Td 1 rappels sur les signaux discrets -Traitement de signal
Télécharger PDFUniversité Mohammed Seddik BENYAHIA-JIJEL
Faculté des Sciences et de la Technologie
Département d'Électronique
Année Académique: 2018/2019
Master Électronique des Systèmes Embarqués (ESE)
Matière: Traitement Avancé du Signal (ESE03)
TD N° 1: Rappels sur les Signaux Discrets
Exercice 01: Énergie et Puissance de Signaux Discrets
Calculer l'énergie totale et la puissance totale pour chacun des signaux discrets suivants:
- a) x₁(n) = (1/2)n+3 u(n+3)
- b) x₂(n) = -4
- c) x₃(n) = (1/2)n, pour n ∈ {0, 2, 4, 6, 8} ; et x₃(n) = 0, sinon.
- d) x₄(n) = (α)n sin(nω₀) u(n)
Exercice 02: Convolution de Signaux Discrets
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Soient les signaux discrets x(n) et h(n) définis par:
- x(n) = 1/2 pour -2 ≤ n ≤ 1, et x(n) = 0 sinon.
- h(-1) = 2, h(0) = 3, h(1) = 1, et h(n) = 0 ailleurs.
Calculer graphiquement la convolution y(n) = x(n) * h(n).
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Soient x(n) = (1/2)n u(n) et h(n) = (1/2)n u(n-3).
Calculer directement la convolution suivante: y(n) = x(n) * h(n).
Exercice 03: Analyse d'une Séquence Discrète
Considérant la séquence discrète suivante: x(n) = (1/2)n u(-n)
- a) Trouver la valeur numérique de A = Σn=-∞+∞ x(n).
- b) Calculer la puissance de x(n), P = Σn=-∞+∞ |x(n)|².
- c) Si x(n) est l'entrée d'un système variant dans le temps défini par y(n)=nx(n), trouver la puissance du signal de sortie, c'est-à-dire évaluer la somme: Py = Σn=-∞+∞ y²(n).
On donne la somme suivante: Σn=0+∞ n an = a / (1-a)², pour |a| < 1.
Éléments de Solution et Notes (TD N° 1)
Ces éléments sont extraits des notes originales et peuvent nécessiter une interprétation pour une compréhension complète. Les calculs détaillés ne sont pas entièrement transcrits en raison de la complexité de l'OCR.
Exercice 01: Calcul de l'énergie et de la puissance
- a) Pour x₁(n) = (1/2)n+3 u(n+3): L'énergie est calculée en sommant de n=-3 à l'infini. Elle est finie, donc la puissance est nulle.
- b) Pour x₂(n) = -4: Le signal est constant. Son énergie est infinie, et sa puissance est calculée comme la moyenne du carré de l'amplitude, qui est finie.
- c) Pour x₃(n) = (1/2)n, pour n ∈ {0, 2, 4, 6, 8}: L'énergie est calculée sur les points spécifiés et est finie, ce qui implique une puissance nulle.
- d) Pour x₄(n) = (α)n sin(nω₀) u(n): La démarche générale pour l'énergie et la puissance est indiquée, souvent par des manipulations de séries géométriques pour les signaux causaux.
Exercice 02: Convolution
La convolution graphique y(n) = x(n) * h(n) est réalisée. Le support de y(n) s'étend de -3 (min(-2, -1)) à 2 (max(1, 1)). Des valeurs intermédiaires de y(n) sont mentionnées.
Pour x(n) = (1/2)n u(n) et h(n) = (1/2)n u(n-3): La convolution y(n) = Σm=-∞+∞ x(m)h(n-m) est calculée. La sommation débute lorsque n-m-3 ≥ 0 et m ≥ 0. L'expression finale pour y(n) est donnée pour n ≥ 3.
Exercice 03: Analyse de Séquence
Pour x(n) = (1/2)n u(-n):
- a) Calcul de A = Σ x(n): La somme est calculée de n=-∞ à 0. Après un changement de variable, elle est exprimée comme une série géométrique convergente.
- b) Calcul de la puissance P = Σ |x(n)|²: La somme des carrés des amplitudes est effectuée pour n ≤ 0.
- c) Calcul de la puissance Py pour y(n) = nx(n): Les calculs s'appuient sur la formule fournie pour la somme de n an.
TD N° 2: Analyse Spectrale des Signaux Discrets (DTFT + TFD)
Exercice 01: Transformée de Fourier Discrète à Temps Continu (DTFT)
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Calculer la Transformée de Fourier Discrète à Temps Continu (DTFT) du signal discret suivant:
x(n) = (1/4)n u(n+2)
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Trouver la DTFT inverse de:
X(ω) = cos²(ω)
Exercice 02: Réponse en Fréquence et Système LTI
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La réponse en fréquence d'un système H(ω) est donnée par H(ω) = H0 pour |ω| ≤ ωc et 0 sinon. Trouver sa réponse impulsionnelle discrète h(n) par la DTFT inverse.
(Note: L'expression exacte de H(ω) était peu claire dans le texte original, mais il s'agit d'une fonction de type porte en fréquence, conduisant à une réponse impulsionnelle de type sinc.)
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Considérons un système linéaire invariant dans le temps (LTI), caractérisé par l'équation de récurrence suivante:
y(n) = 1.3433y(n-1) - 0.9025y(n-2) + x(n) - 1.4142x(n-1) + x(n-2)
Calculer sa réponse en fréquence H(ω).
Exercice 03: Transformée de Fourier Discrète (TFD)
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Calculer la TFD sur N points du signal discret suivant:
x(n) = an-2 u(n-2), pour 0 ≤ n < N
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Si X(k) = TFD(x(n)), trouver la TFD sur N points du signal discret suivant:
y(n) = cos(2πk₀n/N) x(n)
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Soit la séquence discrète suivante: x(n) = 4 + 3δ(n) - 5δ(n-2)
Calculez la Transformée de Fourier Discrète (TFD) de x(n) sur N = 10 points.
