Td 533 analyse spectrale signaux et systèmes -Traitement de
Télécharger PDFTravaux Dirigés de Signaux et Systèmes – Partie Analyse Spectrale - EC 533 _TC - L3 SPI
Ces travaux dirigés explorent l'analyse spectrale des signaux, une composante essentielle de l'ingénierie des signaux et systèmes. Ils abordent les concepts fondamentaux tels que les caractéristiques spectrales et temporelles, les effets du repliement de spectre (aliasing) et du leakage (fuite spectrale) sur l'interprétation des spectres obtenus par Transformée de Fourier Discrète (TFD).
EXERCICE 1 : Caractéristiques Spectrales et Temporelles
Soit x(t) le signal dont le spectre est tracé ci-dessous avec F = 10 Hz. Un diagramme représentant ce spectre est généralement fourni pour l'analyse.
1. Analyse des propriétés du spectre
Répondez aux questions suivantes en vous basant sur les propriétés du spectre ci-dessus :
a. Pourquoi peut-on dire que le signal est périodique ? Quelle est la valeur de sa fréquence fondamentale Fo ?
b. Que vaut la valeur moyenne du signal ?
c. Que vaut la fréquence maximale du signal ?
2. Détermination des coefficients de la série de Fourier
Déterminez les valeurs des coefficients Cn de la décomposition en série de Fourier du signal.
3. Calcul de puissance et caractéristiques spectrales
Calculez la puissance du signal. Déterminez la dynamique Da et la finesse Df du signal. Quelle serait la fréquence de coupure nécessaire pour transmettre au moins 90 % de cette puissance ?
EXERCICE 2 : Effets du Repliement de Spectre (Aliasing)
Soit x(t) le signal dont le spectre est tracé ci-dessous. Un diagramme représentant ce spectre est généralement fourni pour l'analyse.
1. Analyse des propriétés du spectre
Répondez aux questions suivantes en vous basant sur les propriétés du spectre ci-dessus :
a. Pourquoi peut-on dire que le signal est périodique ? Quelle est la valeur de sa fréquence fondamentale Fo ?
b. Que vaut la valeur moyenne du signal ?
c. Que vaut la fréquence maximale du signal ?
d. Que vaut la puissance du signal ?
e. Donnez l’expression temporelle de ce signal.
2. Transformée de Fourier Discrète (TFD) et ses effets
On effectue une Transformée de Fourier Discrète (TFD) avec une durée d'observation Tobs = 1s. Tracez le spectre de la TFD, calculez sa puissance, donnez l'expression temporelle du signal résultant et commentez pour les fréquences d'échantillonnage suivantes :
a. fe = 15 Hz
b. fe = 10 Hz
c. fe = 7 Hz
EXERCICE 3 : Effets du Leakage (Fuite Spectrale) sur la Largeur d’un Pic
On considère un signal en cosinus de fréquence F0 = 16,75 Hz et d’amplitude A0 = 1. On effectue une Transformée de Fourier Discrète (TFD) sur ce signal, en utilisant les paramètres suivants : Fe = 128 Hz et N = 128.
1. Spectre du signal analogique et puissance
Tracez le spectre du signal analogique et calculez la puissance du signal.
2. Critique des paramètres de la TFD
a. Déterminez la valeur du pas de calcul Δf de la TFD et celle de la durée d’observation Tobs.
b. Critiquez le choix de ces paramètres par rapport à la possibilité de provoquer du repliement de spectre (aliasing) et/ou du leakage (fuite spectrale).
c. Quelle(s) autre(s) valeur(s) pourrait-on choisir pour la TFD de ce signal afin d’éviter ces défauts ?
