Td m136 suites et séries de fonctions -Traitement de signal
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1.1 Suites de fonctions
Exercice 1.1.1
.1.1 Étudier la convergence simple et uniforme des suites de fonctions sur des domaines convenables :
- fn(x) = 2n|x| / (1 + n²x²)
- fn(x) = 1 / (1 + nx)
- fn(x) = n(e^(x/n) − 1)
- fn(x) = n^α * x * e^(-nx)
- fn(x) = x^n / (1 + ax^n)
- fn(x) = sin(nx) / (n√x)
Corrigé 1.1.1
1. Étude de fn(x) = 2n|x| / (1 + n²x²).
(a) Convergence simple sur R. On a ∀n ∈ N.
Pour x = 0, fn(0) = 0 donc lim n→+∞ fn(0) = 0.
Pour x ≠ 0, lim n→+∞ fn(x) = lim n→+∞ (2n|x| / (n²x²)) = lim n→+∞ (2|x| / (nx²)) = 0.
Donc la suite (fn)n converge simplement vers la fonction f nulle sur R définie par f(x) = 0.
(b) Convergence uniforme sur R.
Pour x = 1/n, fn(1/n) = (2n(1/n)) / (1 + n²(1/n)²) = 2 / (1 + 1) = 1. Comme lim n→+∞ fn(1/n) = 1 ≠ 0, la convergence n’est donc pas uniforme sur R.
Convergence uniforme sur I = ]−∞, a] ∪ [a, +∞[ pour a > 1/n.
La fonction est paire, il suffit de l’étudier sur [0, +∞[.
On a pour tout x > 0, f'n(x) = (2n(1 + n²x²) − 2n|x|(2n²x)) / (1 + n²x²)² = (2n − 2n³x²) / (1 + n²x²)² = 2n(1 − n²x²) / (1 + n²x²)².
Le signe de f'n(x) est celui de (1 − n²x²). Ainsi, f'n(x) > 0 pour x < 1/n et f'n(x) < 0 pour x > 1/n. La fonction fn est croissante sur [0, 1/n] et décroissante sur [1/n, +∞[.
Le maximum est atteint en x = 1/n, où fn(1/n) = 1.
kfnkI∞ = sup x∈I |fn(x)| = fn(a) = 2na / (1 + n²a²). Donc lim n→+∞ kfnkI∞ = 0, ce qui montre la convergence uniforme de la suite (fn)n sur I.
2. Étude de fn(x) = 1 / (1 + nx).
(a) Convergence simple sur [0, 1].
On a ∀n ∈ N, fn(0) = 1 et donc lim n→+∞ fn(0) = 1.
∀x ∈ ]0, 1], lim n→+∞ fn(x) = 0.
Donc la suite (fn)n converge simplement vers la fonction f définie sur [0, 1] par :
f(x) = 1 si x = 0
f(x) = 0 si x ∈ ]0, 1]
(b) Convergence uniforme sur [0, 1].
Puisque ∀n ∈ N, les fonctions fn sont continues sur [0, 1] et la fonction limite f est discontinue sur [0, 1], alors la convergence n’est pas uniforme sur [0, 1].
3. fn(x) = n(e^(x/n) − 1).
(a) Convergence simple sur R.
Pour x ∈ R, on a :
Si x = 0, lim n→+∞ fn(0) = lim n→+∞ n(e⁰ − 1) = 0.
Si x ≠ 0, lim n→+∞ fn(x) = lim n→+∞ n(e^(x/n) − 1) = lim n→+∞ x * (e^(x/n) − 1) / (x/n). En posant y = x/n, lorsque n → +∞, y → 0. On a lim y→0 (e^y − 1) / y = 1. Donc, lim n→+∞ fn(x) = x.
La suite (fn)n converge donc simplement vers la fonction f définie par f(x) = x sur R.
(b) Convergence uniforme sur R.
Pour la suite xn = n, lim n→+∞ |fn(xn) − f(xn)| = lim n→+∞ |n(e^(n/n) − 1) − n| = lim n→+∞ |n(e − 1) − n| = lim n→+∞ |n(e − 2)| = +∞ ≠ 0. Donc la convergence n’est pas uniforme sur R.
(c) Convergence uniforme sur [0, 1].
