Déterminer la matrice M de f dans la base canonique.
2. Déterminer une base (u, v) de ker(f - Id).
3. Donner un vecteur w tel que ker(f) = Vect(w).
4. Montrer que B' = (u, v, w) est une base de ℝ³.
5. Déterminer la matrice M' de f dans la base B'.
6. Montrer que Im(f) = ker(f - Id)
7. Montrer que ker(f) ⊕ Im(f) = ℝ³.
Exercice 41
Soit f l’endomorphisme de ℝ³ défini pour tout x = (x1, x2, x3) par f(x) = (-10x1 + 3x2 + 15x3, -2x1 + 3x3, -6x1 + 2x2 + 9x3)
1. Déterminer la matrice M de f dans la base canonique de ℝ³.
2. Déterminer la dimension du noyau et de l’image de f. On donnera un vecteur directeur u de ker(f).
3. A-t-on ker(f) ⊕ Im(f) = ℝ³?
4. Déterminer un vecteur v tel que f(v) = u.
5. Montrer que E_{-1} = {x ∈ ℝ³, f(x) = -x} est un sous-espace vectoriel de ℝ³, déterminer un vecteur directeur de E_{-1} que l’on notera w.
6. Montrer que B' = (u, v, w) est une base de ℝ³.
7. Déterminer la matrice M' de f dans la base B' et donner la relation reliant M et M'.
Exercice 42
Soit B = (e1, e2, e3, e4) la base canonique de ℝ⁴.
Soit f l'endomorphisme de ℝ⁴ dont la matrice par rapport à la base B est :
M = ( -6 -3 0 6
6 3 0 -6
0 0 -3 3
0 0 0 0 )
Soit B' = (u, v, w, z) une famille de ℝ⁴ définie par :
u = e1 - e2
v = e1 - e2 - e3
w = 2e1 - 2e2 + e3 + e4
z = -e1 + 2e2
1. Montrer que B' = (u, v, w, z) est une base de ℝ⁴.
2. Calculer f(u), f(v), f(w) et f(z) et les exprimer dans la base B' = (u, v, w, z).
3. Déterminer la matrice de f dans la base B'.
Exercice 43
Soit B = (e1, e2, e3, e4) la base canonique de ℝ⁴.
Soit f un endomorphisme de ℝ⁴ dont la matrice dans la base canonique est
M = ( -3 -2 3 0
3 1 -3 -1
1 0 -1 -1
-1 -1 2 -1 )
On pose :
u = (-1, 1, 0, -1)
v = (1, -2, -1, 1)
w = (-2, 3, 1, -1)
z = (2, -1, 0, 1)
1. Montrer que B' = (u, v, w, z) est une base de ℝ⁴.
2. Donner la matrice de passage P de B à B'. Calculer P⁻¹.
3. Calculer f(u), f(v), f(w) et f(z) dans la base B'.
4. Déterminer la matrice M' de f dans la base B'.
5. Calculer K = M + Id, puis K⁴ et en déduire (M + Id)⁴.
Exercice 44
Soit f un endomorphisme de ℝ⁴ dont la matrice dans la base canonique, B = (e1, e2, e3, e4), est
M = ( -7 6 6 6
0 2 0 0
-3 3 2 3
-6 3 6 5 )
Soient u, v, w et z quatre vecteurs
u = -2e1 - e2 - e3 - e4
v = e2 - e4
w = 2e1 + e3 + e4
z = 3e1 + e3 + 2e4
1. Montrer que B' = (u, v, w, z) est une base de ℝ⁴.
2. Calculer f(u), f(v), f(w) et f(z) dans la base B' = (u, v, w, z)
3. En déduire la matrice M' de f dans la base B'.
4. Déterminer la matrice P de passage de B à B'.
5. Calculer P⁻¹.
6. Calculer P⁻¹ M P.
Exercice 45
Soit B = (e1, e2, e3, e4) la base canonique de ℝ⁴.
Soit f un endomorphisme de ℝ⁴ dont la matrice dans la base canonique est :
M = ( 1 0 -1 1
1 0 -1 1
0 1 -1 1
0 1 -1 0 )
On pose u = e1 + e2 + e3, v = e1, w = f(v) et z = f²(v).
1. Montrer que B' = (u, v, w, z) est une base de ℝ⁴.
2. Donner la matrice de passage P de B à B'. Calculer P⁻¹.
3. Calculer f(u), f(v), f(w) et f(z) dans la base B'.
4. Déterminer la matrice M' de f dans la base B'.
5. Calculer M'⁴ et en déduire M⁴.
6. Donner une base de ker(f)
7. Donner une base de Im(f).
Exercice 46
Soit B = (e1, e2, e3, e4) la base canonique de ℝ⁴
Soit f l’application linéaire dont la matrice dans la base canonique est :
M = ( 3 -1 1 -3
1 1 -1 -1
0 1 -1 0
1 0 0 -1 )
1. Donner une base (u, v) de ker(f).
2. Donner un vecteur w qui engendre E_1 = {x ∈ ℝ⁴, f(x) = x}
3. Déterminer un vecteur z ∈ ker((f - Id)²) et z ∉ ker(f - Id), on pourra calculer (M - Id)², en déduire que f(z) = z + w.
