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Travaux Dirigés de Traitement du Signal

Ces travaux dirigés, élaborés par Sondes Abdelmouleh, couvrent les aspects fondamentaux du Traitement du Signal pour les étudiants de l'Institut Supérieur des Études Technologiques de Nabeul (filières 1^ère Année Génie Électrique et 2^ème Année AII), durant l'année universitaire 2010-2011, semestre 2.

Ils sont conçus pour renforcer la compréhension des concepts clés à travers des exercices pratiques.

Travaux Dirigés 1 : Généralités sur les Signaux

Cette première série d'exercices explore les bases des signaux, leur classification et leurs caractéristiques fondamentales.

Exercice 1 : Classification et Caractérisation des Signaux

1. Déterminer le type et les caractéristiques des signaux représentés sur les figures 1.1 et 1.2.

2. Nommer et déterminer les expressions mathématiques des signaux des figures 1.3 et 1.4, en précisant leurs caractéristiques.

Exercice 2 : Analyse de Signaux Spécifiques

1. Soit le signal x(t) représenté sur la figure 1.5 :

a. Déterminer le nom et la classe de ce signal.
b. Déterminer l'expression de x(t).
c. Déterminer les caractéristiques de x(t).
d. Donner une deuxième écriture de x(t).

2. Déterminer le signal périodique x_k(t), qui est la périodisation de période T du signal x(t) :

a. Donner l'expression de x_k(t).
b. Représenter x_k(t) avec T = 6s.

Travaux Dirigés 2 : Produit de Convolution et Corrélation

Ce module se concentre sur deux opérations fondamentales en traitement du signal : la convolution, essentielle pour l'analyse des systèmes linéaires invariants dans le temps (LTI), et la corrélation, utilisée pour mesurer la similarité entre deux signaux.

Exercice 1 : Convolution de Signaux Continus

Soit un système linéaire « S », caractérisé par sa réponse impulsionnelle h(t). Si on excite ce système par un signal continu x(t), on obtient une réponse y(t). Soient les deux signaux x(t) et h(t) tels que :

x(t) = 2 pour 0 ≤ t ≤ 4, et x(t) = 0 sinon.
h(t) = 2e^3t pour t ≤ 0, et h(t) = 0 sinon.

1. Représenter les deux signaux.

2. Déterminer le produit de convolution y(t) = x(t) * h(t).

Exercice 2 : Convolution de Signaux Rectangulaires

Soit un système linéaire, caractérisé par sa réponse impulsionnelle h(t), avec une réponse y(t) pour un signal d’entrée continu x(t). Soient les deux signaux rectangulaires continus x(t) et h(t) tels que :

x(t) = 1 pour 0 ≤ t ≤ 4, et x(t) = 0 sinon.
h(t) = 1 pour 0 ≤ t ≤ 2, et h(t) = 0 sinon.

1. Déterminer le produit de convolution y(t) = x(t) * h(t).

2. Représenter le produit de convolution y(t).

Exercice 3 : Autocorrélation d'un Signal Sinusoïdal

Soit le signal continu x(t) = S.sin(ωt + φ). Calculer la fonction d'autocorrélation de ce signal.

Exercice 4 : Autocorrélation d'un Signal Carré Périodique

Soit le signal carré périodique de période T, représenté sur la figure 2.1. Calculer et tracer la fonction d'autocorrélation du signal s(t).

Travaux Dirigés 3 : Série et Transformée de Fourier

Ce chapitre aborde la décomposition des signaux périodiques en séries de Fourier et l'analyse spectrale des signaux à l'aide de la transformée de Fourier, des outils fondamentaux pour comprendre le contenu fréquentiel des signaux.

Exercice 1 : Série de Fourier d'un Signal Périodique

Soit le signal périodique de période T = 4s, représenté sur la figure 3.1. Décomposer ce signal en série de Fourier.

Exercice 2 : Analyse Spectrale d'un Signal

Soit le signal représenté sur la figure 3.2 :

a. Que représente ce signal ?
b. Déterminer l'équation de X(f).
c. Déterminer l'équation de x(t).
d. Déterminer les caractéristiques de x(t).

Exercice 3 : Transformée de Fourier de Signaux Composites

Soit le signal z(t) représenté sur la figure 3.3 : z(t) = cos(2πF₁t) + cos(2πF₂t).

a. Déterminer la classe de ce signal.
b. Déterminer la Transformée de Fourier de z(t) (sans calcul).