Pour x ∈ [0, 1], soit gn(x) = |fn(x) − f(x)| = |n(e^(x/n) − 1) − x|. On peut remarquer que gn(x) = n(e^(x/n) − 1) − x sur [0, 1]. (Il suffit d’étudier la fonction : x → n(e^(x/n) − 1) − x sur [0, 1].)
∀x ∈ ]0, 1[, g'n(x) = e^(x/n) − 1 ≥ 0, donc gn est croissante et son maximum est : gn(1) = n(e^(1/n) − 1) − 1.
Comme lim n→+∞ sup_[0,1] gn(x) = lim n→+∞ (n(e^(1/n) − 1) − 1) = 0, la convergence sur [0, 1] est uniforme.
4. fn(x) = n^α * x * e^(-nx), α > 0.
(a) Convergence simple.
Pour x > 0, lim n→+∞ fn(x) = lim n→+∞ (n^α * x) / e^(nx) = 0.
Pour x = 0, lim n→+∞ fn(0) = 0.
Pour x < 0, lim n→+∞ fn(x) = lim n→+∞ n^α * x * e^(-nx) = +∞.
Donc la suite converge simplement sur [0, +∞[ vers la fonction f nulle (f(x) = 0).
(b) Convergence uniforme sur R+.
On étudie la fonction gn(x) = |fn(x) − f(x)| = |n^α * x * e^(-nx)| = n^α * x * e^(-nx).
On a f'n(x) = n^α * e^(-nx) − n^(α+1) * x * e^(-nx) = (1 − nx)n^α * e^(-nx).
Et f'n(x) = 0 ⇔ (1 − nx)n^α * e^(-nx) = 0 ⇔ x = 1/n.
Donc la dérivée est strictement positive pour x < 1/n, nulle pour x = 1/n et strictement négative pour x > 1/n.
Le maximum de gn est atteint en xn = 1/n et ce maximum est fn(xn) = n^(α−1) / e.
D’où lim n→+∞ sup_{x∈R+} gn(x) = n^(α−1) / e =
{ +∞, si α > 1
1/e, si α = 1
0, si α < 1 }
Donc, la suite de fonctions (fn) converge uniformément sur R+ vers la fonction nulle si et seulement si α < 1.
5. fn(x) = x^n / (1 + ax^n).
(a) Convergence simple sur R.
Pour x ∈ R, lim n→+∞ fn(x) =
{ 1/a, si |x| > 1
0, si |x| < 1
1/(1+a), si x = 1
pas de limite, si x = −1 }
La suite de fonctions (fn)n≥0 converge donc sur ]−1, +∞[ vers la fonction f définie par :
f(x) = 0 si |x| < 1
f(x) = 1/(1+a) si x = 1
f(x) = 1/a si |x| > 1
(b) Convergence uniforme sur ]−1, +∞[.
Comme les fonctions fn, pour n ≥ 0, sont continues sur ]−1, +∞[ et la fonction limite simple est discontinue sur ]−1, +∞[, alors la convergence n’est pas uniforme sur ]−1, +∞[.
6. fn(x) = sin(nx) / (n√x), fn(0) = 0.
(a) Convergence simple.
On a pour tout x de R*+, |sin(nx) / (n√x)| ≤ 1 / (n√x). Et lim n→+∞ (1 / (n√x)) = 0.
Donc la suite (fn)n converge simplement vers la fonction f nulle sur R+ (car lim n→+∞ fn(0) = 0).
(b) Convergence uniforme sur R+.
Remarquer qu’il est difficile d’étudier la fonction gn(x) = |fn(x) − f(x)| = |sin(nx) / (n√x)|, et si on remplace x par n’importe quelle suite xn, la limite de la suite gn(xn) est toujours nulle.
On procède donc d’une autre façon.
Remarquons que sin(nx) / (n√x) = (1/√n) * h(nx) avec h(x) = sin(x) / √x et h(0) = 0.
Si on arrive à prouver que la fonction h est bornée par une constante M sur R+, la convergence sera donc uniforme sur R+.
En effet, dans ce cas on aura pour tout x ∈ R+, 0 ≤ |fn(x)| ≤ (1/√n) * sup_{x∈R+} |h(x)| = M/√n, qui tend vers 0 quand n tend vers +∞.
Prouvons que h est bornée : d’abord le problème ne se pose pas sur [1, +∞[ puisque h est continue. Pour x ≥ 1, 0 ≤ |fn(x)| = |sin(nx) / (n√x)| ≤ 1 / (n√x) ≤ 1/n. Donc sup_{x≥1} |fn(x)| ≤ 1/n → 0 quand n→+∞.
