Exercices systèmes communication traitement information -Tra
Télécharger PDFUniversité Ibn Tofail, Année Universitaire
Faculté des Sciences de Kénitra, Département de Physique
DESA SCTI – Travaux Dirigés N° Complément avec correction – Traitement du Signal
Exercice 1
Calcul de la réponse indicielle
Calculer la réponse indicielle y(t) du processus linéaire continu de fonction de transfert H(s) = 1/(s(s+1)).
Réponse
La réponse indicielle correspond à une entrée x(t) = u(t) (échelon unité), donc X(s) = 1/s.
On sait que Y(s) = H(s)X(s) = 1 / (s²(s+1)).
Pour trouver la transformée de Laplace inverse, effectuons une décomposition en éléments simples de Y(s) :
Y(s) = A/s + B/s² + C/(s+1)
Après calcul, on trouve A = -1, B = 1, C = 1.
Donc Y(s) = -1/s + 1/s² + 1/(s+1).
La transformée de Laplace inverse (voir table, cas causal) donne :
y(t) = [-u(t) + t u(t) + exp(-t) u(t)] = [t + exp(-t) - 1]u(t).
Remarque : La multiplication par u(t) (fonction échelon unité) signifie que y(t) = 0 si t < 0, et y(t) = t + exp(-t) - 1 si t ≥ 0 (cas causal).
Exercice 2
Analyse d'un système continu LTI
Soit un système continu LTI régi par l'équation différentielle linéaire du second ordre suivante :
y''(t) - y'(t) = x(t)
avec x(t) = sin(t) et les conditions initiales y(0) = 0, y'(0) = 0.
Réponse
On calcule les Transformées de Laplace (TL) des membres de l'équation. On utilisera les propriétés de la TL de la dérivée, la linéarité, et la table des TL.
- TL[y''(t)] = s²Y(s) - sy(0) - y'(0)
- TL[y'(t)] = sY(s) - y(0)
- TL[x(t)] = X(s)
Étant donné les conditions initiales nulles (y(0) = 0, y'(0) = 0), les expressions se simplifient :
- TL[y''(t)] = s²Y(s)
- TL[y'(t)] = sY(s)
L'équation différentielle devient en domaine de Laplace :
s²Y(s) - sY(s) = X(s)
Y(s)(s² - s) = X(s)
La fonction de transfert H(s) est donc :
H(s) = Y(s)/X(s) = 1 / (s² - s) = 1 / (s(s-1))
L'entrée est x(t) = sin(t), dont la transformée de Laplace est X(s) = 1/(s²+1).
Ainsi, la sortie Y(s) est :
Y(s) = H(s)X(s) = 1 / (s(s-1)(s²+1))
Pour trouver y(t), nous décomposons Y(s) en éléments simples :
Y(s) = A/s + B/(s-1) + (Cs+D)/(s²+1)
Après calcul des coefficients, on trouve A = -1, B = 1/2, C = 1/2, D = -1/2.
Y(s) = -1/s + 1/(2(s-1)) + (s/2 - 1/2)/(s²+1) = -1/s + (1/2) * (1/(s-1)) + (1/2) * (s/(s²+1)) - (1/2) * (1/(s²+1))
En utilisant la table des Transformées de Laplace inverses, on obtient :
y(t) = [-1 + (1/2)exp(t) + (1/2)cos(t) - (1/2)sin(t)]u(t)
Exercice 3
Stabilité d'un système numérique LTI (Critère de Jury)
Soit un système numérique LTI dont le dénominateur de sa fonction de transfert est donné par A(z).
1. Le système est-il stable si A(z) = z³ - z² - z + 1 ?
2. Même question lorsque A(z) = z³ - z + 1 ?
Réponse
Pour évaluer la stabilité d'un système discret à partir de son polynôme caractéristique A(z), on utilise le critère de Jury. Un système est stable si tous les pôles du système sont à l'intérieur du cercle unité (c'est-à-dire |z_k| < 1 pour chaque pôle z_k). Le critère de Jury fournit des conditions sur les coefficients du polynôme.
Pour un polynôme A(z) = a_N z^N + ... + a_1 z + a_0, les conditions (simplifiées pour l'exemple) sont :
- a_0 > 0 (si a_0 est négatif, multiplier A(z) par -1).
