Td 3 traitement du signal desa scti -Traitement de signal -
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Université Ibn Tofail, Année Universitaire, Faculté des Sciences de Kénitra, Département de Physique, DESA SCTI.
Travaux Dirigés : Correction de la série (Traitement du Signal).
Exercice 1
Échantillonnage et reconstruction
Dans cet exercice, nous explorons le processus d'échantillonnage et les propriétés des filtres de reconstruction. La fréquence d'échantillonnage, notée Fe, est l'inverse de la période d'échantillonnage Te (Fe = 1/Te).
a) Spectre du signal échantillonné
Le spectre du signal échantillonné, X(f), est une répétition du spectre du signal original Xd(f) décalé par des multiples de la fréquence d'échantillonnage Fe, et mis à l'échelle par 1/Te.
X(f) = (1/Te) ∑n Xd(f - nFe)
Dans ce contexte, Xd(f) est souvent représenté par une fonction porte : Xd(f) = rect(f/Fe).
b) Forme alternative du spectre
Une autre expression pour le spectre du signal échantillonné est :
X(f) = (1/Te) ∑n Xd(f - nFe)
où Xd(f) = rect(f/Fe) représente le spectre du signal dans la bande de base.
c) Intervalle principal et cas de la fréquence d'échantillonnage
Pour un signal idéalement échantillonné, l'intervalle principal de son spectre est déterminé par la fréquence d'échantillonnage. Cet intervalle est crucial pour éviter le repliement de spectre (aliasing).
- Pour le cas où la fréquence d'échantillonnage est Fe = 1/Te, l'intervalle principal est [-Fe/2, Fe/2]. C'est l'intervalle de Nyquist.
d) Filtre d'interpolation cardinal (idéal)
Le filtre cardinal (ou filtre de sinc idéal) est utilisé pour la reconstruction parfaite d'un signal échantillonné. Sa réponse impulsionnelle est donnée par h(t) = Fe ⋅ sinc(Fe ⋅ t).
La reconstruction du signal continu y(t) à partir de ses échantillons x(nTe) est alors :
y(t) = x(t) * h(t) = ∑n x(nTe) ⋅ sinc(Fe ⋅ (t - nTe))
C'est une opération d'interpolation. Cependant, ce filtre est irréalisable en pratique car sa réponse impulsionnelle h(t) est non nulle pour t < 0 (non-causalité) et a une durée infinie.
Dans le cas où le signal est une sinusoïde pure, après reconstruction, on obtient respectivement en sortie :
- y(t) = A cos(2πf0t)
e) Cas de plusieurs composantes sinusoïdales
Si le signal original contient plusieurs composantes sinusoïdales, la sortie après reconstruction idéale serait :
y(t) = A cos(2πf0t) + B cos(2πf1t)
Exercice 2
Fréquences de Nyquist
La fréquence de Nyquist (fNyquist = Fe/2) est la moitié de la fréquence d'échantillonnage. Le théorème de Nyquist-Shannon stipule que pour éviter le repliement de spectre, la fréquence d'échantillonnage Fe doit être au moins le double de la fréquence maximale (fmax) présente dans le signal original (Fe ≥ 2 ⋅ fmax).
a) Détermination de la fréquence d'échantillonnage
Soit le signal x(t) = cos(πt) ⋅ cos(3πt).
En utilisant la propriété trigonométrique cos(A)cos(B) = (1/2)[cos(A-B) + cos(A+B)], on obtient :
x(t) = (1/2) ⋅ [cos(3πt - πt) + cos(3πt + πt)]
x(t) = (1/2) ⋅ [cos(2πt) + cos(4πt)]
Les fréquences angulaires sont 2π rad/s et 4π rad/s, ce qui correspond à des fréquences f1 = 1 Hz et f2 = 2 Hz.
La fréquence maximale (fmax) du signal x(t) est donc 2 Hz.
Pour respecter le théorème de Nyquist-Shannon, la fréquence d'échantillonnage doit être Fe ≥ 2 ⋅ fmax = 2 ⋅ 2 Hz = 4 Hz.
b) Signal à spectre non borné
Pour le signal x(t) = t ⋅ sin(πt), le spectre n'est pas borné. Il n'est donc pas possible de définir une fréquence de Nyquist unique et finie pour ce type de signal, rendant son échantillonnage sans perte d'information impossible avec un Fe fini.
Exercice 3
Transformée de Fourier et propriétés
Cet exercice explore diverses formes de transformées de Fourier (TF) et leurs propriétés.
a) Transformée de Fourier de fonctions simples
Le signal X(f) = π ⋅ δ(f) représente le spectre d'une constante ou d'un signal continu à fréquence nulle.