Sur ]0, 1], h est continue et prolongeable par continuité en 0 car lim x→0 h(x) = lim x→0 (sin(x) / √x) = lim x→0 (√x * sin(x)/x) = 0. Donc h est continue sur ]0, 1]. Et comme cet intervalle est compact (fermé borné), la fonction h y est donc bornée, et finalement h est bornée sur R+.
Exercice 1.1.2
Soit la suite de fonctions (fn)n≥0 définies par fn(x) = e^(-nx²) * sin(nx) + √(1 − x²).
1. Montrer que la suite (fn)n≥0 converge simplement sur [−1, 1] vers une fonction que l’on déterminera.
2. Montrer que, pour tout a > 0, la suite (fn)n≥0 converge uniformément vers f sur [a, 1].
3. Montrer que la suite (fn)n≥0 ne converge pas uniformément vers f sur [0, 1].
Corrigé 1.1.2
Soit la suite de fonctions (fn)n≥0 définies par : fn(x) = e^(-nx²) * sin(nx) + √(1 − x²).
1. Pour tout n ∈ N, la fonction fn est définie pour x ∈ [−1, 1], donc le domaine de définition de fn est Dfn = [−1, 1]. Pour tout x ∈ [−1, 1], lim n→+∞ fn(x) = lim n→+∞ (e^(-nx²) * sin(nx) + √(1 − x²)) = √(1 − x²), car lim n→+∞ e^(-nx²) = 0 et la fonction n → sin(nx) est bornée.
Donc la suite (fn)n≥0 converge simplement sur [−1, 1] vers une fonction f définie par ∀x ∈ [−1, 1], f(x) = √(1 − x²).
2. Montrons que, pour tout a > 0, la suite (fn)n≥0 converge uniformément vers f sur [a, 1].
Pour x ∈ [a, 1], x ≥ a et comme |sin(nx)| ≤ 1, alors gn(x) = |fn(x) − f(x)| = |e^(-nx²) * sin(nx)| ≤ e^(-na²).
Donc 0 ≤ sup_{x∈[a,1]} gn(x) ≤ e^(-na²), et puisque lim n→+∞ e^(-na²) = 0, alors lim n→+∞ sup_{x∈[a,1]} gn(x) = 0, ceci montre que la convergence est uniforme sur [a, 1].
3. Montrons que la suite (fn)n≥0 ne converge pas uniformément vers f sur [0, 1].
Pour xn = 1/n, on a lim n→+∞ gn(xn) = lim n→+∞ |e^(-n(1/n)²) * sin(n(1/n))| = lim n→+∞ |e^(-1/n) * sin(1)| = sin(1) ≠ 0, et donc la convergence n’est pas uniforme sur [0, 1].
Exercice 1.1.3
Soit la suite de fonctions (fn)n≥0 définies par : fn(x) = (n*e^x + x*e^(-x)) / (x + n), x ≥ 0.
1. Étudier la convergence simple et uniforme de la suite (fn)n≥0 sur [0, 1].
2. Calculer lim n→+∞ ∫_0^1 (x³ + 1)fn(x)dx.
Corrigé 1.1.3
1. Étude de la convergence simple et uniforme de la suite (fn)n≥0 sur [0, 1].
(a) Convergence simple sur [0, 1].
Pour tout x ∈ [0, 1], lim n→+∞ fn(x) = lim n→+∞ (n*e^x + x*e^(-x)) / (x + n) = lim n→+∞ (n(e^x + x*e^(-x)/n)) / (n(x/n + 1)) = e^x.
Donc la suite (fn)n≥0 converge simplement sur [0, 1] vers une fonction f définie par : ∀x ∈ [0, 1], f(x) = e^x.
(b) Convergence uniforme sur [0, 1].
Pour x ∈ [0, 1], gn(x) = |fn(x) − f(x)| = |(n*e^x + x*e^(-x)) / (x + n) − e^x| = |(x*e^(-x) − x*e^x) / (x + n)|.
Pour x ∈ [0, 1], gn(x) ≤ (|x*e^(-x)| + |x*e^x|) / (x + n) ≤ (1*e⁰ + 1*e¹) / (0 + n) = (1 + e) / n.
Donc lim n→+∞ sup_{x∈[0,1]} gn(x) = 0. Ceci montre que la convergence est uniforme sur [0, 1].
