Exercices traitement du signal université ibn tofail -Traite
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Faculté des Sciences de Kénitra - Département de Physique
DESA SCTI – Travaux Dirigés N°1 avec correction : Traitement du Signal
Exercice 1
a) Calculer la Transformée de Laplace (TL) de x(t) = exp(a.t) u(t) et donner sa bande de convergence (Bc).
b) Peut-on calculer X(jω) à partir de X(s) ?
Correction
a) X(s) = TL[x(t)] = ∫₀∞ x(t) exp(-s.t) dt = ∫₀∞ exp(a.t) exp(-s.t) dt = ∫₀∞ exp(-(s-a)t) dt.
Avec s = σ + jω,
∫₀∞ exp(-(s-a)t) dt = 1 / (s-a) pour Re(s) > a.
Donc X(s) = 1 / (s-a) avec Bc = {s ∈ C | Re(s) > a}.
b) X(jω) = X(s) pour s = jω. X(jω) existe pour Re(s) = 0. Donc, on peut tirer X(jω) à partir de X(s) si 0 est inclus dans la bande de convergence. Dans notre cas, il faut que Re(s) > a, donc 0 > a pour que X(jω) existe. Si a < 0, alors X(jω) = 1 / (jω-a).
Exercice 2
En utilisant la transformation de Laplace, déterminer la fonction de transfert H(s) et la réponse y(t) du système continu linéaire invariant régi par l'équation différentielle suivante :
y''(t) + 3y'(t) + 2y(t) = u(t), t ≥ 0
avec u(t) = exp(t) et les conditions initiales y(0) = 0, y'(0) = 0.
Correction
On calcule les TL des membres de l'équation. On utilisera les propriétés de la TL de la dérivée et la linéarité.
TL[y''(t)] = s² Y(s) - s y(0) - y'(0)
TL[y'(t)] = s Y(s) - y(0)
TL[y(t)] = Y(s)
TL[u(t)] = 1 / (s-1)
Donc : s² Y(s) - s y(0) - y'(0) + 3(s Y(s) - y(0)) + 2Y(s) = 1 / (s-1)
D'où, avec les conditions initiales nulles (y(0) = 0, y'(0) = 0) :
s² Y(s) + 3s Y(s) + 2Y(s) = 1 / (s-1)
Y(s) (s² + 3s + 2) = 1 / (s-1)
Y(s) = 1 / [(s-1)(s² + 3s + 2)] = 1 / [(s-1)(s+1)(s+2)]
On en déduit que H(s) = 1 / (s² + 3s + 2) = 1 / [(s+1)(s+2)] car Y(s) = H(s) U(s) quand les conditions initiales sont nulles.
Puisque U(s) = 1 / (s-1), alors Y(s) = 1 / [(s-1)(s+1)(s+2)].
La réponse y(t) = TL⁻¹[Y(s)]. Décomposition en éléments simples :
Y(s) = A/(s-1) + B/(s+1) + C/(s+2)
En résolvant, on trouve : A = 1/6, B = -1/2, C = 1/3.
Y(s) = (1/6) / (s-1) - (1/2) / (s+1) + (1/3) / (s+2)
En utilisant la table des TL et la propriété de linéarité, on trouve :
y(t) = (1/6)exp(t) - (1/2)exp(-t) + (1/3)exp(-2t), pour t ≥ 0.
Exercice 3
Calculer les TZ des signaux suivants en précisant leurs domaines de convergence (DC).
a) x[n] = δ[n] => X(z) = Σₙ₌₋∞⁺∞ δ[n] z⁻ⁿ = 1.
DC = C (ensemble complexe).
b) x[n] = δ[n-n₀] => X(z) = Σₙ₌₋∞⁺∞ δ[n-n₀] z⁻ⁿ = z⁻ⁿ₀.