Exercice 4 : Transformée de Fourier d'une Exponentielle Décroissante

Soit x(t) un signal à exponentielle décroissante tel que : x(t) = e^-at.u(t).

a. Calculer la Transformée de Fourier de ce signal.
b. Représenter les spectres d'amplitude et de phase.

Exercice 5 : Transformée de Fourier d'un Signal Bilatéral

Soit le signal analogique suivant : x(t) = x₁(t) + x₂(t) avec x₁(t) = 2.e^t pour t ≤ 0 et x₂(t) = 2.e^-t pour t ≥ 0.

1. Représenter les signaux x₁(t) et x₂(t).

2. Calculer la Transformée de Fourier du signal x(t).

3. Représenter le spectre d'amplitude et de phase du signal x(t).

Exercice 6 : Transformée de Fourier d'une Somme de Sinusoïdes

Soit le signal analogique suivant : x(t) = x₁(t) + x₂(t) avec x₁(t) = 4.sin(2πf₁t) et x₂(t) = 4.sin(2πf₂t). On donne : f₁ = 2 kHz et f₂ = 4 kHz.

a. Calculer la Transformée de Fourier du signal x(t).
b. Représenter les signaux x₁(t), x₂(t) et le spectre de x(t).

Travaux Dirigés 4 : Filtrage des Signaux Déterministes à Temps Continu

Cette section est dédiée à l'étude des filtres analogiques, essentiels pour la modification du contenu fréquentiel des signaux. Les exercices couvrent la détermination de fonctions de transfert, la classification des filtres et leur impact sur différents types de signaux.

Exercice 1 : Étude d'un Filtre RC Passe-Bas

Soit le montage suivant (figure 4.1). Le signal de sortie est v_s(t) pour une entrée v_e(t) = u(t).

1. Déterminer l’expression de v_s(t) et sa transformée de Laplace, sachant que U(p) = 1/p.

2. Déduire la fonction de transfert H(jω) et le type de ce filtre.

3. Supposant que c’est un filtre passe-bas, de fréquence de coupure f_c = 3.14 kHz. Déterminer dans ce cas le signal v_s(t) pour un signal d’entrée : v_e(t) = 4 + 2sin(2πf₀.t) + sin(2πf₁.t). On donne : f₀ = 1 kHz et f₁ = 5 kHz.

Exercice 2 : Analyse et Cascade de Filtres

Soit le montage de la figure 4.2.

1. Déterminer la fonction de transfert H(p) du montage.

2. Déduire le type de ce filtre à partir de la fonction de transfert H(jω).

3. Déterminer y(t) pour un signal d’entrée x(t) = 2 + cos(2πf₀.t) + 2cos(2πf₁.t) + 4cos(2πf₂.t). On donne : f₀ = 3 kHz, f₁ = 6 kHz, f₂ = 10 kHz et la fréquence de coupure de ce filtre f_c = 5 kHz.

4. À la sortie y(t) on applique un filtre passe-bande de fréquences de coupure [f_cb ; f_ch] avec f_cb = 8 kHz et f_ch = 12 kHz. Déterminer le signal z(t) à la sortie du filtre passe-bande.

Exercice 3 : Étude d'un Filtre RLC

Soit le montage de la figure 4.3 (Schéma du filtre RLC).

1. Déterminer la fonction de transfert du filtre.

2. Déduire la nature et le rôle de ce filtre.

Exercice 4 : Modulation d'Amplitude BLU

Le principe de la modulation d’amplitude BLU (Bande Latérale Unique) est illustré par la figure 4.4. On a :

m₁(t) = a.cos(2πF.t)
m₂(t) = a.sin(2πF.t)
F = 1 kHz, f₀ = 16 kHz

On rappelle l'identité trigonométrique : sin(a).sin(b) = 1/2[cos(a-b) – cos(a+b)].

1. Déterminer l’expression de x₁(t) et de x₂(t).

2. Déduire l’expression de s(t).

3. Soit le montage de la figure 4.6 (pour la démodulation) :

a. Déterminer l’expression de s₁(t).
b. Déduire l’expression de y(t). Le filtre passe-bas a pour F_c = 3.4 kHz.

Travaux Dirigés 5 : Échantillonnage des Signaux Continus

Ce chapitre explore le processus d'échantillonnage, une étape cruciale pour convertir les signaux analogiques en signaux numériques, en respectant les principes du théorème de Nyquist-Shannon.

Exercice 1 : Échantillonnage d'un Signal Sinusoïdal

Soit le signal continu x(t) = sin(2πf₀t).

