Exercices corrigés diagonalisatio -Algèbre 2 - Télécharger p
Télécharger PDFExercices corrigés - Diagonalisation
Exercice 1
On considère les vecteurs suivants de R³ : e01 = [1]
[2]
[-1], e02 = [0]
[-1]
[1] et e03 = [1]
[1]
[-1].
- Vérifiez que la famille (e01, e02, e03) forme une base (notée B₀) de R³.
- Écrire la matrice de passage P de la base canonique à la base B₀. Calculez P⁻¹.
- Soit A = [0 1 1]
[-1 2 1]
[1 -1 0] la matrice d'un endomorphisme f de R³ dans la base canonique. Déterminez la matrice de f dans la base B₀.
Corrigé de l'exercice 1
Soit P = PB→B₀ = [1 0 1]
[2 -1 1]
[-1 1 -1]. Alors det(P) ≠ 0. La famille (e01, e02, e03) est donc libre : son cardinal étant égal à 3 = dim(R³), c'est une base de R³.
Vérifier que P⁻¹ = [0 1 1]
[1 0 1]
[1 -1 -1].
Alors la matrice A₀ de f dans la base B₀ est A₀ = P⁻¹AP = [1 0 0]
[0 1 0]
[0 0 0].
Exercice 2
(*) Reprendre les questions de l'exercice 1 avec les vecteurs de R³ suivants : e01 = [1]
[2]
[0], e02 = [1]
[1]
[1] et e03 = [0]
[1]
[0], et la matrice A = [1 0 1]
[-2 2 3]
[0 0 1].
Corrigé de l'exercice 2
det(P) = [1 1 0]
[2 1 1]
[0 1 0] = -1 ≠ 0. La famille (e01, e02, e03) est une base de R³.
P⁻¹ = [1 0 -1]
[0 0 1]
[-2 1 1], et P⁻¹AP = [1 1 0]
[0 1 0]
[0 0 2].
Exercice 3
(*) Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables ? Vous déterminerez les valeurs propres et les sous-espaces propres éventuels de chacune de ces matrices :
A = [3 -2]
[2 -2]
B = [1 1]
[-1 1]
C = [3 1]
[-1 1]
Corrigé de l'exercice 3
Pour A
Le polynôme caractéristique est P(X) = det(A - X I₂) = [3 - X -2]
[2 -2 - X] = X² - X - 2 = (X + 1)(X - 2). P(X) est scindé, et possède deux racines, chacune d'ordre de multiplicité 1. D'après la proposition 7, A est diagonalisable.
Recherche d'une base de vecteurs propres
Pour λ₁ = -1 : Ker(A + I₂) = Ker [4 -2]
[2 -1].
u = [x]
[y] ∈ Ker(A + I₂) ⇔ [4x - 2y = 0]
[2x - y = 0] ⇔ 2x - y = 0.
E₋₁ = Ker(A + I) = { [x]
[y] ∈ R² / 2x - y = 0 } = Vect [1]
[2], donc u₁ = [1]
[2].
Pour λ₂ = 2 : Ker(A - 2I₂) = Ker [1 -2]
[2 -4].
u = [x]
[y] ∈ Ker(A - 2I₂) ⇔ [x - 2y = 0]
[2x - 4y = 0] ⇔ x - 2y = 0.
E₂ = Ker(A - 2I₂) = { [x]
[y] ∈ R² / x - 2y = 0 } = Vect [2]
[1], donc u₂ = [2]
[1].
Le cours permet d'affirmer que B₀ = (u₁, u₂) est une base de R². Soit P la matrice de passage de la base canonique à la base B₀ : P = PB→B₀ = [1 2]
[2 1]. Alors P⁻¹ = PB₀→B = (1/3) [-1 2]
[2 -1] et la matrice dans la base B₀ est A₀ = P⁻¹AP = [-1 0]
[0 2].
Pour B
Le polynôme caractéristique est P(X) = det(B - X I₂) = [1 - X 1]
[-1 1 - X] = X² - 2X + 2 : le discriminant de ce polynôme est Δ = -4. P(X) est irréductible dans R[X], donc non scindé. B n'est pas diagonalisable (en fait B n'est pas diagonalisable sur R, mais l'est si on travaille avec l'ensemble des nombres complexes C).
Pour C
Le polynôme caractéristique est P(X) = det(C - X I₂) = [3 - X 1]
[-1 1 - X] = X² - 4X + 4 = (X - 2)². P(X) est scindé, et possède une racine λ = 2 d'ordre de multiplicité 2. D'après le théorème 3, C est diagonalisable si et seulement si le sous-espace propre associé à λ est de dimension 2.
