Td 1 signaux serie de fourier -Traitement de signal - Téléc
Télécharger PDFThéorie du Signal : Exercices Corrigés
Exercice 1 : Formules de Trigonométrie et Transformation de Phase
Les identités trigonométriques sont fondamentales en théorie du signal pour la manipulation et l'analyse des fonctions sinusoïdales. Elles permettent de simplifier des expressions complexes et de révéler des propriétés des signaux.
Sachant que :
- sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
- cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
- Donner, en fonction de (cos(a), cos(b), sin(a) et sin(b)), les relations suivantes :
- sin(2a) = 2sin(a)cos(a)
- cos(2a) = cos²(a) - sin²(a) = 2cos²(a) - 1 = 1 - 2sin²(a)
- sin(a + π/2) = cos(a)
- cos(a + π/2) = -sin(a)
- sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)
- cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
- sin(a - π/2) = -cos(a)
- cos(a - π/2) = sin(a)
- sin(a) + sin(b) = 2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)
- sin(a) - sin(b) = 2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)
- cos(a) + cos(b) = 2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)
- cos(a) - cos(b) = -2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)
- Déduire C et φ pour que A cos(a) + B sin(a) = C cos(a + φ) avec (A, B) ∈ ℝ².
Pour exprimer A cos(a) + B sin(a) sous la forme C cos(a + φ) :
C cos(a + φ) = C [cos(a)cos(φ) - sin(a)sin(φ)]
C cos(a + φ) = C cos(φ)cos(a) - C sin(φ)sin(a)
Par identification avec A cos(a) + B sin(a) :
A = C cos(φ) (1)
B = -C sin(φ) (2)
En élevant au carré et en additionnant (1) et (2) :
A² + B² = C² cos²(φ) + C² sin²(φ) = C² (cos²(φ) + sin²(φ)) = C²
Donc, C = √(A² + B²)
En divisant (2) par (1) :
B/A = (-C sin(φ)) / (C cos(φ)) = -tan(φ)
Donc, tan(φ) = -B/A, ce qui permet de déterminer φ en tenant compte des signes de A et B pour la bonne détermination du quadrant.
Exercice 2 : Application du Sonar et Classification des Composants du Système
Un sonar utilise la propagation du son dans l'eau pour détecter et situer des objets sous-marins. Cette configuration permet d'illustrer les concepts de signal utile, bruit, émetteur, récepteur et canal de transmission dans un contexte réel.
Soit la configuration suivante : Un ensemble de poissons émet sous l'eau des sons à proximité de deux bateaux. Le premier est un bateau de navigation maritime qui utilise un sonar 1 pour mesurer la profondeur. Le deuxième est un bateau de pêche qui utilise un sonar 2 pour localiser des poissons.
1. Déterminer pour chacun des systèmes (le bateau de navigation, le bateau de pêche et les poissons) : Le (les) signal(aux) utile(s), le (les) bruit(s), l'(les) émetteur(s), le (les) récepteur(s), le (les) canal(aux) de transmission.
Bateau de navigation
- Signaux utiles :
- Signal émis par le sonar 1.
- Signal réfléchi par le fond (reçu par le sonar 1 avec un retard).
- Bruits :
- Sons émis par les poissons.
- Signaux émis et réfléchis par le sonar 2 (bateau de pêche).
- Émetteur : Sonar 1 (du bateau de navigation).
- Récepteur : Sonar 1 (du bateau de navigation).
- Canal de transmission : L'eau.
Bateau de pêche
- Signaux utiles :
- Signal émis par le sonar 2.
- Signal réfléchi par les poissons (reçu par le sonar 2 avec un retard).
- Bruits :
- Sons émis par les poissons.
- Signaux émis et réfléchis par le sonar 1 (bateau de navigation).
- Signal réfléchi par le fond (dû au sonar 2).
- Émetteur : Sonar 2 (du bateau de pêche).
- Récepteur : Sonar 2 (du bateau de pêche).
- Canal de transmission : L'eau.
Poissons
- Signaux utiles : Sons émis par les poissons.