1. Représenter le signal x(t) pour une période T₀ = 1 ms.

2. Soit x_e(t) le signal échantillonné de x(t), par un échantillonneur idéal.

a. Donner le modèle général de cet échantillonneur.
b. Donner la formule générale de x_e(t).
c. Représenter le signal échantillonné x_e(t), pour un pas d’échantillonnage T_e = 0.1 ms.

3. Soit X(f) la Transformée de Fourier du signal x(t) : X(f) = j[1/2.δ(f + f₀) - 1/2.δ(f - f₀)].

a. Représenter X(f).
b. Donner l’expression de X_e(f) et représenter X_e(f) pour une fréquence d'échantillonnage F_e et pour -2 ≤ k ≤ 2.

Exercice 2 : Spectre d'un Signal Échantillonné Composite

Soit y(t) le signal continu à la sortie d’un filtre : y(t) = x₀(t) + x₁(t) = 2cos(2πf₀t) + cos(2πf₁t).

1. Déterminer la Transformée de Fourier du signal y(t) (sans calcul).

2. Représenter le spectre de y(t).

3. Soit x_0e(t) le signal échantillonné de x₀(t), par un échantillonneur idéal.

a. Donner la formule générale de x_0e(t).
b. Représenter x_0e(t) pour un pas d’échantillonnage T_e = 0.2 ms et cela pour une période T₀ = 1 ms du signal x₀(t).
c. Déterminer et représenter la Transformée de Fourier du signal échantillonné y_e(t).

Exercice 3 : Échantillonnage d'une Exponentielle Décroissante

Soit le signal déterministe suivant : x(t) = 2.e^-2t pour t ≥ 0. On échantillonne le signal x(t) par un échantillonneur idéal, avec une période d’échantillonnage T_e = 1s.

a. Représenter le signal x(t).
b. Donner la formule générale et représenter le signal échantillonné x_e(t).

Travaux Dirigés 6 : Étude des Signaux à Temps Discret

Ce dernier chapitre se concentre sur les signaux et systèmes en temps discret, en explorant la convolution discrète et les propriétés des systèmes discrets, fondamentaux pour le traitement numérique du signal.

Exercice 1 : Convolution Graphique de Signaux Discrets

Soient les deux signaux discrets x[n] et h[n] représentés sur la figure 6.1. Ces figures montrent les valeurs de x[n] et h[n] en fonction de n.

a. Déterminer les expressions des signaux x[n] et h[n].
b. Déterminer graphiquement le produit de convolution y[n] = x[n] * h[n].
c. Représenter le produit de convolution y[n].

Exercice 2 : Convolution Analytique de Signaux Discrets

Soient les deux signaux discrets :

x[n] = 2δ[n - 2] + 3δ[n - 1]
h[n] = δ[n - 2] - δ[n - 1]

a. Représenter les deux signaux discrets.
b. Déterminer le produit de convolution y[n] = x[n] * h[n].
c. Représenter le produit de convolution y[n].

Exercice 3 : Réponse Impulsionnelle d'un Système en Cascade

Calculer et tracer la réponse impulsionnelle d'un système ayant pour entrée x[n] et sortie y[n], sachant que les caractéristiques des composants du système sont données par :

a[n] = 2δ[n - 1] - 0.5δ[n - 3]
b[n] = 2δ[n] + δ[n - 1]
c[n] = 5δ[n - 5] + 4δ[n - 3] - δ[n - 4]

Cet exercice implique généralement la convolution de ces réponses impulsionnelles pour trouver la réponse globale du système, si ces éléments sont en série ou selon une configuration spécifique.

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce qu'un signal déterministe ?

Un signal déterministe est un signal dont la valeur peut être prédite avec précision à tout moment futur. Il peut être décrit par une fonction mathématique explicite, par opposition à un signal aléatoire dont le comportement est imprévisible.

Pourquoi la transformée de Fourier est-elle importante en traitement du signal ?

La transformée de Fourier est fondamentale car elle permet de passer du domaine temporel au domaine fréquentiel, révélant les différentes fréquences présentes dans un signal. Cela est crucial pour l'analyse spectrale, la conception de filtres et la compression de données, car de nombreuses propriétés des signaux sont plus facilement observables dans le domaine fréquentiel.

À quoi sert l'échantillonnage des signaux continus ?

L'échantillonnage est le processus de conversion d'un signal analogique (continu dans le temps) en un signal discret. Il est indispensable pour permettre le traitement des signaux par des systèmes numériques (ordinateurs, microcontrôleurs). Le théorème de Nyquist-Shannon dicte la fréquence d'échantillonnage minimale requise pour éviter la perte d'information lors de cette conversion.