2. Calcul de lim n→+∞ ∫_0^1 (x³ + 1)fn(x)dx.
La convergence étant uniforme sur [0, 1], donc lim n→+∞ ∫_0^1 (x³ + 1)fn(x)dx = ∫_0^1 (x³ + 1) lim n→+∞ fn(x)dx = ∫_0^1 (x³ + 1)e^x dx.
Et par intégration par parties on obtient ∫_0^1 (x³ + 1)e^x dx = 5 − e.
Exercice 1.1.4
Étude de convergence. Soit α ∈ R et fn(x) = n^α * x * (1 − x)^n pour x ∈ [0, 1].
1. Trouver la limite simple des fonctions (fn)n.
2. Pour quelle valeurs de α la convergence est uniforme ?
Corrigé 1.1.4
1. Pour x = 0 ou x = 1, lim n→+∞ fn(x) = 0.
Pour x ∈ ]0, 1[, on a ln(fn(x)) = α ln(n) + ln(x) + n ln(1 − x) = ln(n) [α + (ln(x) / ln(n)) + (n / ln(n)) ln(1 − x)].
Ceci tend vers −∞ lorsque n tend vers +∞ et donc lim n→+∞ fn(x) = 0.
Par suite, la suite (fn)n converge simplement vers la fonction nulle.
2. Pour étudier la convergence uniforme, on considère la fonction gn(x) = |fn(x) − f(x)| = n^α * x * (1 − x)^n.
On a g'n(x) = n^α * (1 − x)^(n−1) * ((n + 1)x − 1).
La dérivée s'annule pour x = 1/(n+1). La fonction g_n(x) atteint son maximum pour x = 1/(n+1).
Le maximum est gn(1/(n+1)) = n^α * (1/(n+1)) * (1 - 1/(n+1))^n = n^α / (n+1) * (n/(n+1))^n.
Donc sup_{x∈[0,1]} |fn(x)| = (n^α / (n + 1)) * (1 − 1 / (n + 1))^n ∼ (1/e) * n^(α−1) quand n→+∞.
Ceci converge vers 0 si et seulement si α − 1 < 0, c'est-à-dire α < 1.
Il y a donc convergence uniforme si et seulement si α < 1.
Exercice 1.1.5
Soit la suite de fonctions (un)n≥1 définie par un(x) = x * n² * e^(-x/n) pour x ∈ R et n ≥ 1.
1. Montrer que la suite (un)n≥1 converge uniformément sur R+ vers une fonction f que l’on déterminera.
2. Comparer ∫_0^∞ (lim n→+∞ un(x))dx et lim n→+∞ ∫_0^∞ un(x)dx.
3. Conclure.
Corrigé 1.1.5
1. Montrons que la suite (un)n≥1 converge uniformément sur R+ vers une fonction f que l’on déterminera.
(a) Convergence simple sur R+.
On a pour tout x ≥ 0, un(0) = 0. Pour x ≠ 0, lim n→+∞ x*n²*e^(-x/n) = 0.
La suite converge simplement sur R+ vers la fonction nulle f(x) = 0.
(b) Convergence uniforme sur R+.
On a pour tout x > 0, u'n(x) = n² * e^(-x/n) − x * n * e^(-x/n) = n * e^(-x/n) * (n − x).
La dérivée s'annule en x = n. Pour x < n, u'n(x) > 0. Pour x > n, u'n(x) < 0.
Le maximum de un(x) est atteint en x = n, et sa valeur est un(n) = n * n² * e^(-n/n) = n³ * e⁻¹.
Donc lim n→+∞ sup_{x≥0} |un(x) − f(x)| = lim n→+∞ (n³ * e⁻¹) = +∞, d’où la non-convergence uniforme de la suite (un)n≥1 sur R+.
2. Comparer ∫_0^∞ (lim n→+∞ un(x))dx et lim n→+∞ ∫_0^∞ un(x)dx.
On a ∫_0^∞ (lim n→+∞ un(x))dx = ∫_0^∞ 0 dx = 0.
Et ∫_0^∞ un(x)dx = ∫_0^∞ x * n² * e^(-x/n) dx. En effectuant le changement de variable t = x/n, on obtient x = nt, dx = ndt.
∫_0^∞ (nt) * n² * e^(-t) * ndt = n⁴ ∫_0^∞ t * e^(-t) dt = n⁴ * Γ(2) = n⁴ * 1! = n⁴.
