Td 1 généralités sur les signaux -Traitement de signal - Té
Télécharger PDFTraitement du signal - TD N° 1: Généralités sur les signaux
Ce premier TD aborde les concepts fondamentaux des signaux, y compris leur classification et leurs caractéristiques essentielles.
Exercice 1
Déterminer le type et les caractéristiques des signaux des figures 1 et 2.
2. Nommer et déterminer les expressions des signaux des figures 3 et 4 en précisant leurs caractéristiques.
3. Soit le signal x(t) représenté dans la figure suivante :
- Déterminer le nom et la classe de ce signal.
- Déterminer l'expression de x(t).
- Donner une deuxième écriture de x(t).
Exercice 2
Représenter les signaux suivants :
- δ(t+2), δ(t−3), 2δ(t−1)
- ε(t−1), 2ε(t+2)
- y(t) = ε(t−1) − 2ε(t+2)
- z(t) = r(t−1) − 2r(t−2) + r(t−3)
- w(t) = 3Rect(t) + Rect(t/2)
Où ε(t) est l'échelon unitaire et r(t) est la rampe unitaire. La fonction Rect(t) représente une fonction porte ou rectangle centrée en t=0 de largeur unité.
Traitement du signal - TD N° 2: Série et Transformée de Fourier
Ce TD explore les outils d'analyse fréquentielle des signaux, essentiels pour comprendre leur composition spectrale.
Exercice 1
On considère les deux signaux suivants :
x₁(t) = ε(t) − ε(t − 2)
x₂(t) = −r(t − 2) + 2r(t − 3) − r(t − 4)
- Donner la représentation graphique des deux signaux.
- Quelle est la nature des deux signaux ?
- Calculer l'énergie du signal x₁(t).
- En déduire la représentation graphique du signal x₁(t) + x₂(t).
Exercice 2
Soit la fonction rectangle, définie comme suit : Ψ(t) = 1 pour -1/2 ≤ t ≤ 1/2 et 0 ailleurs. Trouver sa transformée de Fourier.
Exercice 3
Soit le signal S(t) périodique de période T = 4s. Décomposer ce signal en série de Fourier.
Exercice 4
Trouver les coefficients de Fourier des signaux suivants :
- x(t) = cos(ω₀t) + sin²(ω₀t), avec ω₀ = 2π/T.
- P_T(t) = Σδ(t - nT), le peigne de Dirac de période T.
Traitement du signal - TD N° 3: Échantillonnage et Quantification
Ce TD se concentre sur les techniques de conversion des signaux analogiques en signaux numériques, incluant les principes d'échantillonnage et de quantification.
Exercice 1
On désire numériser un signal vocal dont l'amplitude est comprise entre -8 volts et +8 volts. Ce signal est préalablement filtré par un filtre passe-bas idéal de fréquence de coupure f_c = 10 kHz. La quantification est effectuée sur 8 bits.
- Proposer une valeur pour la fréquence d'échantillonnage (f_e), et représenter les échantillons prélevés sur le signal analogique.
- Quel est le volume du fichier correspondant à 5 secondes de ce signal ?
- Quel est le pas de quantification ?
- Donner les valeurs binaires des quatre premiers échantillons.
Exercice 2
Considérant un signal dont le spectre est représenté ci-dessous, déterminez la fréquence d'échantillonnage minimum pour qu'il n'y ait pas de recouvrement spectral (aliasing).
Admettant f_e = 16 kHz :
- Dessinez le spectre du signal échantillonné pour des fréquences comprises entre ±16 kHz.
- Que faut-il faire pour éviter le recouvrement spectral ?
- Dessinez le nouveau spectre; quel en est l'avantage ?
Exercice 3
Considérant le signal analogique X_a(t) = 2·cos(100πt) + 5·sin(250πt + π/6) − 4·cos(380πt) + 16·sin(600πt + π/4).
- Quelle valeur minimum faut-il choisir pour la fréquence d'échantillonnage (f_e) si l'on veut respecter le théorème d'échantillonnage (théorème de Nyquist-Shannon) ?
Exercice 4
Un signal analogique X_a(t) = Cos(2π·240t) + 3·Cos(2π·540t + π/6) est échantillonné à raison de 600 échantillons par seconde.
- Que vaut la fréquence de Nyquist ?
- Si elles existent, que valent les fréquences de repliement (aliasing) ?
Exercice 5
Considérant qu'un signal est échantillonné à 40 kHz et numérisé avec 16 bits, quelle est la durée d'enregistrement que l'on peut stocker dans 1 Mo (Mégaoctet) ?
Foire aux questions (FAQ) sur le traitement du signal
- Qu'est-ce que le théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon ?
- C'est un principe fondamental qui stipule qu'un signal analogique peut être parfaitement reconstruit à partir de ses échantillons si la fréquence d'échantillonnage (f_e) est au moins le double de la fréquence maximale contenue dans le signal (f_max). Autrement dit, f_e ≥ 2f_max.
- Qu'est-ce que le repliement spectral (aliasing) ?
- Le repliement spectral, ou aliasing, est un phénomène qui se produit lors de l'échantillonnage d'un signal lorsque la fréquence d'échantillonnage est inférieure à la fréquence de Nyquist (2f_max). Cela entraîne une distorsion du signal reconstruit, où les composantes de haute fréquence du signal original apparaissent comme des composantes de basse fréquence.
- Quelle est la différence entre une série de Fourier et une transformée de Fourier ?
- La série de Fourier est utilisée pour décomposer des signaux périodiques en une somme de sinusoïdes de fréquences discrètes et multiples de la fréquence fondamentale. La transformée de Fourier, quant à elle, est applicable aux signaux apériodiques et fournit un spectre de fréquences continu, révélant toutes les fréquences présentes dans le signal.