Td théorie du signal 1 -Traitement de signal - Télécharger
Télécharger PDFConvolution et Autocorrélation
Exercice no 1 : Autocorrélation d’un signal à énergie finie
1.1) Calculer l’autocorrélation d’une exponentielle amortie (α > 0) définie comme suit : x(t) = A·e^(-αt) pour t ≥ 0, et 0 sinon.
Exercice no 2 : Autocorrélation d’un signal périodique
2.1) Rappeler la propriété de l’autocorrélation d’un signal périodique.
2.2) Calculer γx(τ), l’autocorrélation d’un signal sinusoïdal x(t) = Acos(2πf0t + φ).
Exercice no 3 : Convolution par une impulsion
La convolution est l’opérateur mathématique modélisant le comportement des systèmes linéaires invariants dans le temps (SLIT), autrement dit les filtres linéaires. La convolution de deux signaux x(t) et y(t) s’écrit z(t) = x ∗ y (t) = ∫ x(τ)· y(t − τ)dτ.
3.1) Montrer que l’impulsion de Dirac δ(t) est l’élément neutre de la convolution.
3.2) Montrer que le retard x(t − t0) peut s’écrire comme une convolution entre le signal x(t) et une impulsion de Dirac centrée en t0.
On considère un signal périodique x(t) ainsi que xT0(t) défini comme x(t) si t ∈ [-T0/2, T0/2[ et 0 sinon.
3.3) Écrire x(t) à partir du signal xT0(t).
3.4) Montrer que x(t) = xT0 ∗ ЩT0(t), où ЩT0(t) représente un peigne de Dirac de période T0.
Exercice no 4 : Convolution de deux signaux portes
On note ΠT la fonction porte de largeur T, définie comme 1 si t ∈ [-T/2, T/2] et 0 sinon.
4.1) Calculer ΠT ∗ ΠT (t).
4.2) Calculer ΠT1 ∗ ΠT2(t) où T1 > T2.
Exercice no 5 : Filtre RC
Un filtre passe-bas de premier ordre est de réponse impulsionnelle (causale) h(t) = α·e^(-αt) pour t ≥ 0, et 0 sinon. Le réel α > 0 est l’inverse de la constante de temps.
Calculer y(t) = x ∗ h (t) dans les cas suivants :
5.1) L’entrée x(t) est un signal sinusoïdal.
5.2) L’entrée x(t) est un signal créneau x(t) = AΠT(t - T/2), c'est-à-dire A si t ∈ [0, T] et 0 sinon.
Transformées de Fourier Usuelles
Exercice no 1 : Signal porte
Étant donné T > 0, on considère le signal x(t) = AΠT (t) défini comme A si |t| < T/2 et 0 sinon.
1.1) Calculer X(f ), la transformée de Fourier de x(t). Représenter Sx(f ), la Densité Spectrale d'Énergie (DSE) de x(t).
1.2) Que vaut ∫ Sx(f) df ? Expliquer ce que cette valeur représente (l'énergie totale du signal).
1.3) Calculer γx(τ), l’autocorrélation du signal x(t).
Exercice no 2 : Exponentielle amortie
Soit α un réel strictement positif. On étudie le signal suivant : x(t) = A·e^(-αt) pour t ≥ 0, et 0 sinon.
2.1) Représenter x(t).
2.2) Montrer que x(t) est à énergie finie. Que vaut E, son énergie ?
2.3) Calculer la transformée de Fourier X(f ) de x(t).
2.4) Calculer et représenter la DSE du signal x(t).
Exercice no 3 : Propriétés de la transformée de Fourier
Les propriétés suivantes sont à démontrer, sachant que x(t) a pour transformée de Fourier X(f ).
3.1) Que vaut la transformée de Fourier de x(t − t0) ?
3.2) Que vaut la transformée de Fourier de x(t)·e^(2jπf0t) ?
3.3) Que vaut la transformée de Fourier de x(t)·cos(2πf0t) ?
3.4) Que vaut la transformée de Fourier de Acos(2πf0t) ?
On considère que le signal x(t) est dérivable.
3.5) Que vaut la transformée de Fourier de ẋ(t), la dérivée de x(t) par rapport au temps ?
Exercice no 4 : Transformée de Fourier inverse
Étant donné F > 0, on considère le signal x(t) dont la transformée de Fourier X(f ) est définie comme (1/F)·ΠF (f ), c'est-à-dire 1 si |f| < F/2 et 0 sinon.
4.1) Quelle est l’expression de x(t) ?
4.2) Que vaut ∫ x(t) dt ? Expliquer ce que cette valeur représente (l'intégrale du signal dans le domaine temporel).
4.3) Que vaut Sx(f ), la DSE de x(t) ? En déduire E, l’énergie du signal.
4.4) Que vaut γx(τ), l’autocorrélation du signal x(t) ?