- |a_0| < |a_N|.
- A(1) > 0.
- Si N est impair, A(-1) < 0. Si N est pair, A(-1) > 0.
- Conditions supplémentaires sur les coefficients du tableau de Jury (b_k, c_k, etc.). Par exemple, |b_0| > |b_N-1|.
Cas 1 : A(z) = z³ - z² - z + 1
Ici, N = 3 (impair). Les coefficients sont : a₃ = 1, a₂ = -1, a₁ = -1, a₀ = 1.
- a₀ = 1 > 0. (Vérifiée)
- |a₀| < |a₃| ? |1| < |1| ? Non (1 est égal à 1, pas strictement inférieur). Donc, le système est instable.
En utilisant les conditions supplémentaires mentionnées dans le texte original (interprétation des `_E _! _E _`) :
a₀ = 1 > 0 (Vérifiée).
N = 3 (impair). Calculons A(-1) : A(-1) = (-1)³ - (-1)² - (-1) + 1 = -1 - 1 + 1 + 1 = 0.
La condition pour N impair est A(-1) < 0. Puisque A(-1) = 0, cette condition n'est pas strictement vérifiée, ce qui indique que le système n'est pas stable (il peut avoir des pôles sur le cercle unité).
Le texte mentionne : "la condition |b_k| < |b_{N-k}| non vérifiée, donc le système est instable". Ceci confirme l'instabilité.
Conclusion : Le système A(z) = z³ - z² - z + 1 est instable.
Cas 2 : A(z) = z³ - z + 1
Ici, N = 3 (impair). Les coefficients sont : a₃ = 1, a₂ = 0, a₁ = -1, a₀ = 1.
- a₀ = 1 > 0. (Vérifiée)
- |a₀| < |a₃| ? |1| < |1| ? Non. Donc, le système est instable.
Vérification avec les conditions spécifiques du texte :
a₀ = 1 > 0 (Vérifiée).
N = 3 (impair). Calculons A(-1) : A(-1) = (-1)³ - (-1) + 1 = -1 + 1 + 1 = 1.
La condition pour N impair est A(-1) < 0. Puisque A(-1) = 1 (> 0), cette condition n'est pas vérifiée.
Conclusion : Le système A(z) = z³ - z + 1 est instable.
(Note : Le texte original indiquait que ce système serait stable, mais l'application rigoureuse du critère de Jury montre qu'il est instable.)
Exercice 4
Propriétés des systèmes discrets
Les séquences x[n] et y[n] représentent respectivement l'entrée et la sortie d'un système discret. On considère x[n] réelle. Pour chacune des relations entrée-sortie ci-dessous, identifiez celles représentant :
(a) des systèmes linéaires,
(b) des systèmes causaux,
(c) des systèmes invariants aux translations de n (temps-invariants),
(d) des systèmes assurément ou possiblement stables (s'il y a lieu, caractérisez les constantes afin d'assurer la stabilité).
- y[n] = x[n] + b x[n-1] + e (e constante réelle)
- y[n] = x[n] + b x[n+1] + e (e constante réelle)
- y[n] = n x[n]
- y[n] = x[n] sin(πn/N) (N constante entière)
- y[n] = x[n] exp(n)
- y[n] = b x[n] + e (e constante réelle)
- y[n] = |x[n]|
- y[n] = a x[n] + b
Réponse
- Systèmes linéaires : Un système est linéaire si T{ax₁[n] + bx₂[n]} = aT{x₁[n]} + bT{x₂[n]}. Les termes additifs constants (e ou b) rendent un système affine, et non linéaire.
- Sont linéaires : (3), (4), (5).
- Sont linéaires si les constantes additives sont nulles (e=0 ou b=0) : (1), (2), (6), (8).
- Ne sont pas linéaires : (7) car l'opérateur valeur absolue n'est pas linéaire.
(Interprétation de la réponse originale : "Tous sauf (7) et (8)". Ceci implique que (1), (2), (6) sont considérés linéaires, ce qui n'est vrai que si e=0. Pour (8), si b=0, il serait linéaire. Nous nous basons sur l'interprétation la plus stricte de la linéarité.)
- Systèmes causaux : Un système est causal si sa sortie y[n] dépend uniquement des valeurs actuelles et passées de l'entrée x[n].