Ainsi, lim n→+∞ ∫_0^∞ un(x)dx = lim n→+∞ n⁴ = +∞.
3. Conclusion.
On a donc ∫_0^∞ (lim n→+∞ un(x))dx = 0 et lim n→+∞ ∫_0^∞ un(x)dx = +∞.
Ces deux valeurs sont différentes. Ceci est dû au fait que le théorème d’inversion de la limite et de l’intégrale n’est pas valable pour les intégrales généralisées lorsque la convergence n'est pas uniforme ou la majoration ne s'applique pas.
Exercice 1.1.6
Soit (fn)n la suite de fonctions définies sur [0,1] par :
fn(x) = n²x(1 − nx), pour x ∈ [0, 1/n]
fn(x) = 0, sinon
1. Étudier la limite simple de la suite (fn)n.
2. Calculer : ∫_0^1 fn(t)dt. Y a-t-il convergence uniforme de la suite de fonctions (fn)n ?
3. Étudier la convergence uniforme sur [a, 1] avec a > 0.
Corrigé 1.1.6
1. Pour x ∈ ]0, 1], il existe n0 tel que 1/n0 < x. Alors, pour tout n ≥ n0, fn(x) = 0 → 0.
Pour x = 0, fn(0) = 0.
Donc la suite de fonctions (fn)n converge simplement vers la fonction nulle f sur [0, 1] (f(x) = 0).
2. On a ∫_0^1 fn(x)dx = ∫_0^(1/n) n²x(1 − nx)dx = n² [x²/2 − nx³/3]_0^(1/n).
= n² [ (1/(2n²)) − (n/(3n³)) ] = n² [ (1/(2n²)) − (1/(3n²)) ] = n² [ (3 − 2)/(6n²) ] = n² [ 1/(6n²) ] = 1/6.
S’il y avait convergence uniforme de la suite de fonctions (fn)n, on aurait lim n→+∞ ∫_0^1 fn(x)dx = ∫_0^1 f(x)dx = 0.
Ce qui n’est pas le cas (car la limite est 1/6 et non 0), donc il n’y a pas de convergence uniforme de la suite de fonctions (fn)n vers la fonction nulle f sur [0, 1].
3. Sur [a, 1], la suite de fonctions (fn)n converge simplement vers la fonction nulle g sur [a, 1]. Pour tout n tel que 1/n < a (c'est-à-dire n > 1/a), et pour tout x ∈ [a, 1], fn(x) = 0.
D’où ∀x ∈ [a, 1], |fn(x) − g(x)| = |fn(x)| = 0.
Donc il y a convergence uniforme sur [a, 1].
1.2 Séries de fonctions
Exercice 1.2.1
Soit la suite de fonctions (un)n≥1 définie par un(x) = (−1)^n * ln(1 + x / (n(1 + x))) pour x ≥ 0 et n ≥ 1.
1. Montrer que la série ∑un converge simplement sur R+.
2. Montrer que la série ∑un converge uniformément sur R+.
3. La convergence est-elle normale sur R+ ?
Corrigé 1.2.1
1. Montrons que la série ∑un converge simplement sur R+.
La série ∑un(x) est alternée.
De plus, on a pour tout x ≥ 0 : lim n→+∞ |un(x)| = 0 et ∀n ≥ 1, |un+1(x)| ≤ |un(x)|.
Donc d’après le critère d’Abel des séries alternées, la série ∑un(x) est convergente vers une fonction S(x) = ∑_(n=1)^(+∞) un(x).
2. Montrer que la série ∑un converge uniformément sur R+.
Pour montrer la convergence uniforme sur R+, on calcule |Sn − S(x)|.
Le critère des séries alternées nous donne même la majoration suivante du reste de la série : |Sn − S(x)| = |∑_(k=n+1)^(+∞) uk(x)| ≤ |un+1(x)| ≤ x / ((n + 1)(1 + x)).
Comme x / (1+x) ≤ 1 pour x ≥ 0, on a |Sn − S(x)| ≤ 1 / (n + 1).
Donc 0 ≤ sup_{x∈R+} |Sn − S(x)| ≤ 1 / (n + 1), et par suite lim n→+∞ sup_{x∈R+} |Sn − S(x)| = 0.
C’est bien que la série converge uniformément sur R+.