Exercice no 5 : Signal carré
5.1) Calculer la transformée de Fourier d’un signal carré périodique, en se basant sur les propriétés des transformées de Fourier.
Exercice no 6 : Signal triangulaire
On distinguera le signal triangle xT0(t) et le signal triangulaire périodique x(t). Le signal triangle xT0(t) est défini comme A·(1+2t/T0) si t ∈ [-T0/2, 0], A·(1-2t/T0) si t ∈ [0, T0/2], et 0 sinon. Le signal triangulaire x(t) est le signal T0-périodique tel que x(t) = xT0(t) si t ∈ [-T0/2, T0/2].
6.1) Représenter les signaux triangulaire x(t) et triangle xT0(t).
6.2) Calculer la puissance et la valeur moyenne, ou l’énergie, des signaux x(t) et xT0(t) suivant qu’ils sont à puissance ou à énergie finie.
6.3) Écrire le signal x(t) comme étant le résultat du produit de convolution de xT0(t) et d’un signal à préciser.
On note ΠT la fonction porte de largeur T, définie comme 1 si t ∈ [-T/2, T/2] et 0 sinon.
6.4) Calculer ΠT ∗ ΠT (t).
6.5) Écrire xT0(t) comme étant, à un facteur scalaire près, la convolution de deux fonctions portes, dont vous préciserez la largeur.
6.6) Écrire x(t) comme étant la convolution de 3 signaux.
6.7) En déduire l’expression de la transformée de Fourier de x(t).
Échantillonnage
Exercice no 1 : Échantillonnage théorique
Étant donné un signal x(t) et fe = 1/Te, la fréquence d’échantillonnage, le signal échantillonné xe(t) est le signal : xe(t) = x(t)·ЩTe(t), où ЩTe(t) est un peigne de Dirac.
1.1) Écrire ЩTe(t) sous forme d’une série de Fourier.
1.2) En déduire l’expression de Xe(f ) en fonction de X(f ).
1.3) Illustrer le phénomène de recouvrement spectral (aliasing).
1.4) En déduire la condition de possibilité de reconstruction de x(t) à partir de xe(t), selon le théorème de Nyquist-Shannon.
Exercice no 2 : Échantillonnage d’un signal audio
La bande utile d’un signal audio est 50 Hz – 18 kHz. L’enregistrement en studio induit la production d’un bruit additif se situant dans la bande 100 Hz – 40 kHz. La numérisation du signal est opérée par échantillonnage à la fréquence fe. La durée du signal est T = 10 s.
2.1) a. Si nous échantillonnons le signal tel quel, quelle est la fréquence d’échantillonnage minimale qui respecte le théorème de Nyquist-Shannon ?
b. Dans ce cas, combien d’échantillons seront acquis ?
Nous filtrons ce signal afin de supprimer totalement les fréquences qui composent le bruit.
2.2) a. Quelle fréquence d’échantillonnage minimale pourrons-nous utiliser afin qu’il n’y ait pas de repliement de spectre ?
b. Dans ce cas, combien d’échantillons seront acquis ?
Exercice no 3 : Signal échantillonné-bloqué
On rappelle que pour une fonction g(t) quelconque : g ∗ δ(t - nTe) = g(t - nTe), où δ(t - nTe) est une impulsion de Dirac centrée en nTe.
3.1) Montrer que le signal échantillonné-bloqué peut s’écrire sous la forme xeb(t) = xe ∗ ΠTe(t − Te/2).
3.2) Écrire Xeb(f ) en fonction de Xe(f ).
3.3) Quelle opération permettra de récupérer x(t) à partir de xeb(t) ?
Foire Aux Questions (FAQ)
À quoi sert la convolution en traitement du signal ?
La convolution est un opérateur mathématique fondamental en traitement du signal qui permet de décrire comment un système linéaire et invariant dans le temps (SLIT) modifie un signal d'entrée. Elle est utilisée pour analyser et concevoir des filtres, modéliser la réponse de systèmes physiques, ou encore pour la reconstruction d'images et l'analyse d'échos.
Quel est l'intérêt de l'autocorrélation d'un signal ?
L'autocorrélation mesure la similarité d'un signal avec une version décalée de lui-même. Elle est très utile pour détecter des périodicités dans un signal (comme la fréquence fondamentale d'une voix ou d'une musique), identifier des signaux cachés dans du bruit, ou encore pour caractériser la dépendance temporelle d'un processus aléatoire.
Pourquoi le théorème de Nyquist-Shannon est-il crucial pour l'échantillonnage ?
Le théorème de Nyquist-Shannon établit la fréquence d'échantillonnage minimale nécessaire pour pouvoir reconstruire parfaitement un signal analogique à partir de ses échantillons numériques. Si cette fréquence (dite fréquence de Nyquist) n'est pas respectée, des informations sont perdues et un phénomène appelé repliement de spectre (aliasing) se produit, rendant la reconstruction fidèle impossible.