- Sont causaux : (1), (3), (4), (5), (6), (7), (8).
- N'est pas causal : (2) à cause du terme x[n+1].
(Réponse originale : "Tous sauf (2)")
- Systèmes invariants aux translations (temps-invariants) : Un système est temps-invariant si un décalage de l'entrée n'entraîne qu'un décalage identique de la sortie. Les coefficients qui dépendent de 'n' rendent le système temps-variant.
- Sont temps-invariants : (1), (2), (6), (7), (8).
- Sont temps-variants : (3) à cause du facteur 'n', (4) à cause du facteur sin(πn/N), (5) à cause du facteur exp(n).
(Réponse originale : "Les systèmes (3) et (5)". Le système (4) est également temps-variant.)
- Systèmes stables : Un système est stable au sens BIBO (Bounded-Input Bounded-Output) si pour toute entrée bornée, la sortie est également bornée.
- Sont stables :
- (1) si |b| est fini et e est fini.
- (2) si |b| est fini et e est fini.
- (4) car |sin(πn/N)| ≤ 1.
- (6) si |b| est fini et e est fini.
- (7) la valeur absolue d'une entrée bornée est bornée.
- (8) si |a| est fini et b est fini.
- Ne sont pas stables :
- (3) car le gain 'n' peut devenir infini.
- (5) car le gain 'exp(n)' peut devenir infini.
(Réponse originale : "Les systèmes (1), (2), (4), (6) : e finie, b finie, N finie, a et b finies." Cette réponse est partielle et ne couvre pas tous les systèmes stables.)
- Sont stables :
Exercice 5
Analyse d'un SLI discret
Soit un SLI décrit par l'équation aux différences : y[n] - (1/2)y[n-1] + (1/4)y[n-2] = x[n].
- Déterminer la fonction de transfert du système.
- Étudier la stabilité et la causalité de ce système.
- Calculer sa réponse impulsionnelle.
- Calculer la réponse impulsionnelle de H(z) = z / (z² - z + 1/2).
Réponse
1. Fonction de transfert du premier système
En appliquant la Transformée en Z à l'équation aux différences, et en supposant des conditions initiales nulles :
Y(z) - (1/2)z⁻¹Y(z) + (1/4)z⁻²Y(z) = X(z)
Y(z) [1 - (1/2)z⁻¹ + (1/4)z⁻²] = X(z)
La fonction de transfert H(z) est :
H(z) = Y(z)/X(z) = 1 / (1 - (1/2)z⁻¹ + (1/4)z⁻²) = z² / (z² - (1/2)z + (1/4))
2. Stabilité et causalité du premier système
Les pôles du système sont les racines du dénominateur : z² - (1/2)z + (1/4) = 0.
Utilisons la formule quadratique : z = [ -(-1/2) ± √((-1/2)² - 4*1*(1/4)) ] / (2*1)
z = [ 1/2 ± √(1/4 - 1) ] / 2 = [ 1/2 ± √(-3/4) ] / 2 = [ 1/2 ± i√3/2 ] / 2
Les pôles sont p₁,₂ = 1/4 ± i√3/4.
Leur magnitude est |p| = √((1/4)² + (√3/4)²) = √(1/16 + 3/16) = √(4/16) = √(1/4) = 1/2.
Puisque |p| = 1/2 < 1, tous les pôles sont à l'intérieur du cercle unité. Le système est donc stable.
Étant donné que l'équation aux différences ne contient que des termes retardés (y[n-1], y[n-2]), le système est causal. Le domaine de convergence (ROC) pour un système causal est l'extérieur du pôle de plus grande magnitude, donc |z| > 1/2.
3. Réponse impulsionnelle du premier système
Pour trouver la réponse impulsionnelle h[n], nous devons décomposer H(z) = z² / (z² - (1/2)z + (1/4)) en éléments simples. Les pôles sont conjugués complexes p = (1/2)e^(iπ/3) et p* = (1/2)e^(-iπ/3). (1/4 + i√3/4 est 1/2 e^(iπ/3)). Non, p = 1/4 + i√3/4 = (1/2)e^(iπ/3). Donc l'angle est π/3.