3. Analyse des résultats de la TFD
Les résultats de la TFD sont généralement fournis pour analyse. Les valeurs des échantillons Xk ont été normalisées pour correspondre directement à l’image du module des coefficients Cn de la décomposition en série de Fourier des signaux périodiques. On note Pk la valeur de la puissance associée à une raie de TFD, également notée DSPk. On rappelle que Xk dB = 10 Log10(Xk) et que Pk = DSPk = (Xk)².
a. À l’aide d'un graphique zoomant sur la partie correspondant au pic du spectre d’amplitude, et à l’aide de la liste des valeurs des échantillons de la TFD, déterminez la fréquence et l’amplitude du maximum de ce pic.
b. Comparez ces résultats à ceux de la question précédente (3.a).
4. Analyse du spectre de Densité Spectrale de Puissance (DSP)
On s’intéresse maintenant au spectre de Densité Spectrale de Puissance (DSP), c'est-à-dire au carré du spectre de module.
a. Relevez l’amplitude de l’échantillon précédent et de l’échantillon suivant de P17. Commentez ces valeurs et donnez une explication à leur différence.
b. Déterminez la largeur à 3 dB du pic de la DSP. On note L3dB cette largeur.
Informations du signal : F0 = 16,75 Hz - A = 1,000
Paramètres de la TFD : Fe = 128 Hz - N = 128
Valeurs des premiers échantillons Xk :
X(0) = 5.054e-003 = -22.96 dB
X(1) = 5.124e-003 = -22.90 dB
X(2) = 5.332e-003 = -22.73 dB
X(3) = 5.681e-003 = -22.46 dB
X(4) = 6.174e-003 = -22.09 dB
X(5) = 6.822e-003 = -21.66 dB
X(6) = 7.645e-003 = -21.17 dB
X(7) = 8.677e-003 = -20.62 dB
X(8) = 9.975e-003 = -20.01 dB
X(9) = 1.163e-002 = -19.35 dB
X(10) = 1.378e-002 = -18.61 dB
X(11) = 1.669e-002 = -17.77 dB
X(12) = 2.083e-002 = -16.81 dB
X(13) = 2.717e-002 = -15.66 dB
X(14) = 3.810e-002 = -14.19 dB
X(15) = 6.151e-002 = -12.11 dB
X(16) = 1.473e-001 = -8.32 dB
X(17) = 4.529e-001 = -3.44 dB
X(18) = 9.277e-002 = -10.33 dB
X(19) = 5.273e-002 = -12.78 dB
X(20) = 3.732e-002 = -14.28 dB
X(21) = 2.915e-002 = -15.35 dB
X(22) = 2.409e-002 = -16.18 dB
X(23) = 2.065e-002 = -16.85 dB
X(24) = 1.815e-002 = -17.41 dB
X(25) = 1.625e-002 = -17.89 dB
X(26) = 1.477e-002 = -18.31 dB
X(27) = 1.357e-002 = -18.67 dB
X(N/2) = 5.609e-003 = -22.51 dB
PUISSANCE : 5.039e-001 W
EXERCICE 4 : Effets du Leakage (Fuite Spectrale) sur la Séparation des Pics
Soit le signal : x(t) = A1 cos(2πF1t) + A2 cos(2πF2t) avec A1 = 1, F1 = 10,5 Hz, F2 = 12,5 Hz et A2 = 0,1.
1. Étude de la DSP résultant de la TFD
a. Commentez l’allure du spectre de DSP (Densité Spectrale de Puissance) obtenu par TFD : en présence de quel défaut sommes-nous ?
b. Confirmez la réponse en étudiant les paramètres choisis pour effectuer la TFD.
2. Étude du graphique de zoom de la DSP
a. Combien de pics contient-il ? Déterminez la position et la valeur de DSP du maximum de chacun de ces pics. Déduisez-en la valeur des modules Xk correspondants, en décibels et en valeur absolue. On estime que ces raies correspondent aux composantes fréquentielles du signal.
b. Déduisez-en l’expression du signal temporel associé à cette TFD et comparez-la avec le signal analogique.
3. Critère de séparation des raies de DSP
On dit que deux raies de DSP sont « séparées » si l’on peut trouver entre la position de ces raies au moins un échantillon de DSP dont la valeur est inférieure de 3 dB au maximum le plus faible.
a. Qu’en est-il pour les pics de la DSP étudiée ?
b. Quelle est l’expression du signal analogique résultant de cette étude ? Comparez-la au résultat précédent (2.b).