3. La convergence est-elle normale sur R+ ?
On a sup_{x∈R+} |un(x)| ≥ |un(1)| = ln(1 + 1/(2n)) ∼ 1/(2n) au voisinage de l’infini.
Donc il n’y a pas convergence normale puisque ∑ (1/(2n)) est divergente (série harmonique).
Exercice 1.2.2
Soit la suite de fonctions (un)n≥1 définie par un(x) = (−1)^n * e^(-nx) / (n²(1 + x)).
1. Étude de la série ∑un.
(a) Montrer que la série ∑un converge simplement sur un domaine I que l’on déterminera.
(b) Étudier la convergence uniforme sur ce domaine I.
2. Même questions pour la série ∑vn, où vn(x) = (−1)^n * e^(-nx) / (n(1 + x)).
Corrigé 1.2.2
1. Étude de la série ∑ e^(-nx) / (n²(1 + x)).
(a) Montrer que la série ∑un converge simplement sur un domaine I que l’on déterminera.
En utilisant le critère de D'Alembert pour la série des valeurs absolues |un(x)| :
lim n→+∞ (|un+1(x)| / |un(x)|) = lim n→+∞ ( (e^(-(n+1)x) / ((n+1)²(1+x))) / (e^(-nx) / (n²(1+x))) ) = lim n→+∞ (e^(-x) * n² / (n+1)²) = e^(-x).
D’après la règle de D'Alembert, la série converge si e^(-x) < 1 (soit x > 0) et diverge si e^(-x) > 1 (soit x < 0).
Pour x = 0, la série devient ∑((-1)^n / n²) qui converge absolument (série de Riemann avec p=2 > 1).
Finalement, la série converge simplement si et seulement si x ≥ 0 et donc I = [0, +∞[.
(b) Étudier la convergence uniforme sur ce domaine I.
On a ∀x ≥ 0, |un(x)| = |(−1)^n * e^(-nx) / (n²(1 + x))| ≤ 1/n².
Et ∑ (1/n²) est convergente (série de Riemann avec p=2 > 1).
Donc la série ∑un est normalement convergente sur R+, donc uniformément convergente sur R+.
2. Même questions pour la série ∑vn, où vn(x) = (−1)^n * e^(-nx) / (n(1 + x)).
De la même façon, on montre que la série converge simplement sur R+.
Dans ce cas, on ne peut pas appliquer le résultat de la convergence normale puisque ∀x ≥ 0, |vn(x)| = |(−1)^n * e^(-nx) / (n(1 + x))| ≤ 1/n, et ∑ (1/n) est divergente (série harmonique, donc de Riemann avec p=1).
On applique donc le résultat du reste appliqué aux séries alternées convergentes.
En effet, on a |Rn(x)| = |∑_(k=n+1)^(+∞) vk| ≤ |vn+1(x)| = |((-1)^(n+1) * e^(-(n+1)x)) / ((n+1)(1+x))|.
Pour x ≥ 0, e^(-(n+1)x) ≤ 1 et 1/(1+x) ≤ 1. Donc |vn+1(x)| ≤ 1/(n+1).
Donc 0 ≤ sup_{x∈R+} |Rn(x)| ≤ 1/(n+1).
En passant à la limite pour n tendant vers l’infini, on obtient lim n→+∞ sup_{x∈R+} |Rn(x)| = 0, ce qui prouve donc que la série converge uniformément sur R+.
Exercice 1.2.3
Soit la suite de fonctions (un)n≥1 définie par un(x) = 1 / (n² + n³x²) pour x ∈ R et n ≥ 1.
1. Montrer que la série ∑un converge uniformément sur R vers une fonction f.
2. Étudier la dérivabilité de f sur R.
Corrigé 1.2.3
1. Comme pour tout x de R, |un(x)| = 1 / (n² + n³x²) ≤ 1/n² (car n³x² ≥ 0), et ∑ (1/n²) converge (série de Riemann avec p=2 > 1), alors la série converge normalement sur R, d’où la convergence uniforme sur R.
2. Étudier la dérivabilité de f sur R.
On a pour tout x de R, u'n(x) = d/dx (n² + n³x²)^(-1) = -1 * (n² + n³x²)^(-2) * (2n³x) = −2n³x / (n² + n³x²)².
Par une étude de fonction, on montre que |u'n(x)| ≤ 1/(2n²).