DC = C (pour n₀ > 0), DC = C\{0} (pour n₀ < 0), DC = C (pour n₀ = 0).
c) x[n] = u[n] => X(z) = Σₙ₌₀⁺∞ 1 . z⁻ⁿ = 1 / (1-z⁻¹) = z / (z-1) si |z⁻¹| < 1, c'est-à-dire |z| > 1.
DC = {z ∈ C | |z| > 1}.
d) x[n] = aⁿ u[n] => X(z) = Σₙ₌₀⁺∞ aⁿ z⁻ⁿ = Σₙ₌₀⁺∞ (a z⁻¹)ⁿ = 1 / (1 - a z⁻¹) = z / (z-a) si |a z⁻¹| < 1, c'est-à-dire |z| > |a|.
DC = {z ∈ C | |z| > |a|}.
e) x[n] = -aⁿ u[-n-1] => X(z) = Σₙ₌₋∞⁻¹ -aⁿ z⁻ⁿ = -Σₖ₌₁⁺∞ a⁻ᵏ zᵏ (où k = -n).
= - [ (a⁻¹z) / (1 - a⁻¹z) ] = - [ z / (a-z) ] = z / (z-a) si |a⁻¹z| < 1, c'est-à-dire |z| < |a|.
DC = {z ∈ C | |z| < |a|}.
f) x[n] = aⁿ pour n ∈ Z => X(z) = Xₐ(z) + Xₑ(z) (combinaison des cas d et e).
X(z) = z / (z-a) + z / (z-a) = 2z / (z-a). Ce n'existe pas car pour que le premier terme converge, il faut |z| > |a|. Par contre, le second converge si |z| < |a|. La convergence n'est pas possible pour les deux simultanément. Il y a une erreur dans le texte original car x[n] = aⁿ pour n ∈ Z est simplement x[n] = aⁿ u[n] + aⁿ u[-n-1] et sa TZ est Z/(Z-a) si |Z|>|a| et Z/(Z-a) si |Z|<|a|. Il ne peut pas converger sur l'anneau entier si a!=0. Si a=0, alors x[n] = δ[n] et X(z)=1.
g) x[n] = aⁿ cos(ω₀n) u[n] => On pose y[n] = aⁿ exp(jω₀n) u[n]. Donc x[n] = Re{y[n]}.
Y(z) = X[z exp(-jω₀)] = z / [z - a exp(jω₀)] si |z| > |a|. (Correction: X(z) = z/(z - a*exp(jω₀)) for y[n])
X(z) = ½ [ z / (z - a exp(jω₀)) + z / (z - a exp(-jω₀)) ]
= ½ z [ (z - a exp(-jω₀) + z - a exp(jω₀)) / ((z - a exp(jω₀))(z - a exp(-jω₀))) ]
= ½ z [ (2z - a(exp(jω₀) + exp(-jω₀))) / (z² - a z exp(-jω₀) - a z exp(jω₀) + a² ) ]
= ½ z [ (2z - 2a cos(ω₀)) / (z² - 2az cos(ω₀) + a² ) ]
= z (z - a cos(ω₀)) / (z² - 2az cos(ω₀) + a²).
Avec aussi DC = {z ∈ C | |z| > |a|}.
Exercice 4
Soit un système numérique LTI régi par l'équation aux différences finies suivante :
y[n] - (3/4)y[n-1] + (1/8)y[n-2] = x[n] - x[n-1], pour n ≥ 0.
avec les conditions initiales y[-1] = 0, y[-2] = 0, x[-1] = 0.
a) En utilisant la TZ, trouver l'expression de Y(z).
b) En déduire la fonction de transfert de ce système. Est-il stable ? Donner la condition de causalité dans le domaine z.
c) Donner l'expression de la réponse fréquentielle.
d) Calculer la réponse impulsionnelle et vérifier les théorèmes des valeurs finale et initiale.
e) Dans le cas causal, trouver les réponses libre, forcée et globale du système.
f) Ce système est-il à réponse impulsionnelle finie (FIR) ou infinie (IIR) ? Donner le schéma de sa réalisation directe et canonique.