Trouvez la séquence discrète y(n) qui a une Transformée de Fourier Discrète Y(k) = X(k) e-j2πk/N * 2, où X(k) est la TFD sur 10 points de x(n).
Exercice 04: TFD Inverse et Analyse Spectrale
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Trouver la TFD inverse sur 10 points de X(k) où:
X(k) = 8 pour k=0, X(k) = 4 pour k=3 et k=7, et X(k) = 0 sinon.
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On reçoit 256 échantillons d'un signal dont on calcule le module carré de sa FFT. Sachant que la fréquence d'échantillonnage était de 64 kHz, déterminer les fréquences des deux pics du module carré de la FFT.
(Le premier pic correspond au point d'indice 88).
Éléments de Solution et Notes (TD N° 2)
Ces éléments sont extraits des notes originales et peuvent nécessiter une interprétation pour une compréhension complète. Les calculs détaillés ne sont pas entièrement transcrits en raison de la complexité de l'OCR.
Exercice 01: DTFT
- 1) Pour x(n) = (1/4)n u(n+2): Le calcul de la DTFT implique de décaler la somme et d'utiliser la formule de la série géométrique pour obtenir X(ω).
- 2) Pour X(ω) = cos²(ω): L'application de l'identité trigonométrique cos²(ω) = (1 + cos(2ω))/2 est utilisée pour trouver la DTFT inverse, qui est une combinaison de fonctions delta de Dirac (impulsions unitaires).
Exercice 02: Réponse en Fréquence
- 1) Pour la DTFT inverse de H(ω): La fonction H(ω) est interprétée comme une fonction porte (rectangulaire) dans le domaine fréquentiel. Sa DTFT inverse est une fonction de type sinc.
- 2) Pour l'équation de récurrence y(n) = 1.3433y(n-1) - 0.9025y(n-2) + x(n) - 1.4142x(n-1) + x(n-2): La transformation en domaine fréquentiel (DTFT) est appliquée à l'équation pour obtenir la fonction de transfert H(ω) = Y(ω)/X(ω).
Exercice 03: TFD
- 1) Pour x(n) = an-2 u(n-2), pour 0 ≤ n < N: Le calcul de la TFD X(k) est effectué en sommant de n=2 à N-1.
- 2) Pour y(n) = cos(2πk₀n/N) x(n): La propriété de modulation de la TFD est utilisée, reliant Y(k) à des décalages de X(k) dans le domaine fréquentiel (Y(k) = ½[X(k-k₀) + X(k+k₀)]).
- 3) Pour x(n) = 4 + 3δ(n) - 5δ(n-2) et N=10: La TFD X(k) est calculée en utilisant la linéarité et la TFD des impulsions de Dirac. Pour Y(k) = X(k) e-j2πk/N * 2, la propriété de décalage temporel dans le domaine fréquentiel (multiplication par e-j2πkd/N) est appliquée pour trouver y(n) = x(n-2).
Exercice 04: TFD Inverse et Analyse Spectrale
- 1) Pour la TFD inverse de X(k): Le calcul direct de la TFD inverse est montré, impliquant une somme pondérée des valeurs de X(k).
- 2) Pour l'analyse spectrale d'un signal à 256 échantillons, fréquence d'échantillonnage 64 kHz, premier pic à l'indice 88: Les fréquences des pics sont déterminées en utilisant la relation entre l'indice k de la TFD et la fréquence réelle f (f = k * Fe / N). Le premier pic à l'indice 88 correspond à f = 88 * 64 kHz / 256 = 22 kHz. Le second pic est identifié par symétrie de la TFD.
FAQ: Questions Fréquentes sur le Traitement du Signal Discret
Qu'est-ce que l'énergie et la puissance d'un signal discret ?
L'énergie totale d'un signal discret x(n) est la somme de l'amplitude au carré de tous ses échantillons, E = Σn=-∞+∞ |x(n)|². Un signal est dit à énergie finie si E < ∞, auquel cas sa puissance moyenne est nulle. La puissance moyenne d'un signal discret est la moyenne de son énergie par unité de temps, P = limN→∞ (1/(2N+1)) Σn=-NN |x(n)|². Les signaux à puissance finie (P < ∞ et P > 0) ont généralement une énergie infinie.
Comment la convolution est-elle utilisée dans le traitement du signal discret ?
La convolution est une opération mathématique fondamentale qui décrit la manière dont la forme d'une fonction est modifiée par une autre. Dans le traitement du signal discret, la convolution y(n) = x(n) * h(n) représente la sortie d'un système linéaire invariant dans le temps (LTI) lorsque l'entrée est x(n) et la réponse impulsionnelle du système est h(n). Elle est calculée par la somme y(n) = Σm=-∞+∞ x(m)h(n-m). Elle est essentielle pour l'analyse des systèmes et le filtrage.
Quelle est la différence entre la DTFT et la TFD ?
La DTFT (Transformée de Fourier Discrète à Temps Continu) transforme un signal discret (défini sur les entiers) en une fonction continue de la fréquence (définie sur [-π, π] ou [0, 2π] radians/échantillon). Elle est utilisée pour l'analyse théorique du contenu spectral. La TFD (Transformée de Fourier Discrète), quant à elle, opère sur des séquences de longueur finie N et produit une séquence de fréquences discrètes de longueur N. C'est l'outil numérique le plus couramment utilisé pour l'analyse spectrale pratique des signaux échantillonnés et finis, souvent implémentée via l'algorithme de FFT (Fast Fourier Transform).