Td 3 signaux aleatoires -Traitement de signal - Télécharger
Télécharger PDFTravaux Dirigés 3 : Signaux Aléatoires
Exercice 1
Soit le processus aléatoire suivant : X(t) = y cos(wt) + z sin(wt) où y et z sont deux variables aléatoires telles que : E[y] = E[z] = 0 et E[y^2] = E[z^2].
Montrez que ce processus est stationnaire au sens large.
Exercice 2
Pour un processus stochastique X(t) = A cos(w_0 t + Φ). A et w_0 sont des paramètres constants et Φ est une variable aléatoire de distribution uniforme, avec p_Φ(φ) = 1/(2π) pour 0 ≤ φ ≤ 2π.
- Vérifier l'ergodicité du processus
X(t)dans la moyenne et dans l'autocorrélation. - Déterminer la densité spectrale de puissance,
S_XX(w). - Si
X(t)est un processus Gaussien (avec une densité de probabilitéP_X(x) = (1 / (σ√(2π))) * exp(-x^2 / (2σ^2)))), déterminer la densité de probabilitéP_Y(y)du processus aléatoireY = X^2.
Solution des Exercices
Solution de l'Exercice 1
Pour montrer qu'un processus est stationnaire au sens large, il faut vérifier deux conditions :
- La moyenne est constante et ne dépend pas du temps.
- La fonction d'autocorrélation ne dépend que de la différence de temps
τ = t_1 - t_2.
Calcul de la moyenne E[X(t)]
E[X(t)] = E[y cos(wt) + z sin(wt)]
Par linéarité de l'espérance :
E[X(t)] = cos(wt)E[y] + sin(wt)E[z]
Étant donné que E[y] = 0 et E[z] = 0 :
E[X(t)] = cos(wt) * 0 + sin(wt) * 0 = 0
La moyenne est 0, elle est donc constante et ne dépend pas du temps t. La première condition est vérifiée.
Calcul de la fonction d'autocorrélation K_XX(t_1, t_2)
K_XX(t_1, t_2) = E[X(t_1)X(t_2)]
K_XX(t_1, t_2) = E[(y cos(wt_1) + z sin(wt_1))(y cos(wt_2) + z sin(wt_2))]
En développant le produit :
K_XX(t_1, t_2) = E[y^2 cos(wt_1)cos(wt_2) + yz cos(wt_1)sin(wt_2) + zy sin(wt_1)cos(wt_2) + z^2 sin(wt_1)sin(wt_2)]
En utilisant la linéarité de l'espérance et en supposant y et z non corrélées (c'est-à-dire E[yz] = E[y]E[z] = 0 pour des variables indépendantes à moyenne nulle) :
K_XX(t_1, t_2) = E[y^2] cos(wt_1)cos(wt_2) + E[yz] cos(wt_1)sin(wt_2) + E[zy] sin(wt_1)cos(wt_2) + E[z^2] sin(wt_1)sin(wt_2)
Puisque E[yz] = 0 et E[y^2] = E[z^2]. Notons E[y^2] = σ^2.
K_XX(t_1, t_2) = σ^2 cos(wt_1)cos(wt_2) + σ^2 sin(wt_1)sin(wt_2)
En utilisant l'identité trigonométrique cos(A-B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B) :
K_XX(t_1, t_2) = σ^2 cos(w(t_1 - t_2))
Posons τ = t_1 - t_2.
K_XX(τ) = σ^2 cos(wτ)
La fonction d'autocorrélation ne dépend que de τ, la différence de temps. La deuxième condition est vérifiée.
Les deux conditions étant remplies, le processus X(t) est stationnaire au sens large.
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'un processus stationnaire au sens large ?
Un processus aléatoire est dit stationnaire au sens large si sa moyenne est constante dans le temps et si sa fonction d'autocorrélation ne dépend que de l'intervalle de temps (le décalage temporel) et non de l'instant initial.
Pourquoi l'ergodicité est-elle importante en traitement du signal ?
L'ergodicité permet d'estimer les propriétés statistiques d'un processus aléatoire (comme la moyenne ou l'autocorrélation) en observant une seule réalisation du processus sur une longue période, plutôt que de devoir faire la moyenne sur un ensemble de réalisations. Cela simplifie grandement l'analyse pratique des signaux.
Quelle est l'utilité de la densité spectrale de puissance ?
La densité spectrale de puissance (DSP) décrit comment la puissance d'un signal aléatoire est distribuée sur les différentes fréquences. Elle est cruciale pour comprendre la composition fréquentielle d'un signal, pour le filtrage, et pour l'analyse des systèmes en communication ou en traitement du signal.