4. Montrer que B' = (u, v, w, z) est une base de ℝ⁴.
5. Déterminer la matrice M' de f dans la base B'. (en fonction de w)
Exercice 47
Soit B = (e1, e2, e3, e4) la base canonique de ℝ⁴
Soit f un endomorphisme de ℝ⁴ dont la matrice dans la base B est :
M = ( 2 -1 0 1
1 0 0 1
0 0 1 0
-3 1 0 -2 )
1. Déterminer un vecteur u qui engendre le noyau de f.
2. Soit λ ∈ ℝ. Montrer que E_λ = {x ∈ ℝ⁴, f(x) = λx} est un sous-espace vectoriel de ℝ⁴.
3. Trouver un vecteur directeur v de E_{-1}. Déterminer une base (w, z) de E_1.
4. Montrer que B' = (u, v, w, z) est une base de ℝ⁴.
5. Déterminer la matrice de f dans la base B'.
Exercice 48
Soit B = (e1, e2, e3, e4) la base canonique de ℝ⁴.
Soit f un endomorphisme de ℝ⁴ dont la matrice dans la base canonique est :
M = Mat_B(f) = ( -1 2 -2 -2
-2 3 -2 -2
-2 2 -1 -2
0 0 0 1 )
On pose u1 = e1 + 2e2 + 3e3 - 2e4, u2 = e2 + e3, u3 = e1 + 3e2 + 5e3 - 3e4 et z = -e1 - e2 - e3
On pose W = Vect(u1, u2, u3).
1. Montrer que B' = (u1, u2, u3, z) est une base de ℝ⁴ et donner la matrice P de passage de B à B'.
2. Déterminer la matrice M' de f dans la base B'.
3. Montrer que pour tout x ∈ W, f(x) ∈ W, en déduire que f_W: W → W définie par f_W(x) = f(x) est un endomorphisme de W, déterminer la matrice de f_W dans la base B_W = (u1, u2, u3).
4. Montrer que ℝ⁴ = W ⊕ Vect(z).
5. Montrer que pour tout x ∈ ℝ⁴ il existe un unique couple de vecteurs (y, z_vec) ∈ W × Vect(z) tels que : x = y + z_vec, calculer f(x).
Exercice 49
Soit B = (e1, e2, e3) la base canonique de ℝ³.
Soit f un endomorphisme de ℝ³ dont la matrice dans la base canonique est :
M = ( -10 -3 -12
5 0 7
6 2 7 )
1. Déterminer λ ∈ ℝ tel que M - λId ne soit pas inversible. Déterminer alors ker(f - λId).
2. Soit u = (-3, 1, 2), calculer f(u).
3. Déterminer v ∈ ℝ³ tel que f(v) = u - v, puis w ∈ ℝ³ tel que f(w) = v - w.
4. Montrer que B' = (u, v, w) est une base de ℝ³.
5. Déterminer M' = Mat_{B'}(f).
6. Montrer que (M + Id)³ = 0 (la matrice nulle). En déduire (f + Id)³.
7. Déterminer M⁻¹ en fonction de M², M et Id.
Exercice 50
Soit B = (e1, e2, e3) la base canonique de ℝ³.
On considère l’application linéaire f définie par f(e1) = 2e2 + 3e3; f(e2) = 2e1 - 5e2 - 8e3; f(e3) = -e1 + 4e2 + 6e3
On note f² = f o f.
1. Déterminer la matrice de f dans B.
2. Montrer que E_1 = ker(f - Id) et que E_{-1} = ker(f² + Id) sont des sous-espaces vectoriels de ℝ³.
3. Déterminer u, v deux vecteurs tels que E_1 = Vect(u) et E_{-1} = Vect(v, f(v)). A-t-on E_1 ⊕ E_{-1} = ℝ³?
4. Montrer
FAQ sur les Applications Linéaires, Matrices et Déterminants
Qu'est-ce qu'une application linéaire ?
Une application linéaire est une fonction entre deux espaces vectoriels qui préserve les opérations d'addition des vecteurs et de multiplication par un scalaire. Autrement dit, pour une application f: E → F et pour tous vecteurs u, v dans E et tout scalaire λ, on a f(u + v) = f(u) + f(v) et f(λu) = λf(u).
Comment déterminer le noyau (ker) et l'image (Im) d'une application linéaire ?
Le noyau de f, noté ker(f), est l'ensemble de tous les vecteurs dans l'espace de départ qui sont envoyés sur le vecteur nul de l'espace d'arrivée. C'est un sous-espace vectoriel. L'image de f, notée Im(f), est l'ensemble de tous les vecteurs de l'espace d'arrivée qui sont les images d'au moins un vecteur de l'espace de départ. C'est aussi un sous-espace vectoriel. Le théorème du rang relie leurs dimensions : dim(E) = dim(ker(f)) + dim(Im(f)).
Quel est le lien entre une application linéaire et une matrice ?
Toute application linéaire entre espaces vectoriels de dimension finie peut être représentée par une matrice par rapport à des bases choisies. Inversement, toute matrice définit une application linéaire. Les colonnes de la matrice sont les images des vecteurs de base de l'espace de départ, exprimées dans la base de l'espace d'arrivée.