Comme ∑ (1/(2n²)) converge (série de Riemann), la série ∑u'n converge normalement sur R, d’où la convergence uniforme sur R.
Et comme les fonctions x → u'n(x) sont continues sur R, alors f est dérivable et de classe C¹ sur R, et on a :
f'(x) = ∑_(n=1)^(+∞) u'n(x) = ∑_(n=1)^(+∞) (−2n³x / (n² + n³x²)²).
Exercice 1.2.4
Soit f la fonction définie par f(x) = ∑_(n=2)^(+∞) (1 / (n² + sin(nx))).
1. Montrer que f est continue sur son domaine de définition.
2. f est-elle dérivable sur son domaine de définition ?
Corrigé 1.2.4
1. Montrer que f est continue sur son domaine de définition.
Soit pour tout x ∈ R, fn(x) = 1 / (n² + sin(nx)).
On a pour tout x ∈ R, −1 ≤ sin(nx) ≤ 1 et n² ≥ 4 (pour n≥2), donc 0 < n² − 1 ≤ n² + sin(nx) ≤ n² + 1.
Le domaine de définition de fn est donc R.
De plus, pour tout x ∈ R, |fn(x)| = |1 / (n² + sin(nx))| ≤ 1 / (n² − 1).
Comme ∑ (1/(n² − 1)) est une série convergente (série de Riemann équivalente à ∑ (1/n²) au voisinage de l’infini), alors la série ∑fn(x) est normalement convergente sur R. D’où la convergence uniforme sur R.
Et comme pour tout n ≥ 2, la fonction x → fn(x) est continue sur R, alors la fonction f est continue sur R.
2. Dérivabilité de f sur son domaine de définition.
On a pour x ∈ R, f'n(x) = −n cos(nx) / (n² + sin(nx))².
Et |f'n(x)| = |−n cos(nx) / (n² + sin(nx))²| ≤ n / (n² − 1)².
Comme n / (n² − 1)² ∼ n / n⁴ = 1/n³ au voisinage de l’infini, la série ∑ (1/n³) est convergente (série de Riemann avec p=3 > 1).
Récapsulatif :
– (*) La série ∑f'n est normalement convergente sur R.
– (*) ∀n ≥ 2, la fonction x → f'n(x) est continue sur R.
Donc la série ∑f'n converge vers une fonction g continue sur R définie par :
∀x ∈ R, g(x) = ∑_(n=2)^(+∞) f'n(x) = ∑_(n=2)^(+∞) (−n cos(nx) / (n² + sin(nx))²).
De plus, on a ∀x ∈ R, f'(x) = g(x). Donc f est de classe C¹ sur R.
Exercice 1.2.5
Soit la suite de fonctions (fn)n≥0 définies par : fn(x) = x^(n+1)ln(x), si x > 0, et fn(0) = 0;
1. Montrer que la suite (fn)n≥0 converge simplement vers une fonction que l’on déterminera.
2. Calculer, pour tout n, le maximum de la fonction x → |fn(x)| et déduire la convergence uniforme de la suite (fn)n≥0.
3. (a) Montrer que la série ∑fn est simplement convergente vers une fonction que l’on explicitera.
(b) La convergence de la série ∑fn est-elle uniforme ?
4. (a) Montrer que la série ∑((-1)^n fn) est simplement convergente.
(b) Montrer que la série ∑((-1)^n fn) est uniformément convergente (on pourra étudier le reste).
Corrigé 1.2.5
1. Montrer que la suite (fn)n≥0 converge simplement vers une fonction que l’on déterminera.
Pour x ≥ 0 ; lim n→+∞ fn(x) =
{ 0, si x = 0
0, si 0 < x ≤ 1
+∞, si x > 1 }
Donc (fn)n≥0 converge simplement sur [0, 1] vers la fonction f définie par : ∀x ∈ [0, 1], f(x) = 0.
2. Calculer, pour tout n, le maximum de la fonction x → |fn(x)| et déduire la convergence uniforme de la suite (fn)n≥0.
Étude de la fonction fn.
On a pour tout x ∈ ]0, 1[, f'n(x) = (n + 1)x^n ln(x) + x^n = x^n((n + 1) ln(x) + 1).
f'n(x) = 0 ⇔ x = e^(-1/(n+1)).
Pour x ∈ ]0, e^(-1/(n+1))[, f'n(x) < 0, donc fn est décroissante. Pour x ∈ ]e^(-1/(n+1)), 1[, f'n(x) > 0, donc fn est croissante.