Les pôles sont r = 1/2 et θ = ±π/3.
h[n] = 2 rⁿ cos(nθ + φ) u[n]. (Cette forme est pour H(z) avec un numérateur constant ou z)
Pour H(z) = z² / (z² - (1/2)z + (1/4)), il est plus simple de diviser par z et de considérer H(z)/z.
On peut utiliser la forme générale pour les pôles complexes conjugués r e^(±jθ) :
Si H(z) = (z A) / ((z - p)(z - p*)), alors h[n] = A * (r^(n-1)) * (1/sin(θ)) * sin(nθ) * u[n].
Ici, H(z) = z² / (z² - (1/2)z + (1/4)).
h[n] = (1/2)ⁿ [2 cos(nπ/3) - cos((n-1)π/3)] u[n] (forme directe ou par résidus).
Une autre forme de solution pour les pôles conjugués p, p* avec magnitude r et angle ±θ est C rⁿ cos(nθ + φ) u[n].
En utilisant la décomposition H(z) = 1 + (1/2)z⁻¹ / (1 - (1/2)z⁻¹ + (1/4)z⁻²), ce qui donne un Dirac puis une forme classique.
La réponse impulsionnelle est h[n] = [ (1/2)^(n-1) * (sin(nπ/3) / (√3/2)) ] u[n] pour n ≥ 1, et h[0] = 1.
h[n] = δ[n] + (1/√3) * (1/2)^(n-1) * sin(nπ/3) * u[n-1].
4. Réponse impulsionnelle de H(z) = z / (z² - z + 1/2)
Les pôles sont les racines de z² - z + 1/2 = 0 :
z = [ 1 ± √(1 - 4*1*(1/2)) ] / 2 = [ 1 ± √(1 - 2) ] / 2 = [ 1 ± i ] / 2
Les pôles sont p₁,₂ = 1/2 ± i/2.
Leur magnitude est |p| = √((1/2)² + (1/2)²) = √(1/4 + 1/4) = √(2/4) = √(1/2) = 1/√2 ≈ 0.707.
L'angle est θ = arctan( (1/2) / (1/2) ) = π/4 (ou -π/4).
Puisque |p| = 1/√2 < 1, ce système est stable.
Pour trouver la réponse impulsionnelle h[n], nous décomposons H(z)/z en éléments simples :
H(z)/z = 1 / ((z - (1/2 - i/2))(z - (1/2 + i/2)))
Après décomposition, on trouve la forme :
H(z) = [ i * z / (z - (1/2 - i/2)) ] - [ i * z / (z - (1/2 + i/2)) ]
La transformée en Z inverse d'un terme comme A * z / (z - p) est A * p^n u[n].
h[n] = [ i * (1/2 - i/2)ⁿ - i * (1/2 + i/2)ⁿ ] u[n]
En utilisant la forme polaire p = r e^(jθ) avec r = 1/√2 et θ = π/4 :
h[n] = i * (1/√2)ⁿ e^(-jnπ/4) u[n] - i * (1/√2)ⁿ e^(jnπ/4) u[n]
h[n] = (1/√2)ⁿ [ i (cos(-nπ/4) + i sin(-nπ/4)) - i (cos(nπ/4) + i sin(nπ/4)) ] u[n]
h[n] = (1/√2)ⁿ [ i cos(nπ/4) + sin(nπ/4) - i cos(nπ/4) + sin(nπ/4) ] u[n]
h[n] = (1/√2)ⁿ [ 2 sin(nπ/4) ] u[n]
ou h[n] = 2 * (1/√2)ⁿ sin(nπ/4) u[n].
Exercice 6
Calcul de la réponse y[n] d'un SLI
Soit un SLI décrit par l'équation aux différences : y[n] - (1/2)y[n-1] = x[n].
Avec x[n] = (1/2)ⁿ u[n] et la condition initiale y[-1]=0. Trouver la réponse y[n].
Réponse
Appliquons la Transformée en Z bilatérale à l'équation aux différences :
TZ{y[n]} - (1/2)TZ{y[n-1]} = TZ{x[n]}
Y(z) - (1/2) [z⁻¹Y(z) + y[-1]] = X(z)
En utilisant la condition initiale y[-1] = 0 :
Y(z) - (1/2)z⁻¹Y(z) = X(z)
Y(z) [1 - (1/2)z⁻¹] = X(z)
Y(z) = X(z) / (1 - (1/2)z⁻¹)
L'entrée x[n] = (1/2)ⁿ u[n] a pour Transformée en Z :
X(z) = z / (z - 1/2) pour |z| > 1/2.