Informations du signal : F1 = 10,5 Hz - F2 = 12,5 Hz - A1 = 1,000 - A2 = 0,100
Paramètres de la TFD : Fe = 256 Hz - N = 256
Valeurs des premiers échantillons de la DSP :
DSP(0) = 1.068e-003 = -29.72 dB
DSP(1) = 1.087e-003 = -29.64 dB
DSP(2) = 1.148e-003 = -29.40 dB
DSP(3) = 1.262e-003 = -28.99 dB
DSP(4) = 1.452e-003 = -28.38 dB
DSP(5) = 1.768e-003 = -27.52 dB
DSP(6) = 2.317e-003 = -26.35 dB
DSP(7) = 3.374e-003 = -24.72 dB
DSP(8) = 5.835e-003 = -22.34 dB
DSP(9) = 1.425e-002 = -18.46 dB
DSP(10) = 1.109e-001 = -9.55 dB
DSP(11) = 8.989e-002 = -10.46 dB
DSP(12) = 4.454e-003 = -23.51 dB
DSP(13) = 7.794e-003 = -21.08 dB
DSP(14) = 2.418e-003 = -26.17 dB
DSP(15) = 1.232e-003 = -29.09 dB
DSP(16) = 7.349e-004 = -31.34 dB
DSP(17) = 4.789e-004 = -33.20 dB
DSP(18) = 3.312e-004 = -34.80 dB
DSP(19) = 2.391e-004 = -36.21 dB
DSP(20) = 1.784e-004 = -37.49 dB
DSP(21) = 1.367e-004 = -38.64 dB
DSP(22) = 1.071e-004 = -39.70 dB
DSP(23) = 8.538e-005 = -40.69 dB
DSP(24) = 6.914e-005 = -41.60 dB
DSP(25) = 5.675e-005 = -42.46 dB
DSP(26) = 4.713e-005 = -43.27 dB
DSP(27) = 3.955e-005 = -44.03 dB
DSP(N/2) = 3.210e-007 = -64.94 dB
PUISSANCE : 5.050e-001 W
Foire Aux Questions (FAQ) sur l'Analyse Spectrale
Qu'est-ce que l'analyse spectrale et à quoi sert-elle ?
L'analyse spectrale est une méthode qui permet de décomposer un signal en ses différentes composantes fréquentielles. Elle est fondamentale pour comprendre le contenu en fréquences d'un signal, identifier des motifs cachés, et analyser le comportement de systèmes. Elle est utilisée dans de nombreux domaines comme le traitement du son, les télécommunications, la médecine (analyse d'EEG/ECG) et la sismologie.
Quels sont les principaux défauts ou artefacts lors de l'utilisation de la Transformée de Fourier Discrète (TFD) ?
Lors de l'utilisation de la TFD, deux défauts majeurs peuvent apparaître : le repliement de spectre (aliasing) et le leakage (fuite spectrale). L'aliasing se produit lorsque la fréquence d'échantillonnage est insuffisante par rapport à la fréquence maximale du signal, entraînant une superposition des spectres. Le leakage, quant à lui, est dû à l'observation d'un signal sur une durée finie, non entière par rapport à ses périodes, ce qui étale l'énergie des fréquences sur plusieurs raies adjacentes.
Comment la fréquence d'échantillonnage (Fe) et la durée d'observation (Tobs) influencent-elles le spectre obtenu par TFD ?
La fréquence d'échantillonnage (Fe) doit être au moins le double de la fréquence maximale du signal (critère de Nyquist-Shannon) pour éviter le repliement de spectre. La durée d'observation (Tobs) affecte la résolution fréquentielle du spectre de TFD : une durée plus longue permet de mieux distinguer les fréquences proches. Cependant, si Tobs n'est pas un multiple entier des périodes des composantes du signal, cela peut accentuer le phénomène de leakage.