Le minimum de fn(x) est atteint en x = e^(-1/(n+1)), et sa valeur est fn(e^(-1/(n+1))) = e^(-1) * (-1/(n+1)) = -1/(e(n+1)).
Le maximum de la fonction x → |fn(x)| est donc sup_{x∈[0,1]} |fn(x)| = 1/(e(n+1)), qui tend vers 0 quand n tend vers +∞, d’où la convergence uniforme de la suite (fn)n≥0 sur [0, 1].
3. (a) Montrer que la série ∑fn est simplement convergente.
On a lim n→+∞ |fn+1(x)| / |fn(x)| = |x|.
D’après le critère de D'Alembert, la série est simplement convergente pour |x| < 1.
Comme la série converge en x=0 (fn(0)=0) et en x=1 (fn(1)=0), son intervalle de convergence est [0, 1].
Soit S(x) = ∑_(n=0)^(+∞) x^(n+1)ln(x). La fonction somme est :
S(x) = 0 si x = 0
S(x) = x*ln(x) / (1 − x) si x ∈ ]0, 1[
S(x) = 0 si x = 1
Or lim x→1⁻ S(x) = −1 ≠ S(1) = 0, donc la fonction somme est discontinue en x=1. Puisque les fonctions fn sont continues sur [0, 1], la convergence n’est pas uniforme sur [0, 1].
4. (a) Montrer que la série ∑((-1)^n fn) est simplement convergente.
La série ∑((-1)^n fn(x)) est alternée.
De plus, on a pour tout x ≥ 0 (∀x ∈ [0, 1]), lim n→+∞ |fn(x)| = 0 et ∀n ≥ 1, |fn+1(x)| ≤ |fn(x)| car pour x ∈ [0, 1], x^(n+1)|ln(x)| ≤ x^n|ln(x)|.
Donc d’après le critère d’Abel des séries alternées, la série ∑((-1)^n fn(x)) est convergente vers une fonction S(x) = ∑_(n=0)^(+∞) (−1)^n fn(x).
(b) Montrer que la série ∑((-1)^n fn) est uniformément convergente (on pourra étudier le reste).
Pour montrer la convergence uniforme sur [0, 1], on calcule lim n→+∞ sup_{x∈[0,1]} |Sn − S(x)|.
Le critère des séries alternées nous donne même la majoration suivante du reste de la série : |Sn − S(x)| = |∑_(k=n+1)^(+∞) (−1)^k fk(x)| ≤ |fn+1(x)|.
D'après la question 2, sup_{x∈[0,1]} |fn+1(x)| = 1/(e(n+2)).
Donc, 0 ≤ lim n→+∞ sup_{x∈[0,1]} |Sn − S(x)| ≤ lim n→+∞ (1/(e(n+2))) = 0.
Ceci prouve que la série converge uniformément sur [0, 1].
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce que la convergence simple d'une suite de fonctions ?
La convergence simple d'une suite de fonctions (fn) vers une fonction f sur un ensemble E signifie que pour chaque point x de E, la suite numérique (fn(x)) converge vers f(x) lorsque n tend vers l'infini. Autrement dit, pour chaque x fixé, la valeur de fn(x) se rapproche de f(x) à mesure que n augmente.
Quelle est la différence entre la convergence simple et la convergence uniforme ?
La convergence simple assure la convergence point par point. La convergence uniforme est plus forte : elle signifie que la convergence est "aussi bonne" pour tous les points x de l'ensemble E simultanément. Formellement, pour la convergence uniforme, la différence maximale |fn(x) - f(x)| sur l'ensemble E tend vers zéro lorsque n tend vers l'infini, alors que pour la convergence simple, cela doit être vrai pour chaque x individuellement.
Dans quel cas peut-on intervertir limite et intégrale pour une suite de fonctions ?
L'interversion de la limite et de l'intégrale est possible sous certaines conditions. Le théorème de convergence dominée de Lebesgue est le plus général, mais un cas plus simple est le théorème de convergence uniforme : si une suite de fonctions continues (fn) converge uniformément vers une fonction f sur un intervalle [a, b] (borné et fermé), alors on peut intervertir la limite et l'intégrale, c'est-à-dire que lim n→+∞ ∫_a^b fn(x)dx = ∫_a^b (lim n→+∞ fn(x))dx = ∫_a^b f(x)dx.