Substituons X(z) dans l'expression de Y(z) :
Y(z) = [z / (z - 1/2)] / (1 - (1/2)z⁻¹) = [z / (z - 1/2)] / [(z - 1/2)/z]
Y(z) = z² / (z - 1/2)²
Pour trouver y[n], nous appliquons la Transformée en Z Inverse à Y(z). Une propriété connue est que TZ⁻¹{z/(z-a)²} = n aⁿ⁻¹ u[n].
Nous pouvons réécrire Y(z) = z / (z - 1/2) * z / (z - 1/2). L'inverse de Z{ (n+1)aⁿ u[n] } est z²/(z-a)².
Par conséquent, pour a = 1/2 :
y[n] = (n+1)(1/2)ⁿ u[n]
Exercice 7
Calcul des Transformées en Z Inverses (TZI)
Calculer les TZI des fonctions de transfert suivantes en précisant le domaine de convergence (ROC).
- H(z) = z / (z - 1/2) avec |z| > 1/2.
- H(z) = z / ((z - 1/2)(z - 1/3)) avec |z| > 1/2.
- H(z) = z / ((z - 1/2)(z - 1/3)) avec |z| < 1/3.
Réponse
1. H(z) = z / (z - 1/2) avec |z| > 1/2
Le ROC est |z| > 1/2, ce qui indique un système causal (séquence à droite).
La TZI directe est :
h[n] = (1/2)ⁿ u[n]
2. H(z) = z / ((z - 1/2)(z - 1/3)) avec |z| > 1/2
Le ROC est |z| > 1/2, ce qui indique un système causal (séquence à droite). Décomposons H(z)/z en éléments simples :
H(z)/z = 1 / ((z - 1/2)(z - 1/3)) = A / (z - 1/2) + B / (z - 1/3)
A = 1 / (1/2 - 1/3) = 1 / (1/6) = 6
B = 1 / (1/3 - 1/2) = 1 / (-1/6) = -6
Donc H(z) = 6z / (z - 1/2) - 6z / (z - 1/3).
La TZI est :
h[n] = 6(1/2)ⁿ u[n] - 6(1/3)ⁿ u[n]
3. H(z) = z / ((z - 1/2)(z - 1/3)) avec |z| < 1/3
Le ROC est |z| < 1/3, ce qui indique un système anti-causal (séquence à gauche). La décomposition en éléments simples est la même que précédemment :
H(z) = 6z / (z - 1/2) - 6z / (z - 1/3)
Pour un ROC de type |z| < |p|, la TZI de z/(z-p) est -pⁿ u[-n-1].
h[n] = -6(1/2)ⁿ u[-n-1] + 6(1/3)ⁿ u[-n-1]
h[n] = [6(1/3)ⁿ - 6(1/2)ⁿ] u[-n-1]
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'un système LTI ?
Un système LTI (Linéaire et Temps-Invariant) est un modèle mathématique qui combine deux propriétés fondamentales : la linéarité (la sortie est proportionnelle à l'entrée et obéit au principe de superposition) et l'invariance temporelle (les propriétés du système ne changent pas avec le temps, de sorte qu'un décalage de l'entrée n'entraîne qu'un décalage identique de la sortie).
Comment la stabilité d'un système discret est-elle déterminée ?
La stabilité d'un système discret LTI est généralement déterminée par la position de ses pôles dans le plan Z. Pour qu'un système causal soit stable (BIBO), tous ses pôles doivent être strictement à l'intérieur du cercle unité (c'est-à-dire que leur magnitude doit être inférieure à 1). Des critères comme le critère de Jury permettent de vérifier cette condition sans calculer directement les pôles.
Quelle est la différence entre un système causal et non-causal ?
Un système causal est un système dont la sortie à un instant donné ne dépend que des valeurs actuelles et passées de l'entrée. Il est "prédictif", car il ne nécessite pas de connaître les événements futurs. En revanche, un système non-causal dépend des valeurs futures de l'entrée. Les systèmes physiques réels sont généralement causaux, tandis que les systèmes non-causaux peuvent être utilisés en traitement du signal pour des analyses hors ligne (post-traitement).