- Bruits : Tous les signaux émis par le sonar 1 et le sonar 2. Signaux réfléchis par le fond et les poissons dus aux sonars 1 et 2.
- Émetteur : Poissons.
- Récepteur : Poissons (ils peuvent aussi s'écouter ou interagir entre eux).
- Canal de transmission : L'eau.
Exercice 3 : Classification des Signaux
La classification des signaux est essentielle en traitement du signal pour comprendre leurs propriétés et choisir les méthodes d'analyse appropriées. Les signaux peuvent être classés phénoménologiquement (selon leur nature déterministe ou aléatoire) et morphologiquement (selon leur continuité ou discrétion dans le temps et en amplitude).
Soient les signaux suivants :
- x1(t) = 2 cos (6 πt + π/3)
- x2(t) = sin(2πt)/t + 1
- x3(t) = (2 + sin(2πt)) sin(20πt) avec t ∈ ℝ*
- x4(kΔt) = e^(-k) avec k ∈ ℕ et Δt = 0.5
- x5(t) = e^(-kΔt) si kΔt ≤ t < (k+1)Δt avec k ∈ ℕ et Δt = 1
- x6(k) = 1/n si n ≤ 6e^(-kΔt) < (n + 1) avec (k,n) ∈ ℕ² et Δt = 0.25
- x7 : Jet d'un dé non truqué chaque seconde
- x8 : L'allumage et l'extinction d'une lampe dans une cuisine au cours d'un mois.
- x9 : Le son émis par des baleines.
1. Classer ces signaux phénoménologiquement et morphologiquement.
- x1(t) = 2 cos (6 πt + π/3)
- Phénoménologique : Signal déterministe périodique (on peut prévoir sa valeur à tout instant t, et il se répète avec une période T = 1/3 s).
- Morphologique : Signal analogique (le temps t est continu et l'amplitude x1(t) est continue).
- x2(t) = sin(2πt)/t + 1
- Phénoménologique : Signal déterministe pseudo-périodique (la période est de 1, mais l'amplitude de x2(t) change avec le temps).
- Morphologique : Signal analogique (le temps t est continu et l'amplitude x2(t) est continue).
- x3(t) = (2 + sin(2πt)) sin(20πt)
- Phénoménologique : Signal déterministe périodique (de période T = 1).
- Morphologique : Signal analogique (le temps t est continu et l'amplitude x3(t) est continue).
- x4(kΔt) = e^(-k) (avec k ∈ ℕ, Δt = 0.5)
- Phénoménologique : Signal déterministe non périodique.
- Morphologique : Signal discret (le temps est discret, kΔt) et l'amplitude est continue (valeurs réelles).
- x5(t) = e^(-kΔt) si kΔt ≤ t < (k+1)Δt (avec k ∈ ℕ, Δt = 1)
- Phénoménologique : Signal déterministe non périodique.
- Morphologique : Signal quantifié (le temps est continu mais l'amplitude est discrète, elle prend des valeurs constantes par intervalles).
- x6(k) = 1/n si n ≤ 6e^(-kΔt) < (n + 1) (avec (k,n) ∈ ℕ², Δt = 0.25)
- Phénoménologique : Signal déterministe non périodique.
- Morphologique : Signal numérique (le temps k est discret et l'amplitude est discrète).
- x7 : Jet d'un dé non truqué chaque seconde
- Phénoménologique : Signal aléatoire stationnaire (on ne peut pas prévoir le comportement, mais la probabilité d'apparition des six chiffres est la même, 1/6, ce qui implique une moyenne probabiliste fixe E(x) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5).
- Morphologique : Signal discret (le temps est discret, chaque seconde) et quantifié (l'amplitude est discrète : 1, 2, 3, 4, 5, 6).
- x8 : L'allumage et l'extinction d'une lampe dans une cuisine au cours d'un mois.
- Phénoménologique : Signal aléatoire non stationnaire (on ne peut prévoir ni le comportement ni la probabilité d'allumage ou d'extinction).
- Morphologique : Signal quantifié (le temps est continu mais l'amplitude est discrète : 0 ou 1, éteint ou allumé).
- x9 : Le son émis par des bale