Le signal X(f) = rect(f/Fe) représente le spectre d'une fonction sinc(Fe ⋅ t) dans le domaine temporel. Pour Fe = 1 Hz, le spectre est une fonction porte centrée à l'origine avec une largeur de 1 Hz.
b) Transformée de Fourier d'une exponentielle complexe
X(f) = exp(j ⋅ 2πf) est le spectre d'un Dirac décalé dans le domaine temporel, soit δ(t + 1).
c) Transformée de Fourier Discrète (TFD)
La représentation du spectre d'un signal discret X(f) peut être exprimée sous forme de série de Fourier ou de Transformée de Fourier Discrète (TFD) pour un signal périodique ou à durée finie :
X(f) = ∑n an ⋅ exp(j ⋅ 2πnf/N)
où an sont les coefficients de la série de Fourier et N est le nombre de points.
d) Coefficients de la TFD et fonction sinc
Les coefficients de la TFD peuvent être liés à des fonctions sinc, notamment lorsque le signal échantillonné est une fonction porte. Par exemple, une expression courante est X(f) = sinc(πf1)/(πf1).
Le Pr. BAKRIM M'HAMED est l'auteur de ces documents.
e) Combinaison de fonctions dans le domaine fréquentiel
X(f) = exp(j ⋅ πf) ⋅ cos(πf) est une autre forme spectrale.
f) Série de Fourier pour signaux réels
Pour un signal réel, la TFD XN(f) peut être exprimée en termes de composantes cosinus et sinus réelles :
XN(f) = A0 + ∑n=1N-1 [An ⋅ cos(2πnf/N) - Bn ⋅ sin(2πnf/N)]
L'argument de XN(f) est donné par :
arg(XN(f)) = arctan(-Bn / An)
g) Théorème de Shannon et intervalle principal
Le théorème de Shannon est satisfait lorsque la fréquence d'échantillonnage Fe est supérieure à deux fois la fréquence maximale du signal (Fe > 2 ⋅ fmax).
Si Te ⋅ Fe = 1 (ce qui est toujours vrai par définition), alors le spectre d'un signal échantillonné X(f) est une version mise à l'échelle du spectre original Xd(f) : X(f) = Xd(f ⋅ Te) = Xd(f / Fe).
Sur l'intervalle principal [-Fe/2, Fe/2], si le signal original est bien reconstruit, on peut avoir des relations comme sinc(πf ⋅ Te) ⋅ rect(f/Fe) = rect(f/Fe), indiquant que le spectre dans l'intervalle de Nyquist est bien conservé.
Les concepts de convolution et de propriété de décalage sont fondamentaux dans la théorie de la Transformée de Fourier et sont utilisés pour analyser la réponse des systèmes.
La fonction sinc(πf)/(πf) est une forme canonique de la fonction sinus cardinal.
Exercice 4
Analyse spectrale et phénomène de "Leakage"
Cet exercice aborde les défis de l'analyse spectrale discrète.
a) Spectre d'une fonction sinc
Une fonction sinc mise à l'échelle peut être exprimée comme :
X(f) = sin(πf / (Fe/2)) / (πf / (Fe/2))
Le spectre discret XN(f) est une sommation de fonctions sinc pondérées, souvent rencontrée dans les calculs de Transformée de Fourier Discrète (TFD) ou de transformée de Fourier rapide (FFT) :
XN(f) = (1/N) ⋅ ∑k [sin(πk/N) / (πk/N) ⋅ exp(j ⋅ 2πkf/N)]
b) Détection des raies de fréquence
Pour une estimation précise de la fréquence d'un signal, il est idéal que la fréquence du signal (f) corresponde exactement à l'une des fréquences discrètes (bins) de la TFD, calculées comme k ⋅ Fe/N. Dans ce cas, le spectre XN(f) aura une raie bien définie et non nulle à cette fréquence, permettant de la cerner avec exactitude.
c) Phénomène de "Leakage" (fuite spectrale)
Si la fréquence du signal (f) n'est pas un multiple exact de la résolution fréquentielle (Fe/N), alors l'énergie du signal se disperse sur plusieurs raies adjacentes dans le spectre calculé par TFD. Ce phénomène est appelé "leakage" ou fuite spectrale.