Pour λ₁ = 2 : Ker(C - 2I₂) = Ker [1 1]
[-1 -1] : cette matrice est clairement de rang 1 (deux colonnes proportionnelles) et donc le noyau est de dimension 1. Donc C n'est pas diagonalisable.
Exercice 4
Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables ? Vous déterminerez les valeurs propres et les sous-espaces propres éventuels de chacune de ces matrices :
M = [1 1 1]
[2 2 2]
[0 0 1]
(*) N = [-4 0 3]
[3 -1 -3]
[-6 0 5]
Corrigé de l'exercice 4
1) Pour la matrice M
P(X) = [1 - X 1 1]
[2 2 - X 2]
[0 0 1 - X] = (1 - X) [1 - X 1]
[2 2 - X] = (1 - X) ((1 - X)(2 - X) - 2) = X(1 - X)(X - 3).
Le polynôme caractéristique de M est scindé, et M possède 3 valeurs propres distinctes (λ₁ = 0, λ₂ = 1 et λ₃ = 3), chacune d'ordre de multiplicité 1 : M est donc diagonalisable.
On va chercher une base de vecteurs propres :
Pour λ₁ = 0 : Eλ₁ = Ker(M) = Vect [1]
[-1]
[0].
Pour λ₂ = 1 : Eλ₂ = Ker(M - I) = Ker [0 1 1]
[2 1 2]
[0 0 0] = Vect [1]
[2]
[-2].
Pour λ₃ = 3 : Eλ₃ = Ker(M - 3I) = Ker [-2 1 1]
[2 -1 2]
[0 0 -2] = Vect [1]
[2]
[0].
D'après la proposition 7, B₀ = ([1]
[-1]
[0], [1]
[2]
[-2], [1]
[2]
[0]) est une base de R³.
Les matrices de passage sont P = [1 1 1]
[-1 2 2]
[0 -2 0] et P⁻¹ = (1/6) [4 -2 0]
[0 0 -3]
[2 2 3].
On pourra vérifier que M₀ = P⁻¹MP = [0 0 0]
[0 1 0]
[0 0 3].
2) Pour la matrice N
Le polynôme caractéristique est P(X) = [-4 - X 0 3]
[3 -1 - X -3]
[-6 0 5 - X] = (-1 - X) [-4 - X 3]
[-6 5 - X] = (-1 - X) ((-4 - X)(5 - X) + 18) = -(X + 1)²(X - 2).
Le polynôme caractéristique de N est scindé, et P(X) possède 2 valeurs propres distinctes (λ₁ = -1 d'ordre de multiplicité 2 et λ₂ = 2 d'ordre de multiplicité 1) : N est donc diagonalisable si et seulement si le sous-espace propre associé à λ₁ = -1 est de dimension 2.
Pour λ₁ = -1 : Eλ₁ = Ker(N + I) = Ker [-3 0 3]
[3 0 -3]
[-6 0 6]. Cette matrice est de rang 1 (une colonne nulle et la troisième colonne proportionnelle à la première) : donc dim(Eλ₁) = 2 et N est diagonalisable.
De plus, Eλ₁ = Vect ([1]
[0]
[1], [0]
[1]
[0]) = Vect(u₁, u₂).
Pour λ₂ = 2 : Eλ₂ = Ker(N - 2I) = Ker [-6 0 3]
[3 -3 -3]
[-6 0 3] = Vect [1]
[-1]
[2] = Vect(u₃).
B₀ = (u₁, u₂, u₃) est une base de R³.
Les matrices de passage sont P = [1 0 1]
[0 1 -1]
[1 0 2] et P⁻¹ = [2 0 -1]
[-1 1 1]
[-1 0 1]. On pourra vérifier que N₀ = P⁻¹NP = [-1 0 0]
[0 -1 0]
[0 0 2].
Exercice 5
La matrice M = [1 0 1]
[0 1 0]
[1 0 1] est-elle diagonalisable sur R ? Justifiez ! (On ne demande pas d'exprimer les vecteurs propres de cette matrice)
Corrigé de l'exercice 5
Le polynôme caractéristique de M est P(X) = [1 - X 0 1]
[0 1 - X 0]
[1 0 1 - X] = (1 - X) [1 - X 1]
[1 1 - X] = (1 - X)((1 - X)² - 1) = -X(1 - X)(2 - X).
P(X) est scindé et M possède trois valeurs propres distinctes, chacune d'ordre de multiplicité 1 : M est donc diagonalisable.
Exercice 6
Soit f l'endomorphisme de R³ dont la matrice dans la base canonique est A = [-1 2 -2]
[0 2 0]
[3 -2 4].
- Déterminer le rang de f, puis définir Im(f) et Ker(f).