Correction
a) On calcule les TZ des membres de l'équation. On utilisera les propriétés de la TZ du signal retardé et la linéarité.
TZ[y[n]] = Y(z)
TZ[y[n-1]] = z⁻¹ Y(z) + y[-1]
TZ[y[n-2]] = z⁻² Y(z) + z⁻¹ y[-1] + y[-2]
TZ[x[n]] = X(z)
TZ[x[n-1]] = z⁻¹ X(z) + x[-1]
Donc, avec les conditions initiales nulles :
Y(z) - (3/4)(z⁻¹ Y(z) + y[-1]) + (1/8)(z⁻² Y(z) + z⁻¹ y[-1] + y[-2]) = X(z) - (z⁻¹ X(z) + x[-1])
D'où : Y(z) (1 - (3/4)z⁻¹ + (1/8)z⁻²) = X(z) (1 - z⁻¹)
Y(z) = X(z) (1 - z⁻¹) / (1 - (3/4)z⁻¹ + (1/8)z⁻²)
Y(z) = Y_f(z) (TZ de la réponse forcée) + Y_l(z) (TZ de la réponse libre)
b) Fonction de transfert H(z) :
H(z) = Y(z) / X(z) quand les conditions initiales sont nulles.
H(z) = (1 - z⁻¹) / (1 - (3/4)z⁻¹ + (1/8)z⁻²)
H(z) = (z(z-1)) / (z² - (3/4)z + 1/8)
Stabilité : Les pôles sont les racines du dénominateur : z² - (3/4)z + 1/8 = 0.
z₁ = 1/2 et z₂ = 1/4.
Puisque |z₁| = 1/2 < 1 et |z₂| = 1/4 < 1, le système est stable.
Causalité : Vu que les pôles ne doivent pas être inclus dans le domaine de convergence, on a alors 3 domaines possibles pour la même fonction H(z).
Cas causal : |z| > sup(|z₁|, |z₂|) = 1/2.
Cas anticausal : |z| < inf(|z₁|, |z₂|) = 1/4.
Cas non causal : 1/4 < |z| < 1/2.
c) Réponse fréquentielle : H(jω) = H(z) |_(z = exp(jω))
H(exp(jω)) = (1 - exp(-jω)) / (1 - (3/4)exp(-jω) + (1/8)exp(-2jω))
Le gain |H(jω)| et la phase Φ(jω) peuvent être calculés à partir de cette expression.
d) Réponse impulsionnelle h[n] : on décompose H(z) en éléments simples.
H(z) = (z(z-1)) / ((z - 1/2)(z - 1/4))
H(z)/z = (z-1) / ((z - 1/2)(z - 1/4)) = A / (z - 1/2) + B / (z - 1/4)
En résolvant, on trouve A = 2 et B = -1.
H(z)/z = 2 / (z - 1/2) - 1 / (z - 1/4)
H(z) = 2z / (z - 1/2) - z / (z - 1/4)
D'après la table des TZ et propriétés de linéarité (pour un système causal), on trouve :
h[n] = (2 (1/2)ⁿ - (1/4)ⁿ) u[n].
Théorème de la valeur initiale : h[0] = lim(z→∞) H(z) = lim(z→∞) (1 - z⁻¹) / (1 - (3/4)z⁻¹ + (1/8)z⁻²) = 1/1 = 1.
Calcul direct : h[0] = 2 (1/2)⁰ - (1/4)⁰ = 2 - 1 = 1. Le théorème est vérifié.
Théorème de la valeur finale : lim(n→∞) h[n] = lim(z→1) (z-1)H(z)
lim(z→1) (z-1) * (z(z-1)) / ((z - 1/2)(z - 1/4)) = 0. Le théorème est vérifié car les pôles sont tous à l'intérieur du cercle unité.
e) Réponses libre, forcée et globale du système (cas causal) :
Y_l(z) (réponse libre) : Y_l(z) = (- (3/4)y[-1] + (1/8)z⁻¹y[-1] + (1/8)y[-2]) / (1 - (3/4)z⁻¹ + (1/8)z⁻²)
Avec y[-1]=0 et y[-2]=0, Y_l(z) = 0, donc y_l[n] = 0.