Dans ce cas, XN(f) prend des valeurs non nulles sur des fréquences encadrant la fréquence réelle f, comme n ⋅ Fe/N et (n+1) ⋅ Fe/N. Pour minimiser ce phénomène et mieux estimer la fréquence f, il est nécessaire de choisir un nombre de points N très grand, ce qui augmente la résolution fréquentielle (Fe/N).
d) Résolution fréquentielle
La résolution fréquentielle (Δf) d'une TFD est donnée par :
Δf = Fe / N Hz
Plus N est grand, plus la résolution est fine.
Exercice 5
Représentation de signaux échantillonnés
Cet exercice explore différentes représentations des signaux échantillonnés.
a) Signal échantillonné à partir d'une fonction porte
Soit un signal continu x(t) = rect(t/Te) qui est échantillonné. L'échantillonnage idéal est représenté par la multiplication avec un peigne de Dirac (sumn δ(t - nTe)).
Le spectre du signal original, Xd(f), pour x(t) = rect(t/Te) est Xd(f) = Te ⋅ sinc(f ⋅ Te).
Le spectre du signal échantillonné X(f) est alors :
X(f) = ∑k [Xd(f - kFe)] / Te
X(f) = (1/Te) ⋅ ∑k [Te ⋅ sinc((f - kFe) ⋅ Te)]
X(f) = ∑k sinc((f - kFe) ⋅ Te)
Le document donne une forme légèrement différente : Xd(f) = sinc(f ⋅ Te) ⋅ Fe et X(f) = sinc(f ⋅ Te) ⋅ Fe ⋅ ∑k δ(f - kFe). Cette notation suggère une interprétation où Xd(f) est une composante spectrale et X(f) est son enveloppe échantillonnée dans le domaine fréquentiel.
b) Reconstruction par des impulsions rectangulaires
Une autre forme de reconstruction ou de modélisation d'un signal échantillonné utilise des impulsions rectangulaires centrées sur chaque échantillon :
x(t) = ∑n x(nTe) ⋅ rect((t - nTe)/Te)
Si le spectre du signal d'origine est Xd(f) = sinc(f ⋅ Te), alors le spectre du signal échantillonné X(f) peut être représenté comme :
X(f) = sinc(f ⋅ Te) ⋅ ∑k X(kFe) ⋅ δ(f - kFe)
Cette formule décrit le spectre comme la modulation d'une fonction sinc par des Dirac aux fréquences échantillonnées, chacune pondérée par la valeur du spectre original à cette fréquence.
c) Spectre d'un peigne de Dirac
Le spectre d'un peigne de Dirac dans le domaine temporel est aussi un peigne de Dirac dans le domaine fréquentiel, mais mis à l'échelle :
X(f) = (1/Te) ⋅ ∑n δ(f - n/Te)
Ou, de manière équivalente, avec Fe = 1/Te :
X(f) = (1/Te) ⋅ ∑n δ(f - nFe)
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'un filtre d'interpolation cardinal idéal et pourquoi est-il irréalisable ?
Le filtre d'interpolation cardinal idéal est un filtre dont la réponse impulsionnelle est une fonction sinc (sinus cardinal). Il est théoriquement capable de reconstruire parfaitement un signal continu à partir de ses échantillons si les conditions du théorème de Shannon sont respectées. Cependant, il est irréalisable en pratique car il est non-causal (sa réponse commence avant l'instant t=0) et sa durée est infinie, ce qui le rend impossible à construire physiquement.
Qu'est-ce que le phénomène de "leakage" (fuite spectrale) en traitement du signal ?
Le "leakage" est un phénomène observé lors de l'analyse spectrale (par exemple avec une TFD/FFT) lorsque les fréquences des composantes d'un signal ne correspondent pas exactement aux fréquences discrètes (bins) de la transformée. Au lieu d'apparaître comme une raie unique et nette, l'énergie de ces fréquences se "répand" sur les bins adjacents, rendant difficile l'identification précise des fréquences réelles et de leur amplitude. Pour réduire le leakage, on utilise souvent des fenêtres d'analyse et un nombre d'échantillons (N) plus élevé.
Quelle est l'importance du théorème de Shannon dans l'échantillonnage ?
Le théorème de Nyquist-Shannon est fondamental en traitement du signal. Il établit la condition minimale de fréquence d'échantillonnage (Fe) nécessaire pour pouvoir reconstruire un signal analogique sans perte d'information à partir de ses échantillons. Il stipule que Fe doit être au moins le double de la fréquence maximale (fmax) du signal original (Fe ≥ 2 ⋅ fmax). Si cette condition n'est pas respectée, un phénomène de "repliement de spectre" (aliasing) se produit, où les fréquences élevées du signal original sont incorrectement interprétées comme des fréquences plus basses.
Pr. BAKRIM M'HAMED