- Déterminer le polynôme caractéristique de f. Quelles sont les valeurs propres de f ? Donner une condition nécessaire et suffisante pour que f soit diagonalisable.
- Déterminer une base de chaque sous-espace propre de f : f est-elle diagonalisable ? Si oui, donner une base de R³ dans laquelle la matrice de f est diagonale, et donner la matrice de f dans cette nouvelle base.
Corrigé de l'exercice 6
- Le déterminant de A est égal à 4, donc rang(f) = 3. Ainsi Im(f) = R³ et Ker(f) = {0_R³}.
- P(X) = det(A - X I₃) = [-1 - X 2 -2]
[0 2 - X 0]
[3 -2 4 - X] = (2 - X) [-1 - X -2]
[3 4 - X] = (2 - X) ((-1 - X)(4 - X) + 6) = (2 - X)(X² - 3X + 2) = (2 - X)(X - 1)(X - 2) = -(X - 2)²(X - 1).
f possède deux valeurs propres : λ₁ = 1 d'ordre de multiplicité 1 et λ₂ = 2 d'ordre de multiplicité 2. P(X) étant scindé dans R[X], f est donc diagonalisable si et seulement si le sous-espace propre associé à la valeur propre λ₂ = 2 est de dimension 2. - Pour λ₁ = 1 : le sous-espace propre associé à λ₁ = 1 est E₁ = Ker(A - I₃) :
A - I₃ = [-2 2 -2]
[0 1 0]
[3 -2 3]. Cette matrice est de rang 2 car on peut aisément extraire un mineur d'ordre 2 non nul. On choisit une base de Ker(A - I₃) = Vect [1]
[0]
[-1].
Pour λ₂ = 2 : soit E₂ = Ker(A - 2I₃).
A - 2I₃ = [-3 2 -2]
[0 0 0]
[3 -2 2]. Cette matrice est de rang 1 car les trois colonnes sont proportionnelles. On choisit une base de Ker(A - 2I₃) = Vect ([0]
[1]
[1], [2]
[3]
[0]).
dim(E₂) = 2 donc f est diagonalisable dans la base B₀ = ([1]
[0]
[-1], [0]
[1]
[1], [2]
[3]
[0]).
De plus, MatB₀(f) = [1 0 0]
[0 2 0]
[0 0 2].
Exercice 7
Soit A la matrice de M₃(R) définie par : A = [2 -1 0]
[0 0 1]
[2 -1 0].
- Calculer le polynôme caractéristique de A puis les valeurs propres de A. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que A soit diagonalisable.
- Déterminer une base de chaque sous-espace propre de A : A est-elle diagonalisable ?
- Soient B = (u₁ = [1 2 0]T, u₂ = [1 1 1]T, u₃ = [1 0 1]T). Justifiez que B est une base de R³, puis déterminer la matrice de A dans la base B.
Corrigé de l'exercice 7
Soit A = [2 -1 0]
[0 0 1]
[2 -1 0] ∈ M₃(R).
- Le polynôme caractéristique de A est P(X) = [2 - X -1 0]
[0 -X 1]
[2 -1 -X] = (2 - X)((-X)² - (-1) * 1) + 0 - 0 + 0 = (2 - X)(X² + 1) + 2(0 - (-X)) = -X³ + 2X² - X = -X(X - 1)². P(X) est scindé et A possède deux valeurs propres : λ₁ = 0 d'ordre de multiplicité 1 et λ₂ = 1 d'ordre de multiplicité 2 : A est donc diagonalisable si et seulement si le sous-espace propre associé à λ₂ = 1 est de dimension 2. - Sous-espace propre associé à λ₁ = 0 : Comme 0 est valeur propre d'ordre de multiplicité 1, cela signifie que dim(Ker(A)) = 1.
E₀ = Ker(A) = Ker [2 -1 0]
[0 0 1]
[2 -1 0] = Vect [1]
[2]
[0].
Sous-espace propre associé à λ₂ = 1 : On a : A - I₃ = [1 -1 0]
[0 -1 1]
[2 -1 -1] est de rang 2 (trouver un mineur d'ordre 2 non nul). On a Ker(A - I₃) = Vect [1]
[1]
[1]. Enfin dim(Ker(A - I₃)) = 1 et A n'est pas diagonalisable. - On a det ([1 1 1]
[2 1 0]
[0 1 1]) = -1 ≠ 0 donc rang(B) = 3 = dim(R³), B est une base de R³.
P = [1 1 1]
[2 1 0]
[0 1 1] et P⁻¹ = [1 0 -1]
[-2 1 2]
[2 -1 -1].
La matrice de A dans cette nouvelle base B est P⁻¹AP = [0 0 0]
[0 1 1]
[0 0 1].