Y_f(z) (réponse forcée) : On a X(z) = z / (z-1) car x[n] = u[n].
Y_f(z) = H(z)X(z) = [ (z(z-1)) / ((z - 1/2)(z - 1/4)) ] * [ z / (z-1) ]
Y_f(z) = z² / ((z - 1/2)(z - 1/4))
Y_f(z)/z = z / ((z - 1/2)(z - 1/4)) = A / (z - 1/2) + B / (z - 1/4)
En résolvant, on trouve A = 2 et B = -1.
Y_f(z) = 2z / (z - 1/2) - z / (z - 1/4)
y_f[n] = (2 (1/2)ⁿ - (1/4)ⁿ) u[n].
La réponse globale est y[n] = y_f[n] + y_l[n] = (2 (1/2)ⁿ - (1/4)ⁿ) u[n].
f) Le système est à Réponse Impulsionnelle Infinie (IIR) car sa réponse impulsionnelle h[n] est de durée infinie (elle ne s'annule pas après un certain N). On le constate en posant x[n] = δ[n] dans l'équation aux différences finies, la sortie y[n] = h[n] sera calculée de manière indéfinie.
Schémas de réalisation
L'équation aux différences finies peut être réécrite de la façon suivante :
y[n] = (3/4)y[n-1] - (1/8)y[n-2] + x[n] - x[n-1]
Schéma de réalisation directe
La réalisation directe est basée sur la forme directe de l'équation aux différences. Elle utilise N retards pour le numérateur et N retards pour le dénominateur.
Schéma de réalisation canonique
La réalisation canonique minimise le nombre de mémoires (retards). Elle est obtenue en factorisant H(z) = Y(z)/X(z) = Y(z)/W(z) * W(z)/X(z).
H(z) = (1 - z⁻¹) / (1 - (3/4)z⁻¹ + (1/8)z⁻²)
On pose W(z) / X(z) = 1 / (1 - (3/4)z⁻¹ + (1/8)z⁻²), ce qui donne w[n] - (3/4)w[n-1] + (1/8)w[n-2] = x[n].
Et Y(z) / W(z) = 1 - z⁻¹, ce qui donne y[n] = w[n] - w[n-1].
On en déduit alors le schéma de réalisation suivante. On constate qu'on a moins de mémoires (2) au lieu de 4 dans le cas direct.
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'un système LTI ?
Un système LTI (Linéaire et Invariant dans le Temps) est un modèle mathématique utilisé en théorie des systèmes pour décrire le comportement de circuits électroniques, de systèmes de contrôle et d'autres processus dynamiques. Sa sortie pour une combinaison d'entrées est la même combinaison des sorties pour chaque entrée individuelle (linéarité), et son comportement ne change pas avec le temps (invariance temporelle).
Quelle est la différence entre la Transformée de Laplace et la Transformée en Z ?
La Transformée de Laplace est utilisée pour l'analyse des systèmes à temps continu, permettant de transformer des équations différentielles en équations algébriques dans le domaine fréquentiel (domaine s). La Transformée en Z est son équivalent pour les systèmes à temps discret, transformant les équations aux différences en équations algébriques dans le domaine fréquentiel (domaine z). Les deux facilitent l'étude de la stabilité, de la causalité et de la réponse des systèmes.
Pourquoi la bande de convergence est-elle importante pour une transformée ?
La bande de convergence (Bc) est l'ensemble des valeurs de s (pour la TL) ou de z (pour la TZ) pour lesquelles la transformée existe (est finie). Elle est cruciale car elle détermine les propriétés du signal ou du système. Par exemple, pour une TL, la position de la Bc par rapport à l'axe jω indique si le système est stable. Pour une TZ, la position de la Bc par rapport au cercle unité indique la stabilité et la causalité.