Exercice 8
Soit f l'endomorphisme de R³ dont la matrice dans la base canonique est : A = [1 1 -1]
[1 0 1]
[0 -1 2].
- Sans calculer son déterminant, justifier que A n'est pas inversible.
- Déterminer le noyau et l'image de f : vous en donnerez la dimension et une base. A-t-on Ker(f) ⊕ Im(f) = R³ ?
- Déterminer le polynôme caractéristique de f. Quelles sont les valeurs propres de f ? Justifier que f est diagonalisable.
- Donner une base B₀ de R³ dans laquelle la matrice de f est diagonale. Donner les matrices de passage P = PB→B₀ et P⁻¹ = PB₀→B, puis donner la matrice de f dans cette nouvelle base B₀.
Corrigé de l'exercice 8
- En considérant les colonnes de A, on remarque que C₃ = C₁ - 2C₂ : le déterminant de A est donc nul et A n'est pas inversible.
- On peut extraire un mineur d'ordre 2 non nul par exemple : [1 1]
[1 0] = -1. f est donc de rang 2, et Im(f) est de dimension 2. Donc, d'après le théorème du rang, Ker(f) est de dimension 1 : la relation sur les colonnes donnée précédemment, permet de conclure que Ker(f) = Vect [1]
[-2]
[-1]. Enfin, Im(f) est engendrée par les images des vecteurs d'une base de R³, c'est-à-dire, en prenant les images de la base canonique : Im(f) = Vect ([1]
[1]
[0], [1]
[0]
[-1], [-1]
[1]
[2]). Cette famille est liée et une base de Im(f) est par exemple : ([1]
[1]
[0], [1]
[0]
[-1]). Ker(f) ⊕ Im(f) = R³ si et seulement si l'union d'une base de Ker(f) et d'une base de Im(f) est une base de E. Pour le vérifier, il suffit de calculer le déterminant [1 1 1]
[-2 1 0]
[-1 0 -1] = -2 ≠ 0 donc ([1]
[-2]
[-1], [1]
[1]
[0], [1]
[0]
[-1]) est une base de R³ et Ker(f) ⊕ Im(f) = R³. - P(X) = det(A - X I₃) = [1 - X 1 -1]
[1 -X 1]
[0 -1 2 - X] = -X(1 - X)(2 - X) + 0 + 1 - 0 + (1 - X) - (2 - X). P(X) est scindé et f possède 3 valeurs propres, chacune d'ordre de multiplicité 1 : f est donc diagonalisable. - Pour λ₁ = 0 : le sous-espace propre associé à λ₁ = 0 est E₀ = Ker(A) = Vect [1]
[-2]
[-1].
Pour λ₂ = 1 : soit E₁ = Ker(A - I₃). A - I₃ = [0 1 -1]
[1 -1 1]
[0 -1 1]. Donc E₁ = Vect [0]
[1]
[1].
Pour λ₃ = 2 : soit E₂ = Ker(A - 2I₃). A - 2I₃ = [-1 1 -1]
[1 -2 1]
[0 -1 0]. Donc E₂ = Vect [1]
[0]
[-1].
f est diagonalisable dans la base B₀ = ([1]
[-2]
[-1], [0]
[1]
[1], [1]
[0]
[-1]).
P = PB→B₀ = [1 0 1]
[-2 1 0]
[-1 1 -1] et P⁻¹ = PB₀→B = (1/2) [-1 1 1]
[2 0 2]
[-1 1 -1].
De plus, MatB₀(f) = P⁻¹AP = [0 0 0]
[0 1 0]
[0 0 2].
FAQ sur la Diagonalisation
Qu'est-ce que la diagonalisation d'une matrice ?
La diagonalisation d'une matrice consiste à trouver une base dans laquelle la matrice de l'endomorphisme associé devient diagonale. Une matrice diagonale est une matrice où tous les éléments en dehors de la diagonale principale sont nuls. Ce processus simplifie grandement de nombreux calculs, notamment les puissances de matrices et la résolution de systèmes différentiels.
Quand une matrice est-elle diagonalisable ?
Une matrice est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé (toutes ses racines, appelées valeurs propres, sont dans le corps de base, comme R ou C) et, pour chaque valeur propre, la dimension de son sous-espace propre associé (sa multiplicité géométrique) est égale à son ordre de multiplicité algébrique dans le polynôme caractéristique.
Quels sont les avantages de la diagonalisation ?
La diagonalisation offre plusieurs avantages majeurs en algèbre linéaire et ses applications. Elle permet de calculer facilement les puissances d'une matrice (An), de résoudre des systèmes d'équations différentielles linéaires, de simplifier l'étude des formes quadratiques et des transformations linéaires, et de comprendre les propriétés intrinsèques d'un endomorphisme indépendamment de la base choisie.