Tp analyse spectrale numerique -Traitement de signal

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TRAVAUX PRATIQUES d’Analyse Spectrale Numérique

Le logiciel affiche les valeurs suivantes :

Amplitude du k-ième échantillon spectral : X_k
Fréquence associée au k-ième échantillon : f_k
Pas de fréquence : Δf

Les valeurs en décibels (dB) et les densités spectrales de puissance (D.S.P.) sont calculées comme suit :

X_k dB = 10 Log₁₀(X_k)
P_k = D.S.P._k = (X_k)²
P_k dB = 2 ⋅ X_k dB = 20 Log₁₀(X_k) = 10 Log₁₀(D.S.P._k)
D.S.P._k dB = 10 Log₁₀(D.S.P._k)

Avertissements

La complexité et la longueur des expérimentations nécessitent d’arriver en Travaux Pratiques (TP) après avoir révisé les exercices 3 et 4 faits en Travaux Dirigés (TD). Il faut donc apporter ces TD en TP, de même que vos notes de cours.
Le compte-rendu des manipulations doit être rendu en fin de séance et doit inclure :
- Les relevés exhaustifs des valeurs demandées ou nécessaires à justifier vos réponses.
- Éventuellement, le tracé de l’allure globale de certains spectres.
- Les commentaires associés à toutes vos constatations.
L’essentiel de la note portera sur ces commentaires d’une part, et sur vos réponses aux questions portant sur les conclusions d’autre part.

Procédure de connexion

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Aller sur Emédia « EC542 Signaux et systèmes » ; « Semestre 1 : Analyse spectrale » ; « TP PASN » ; « Télécharger le dossier » et l’extraire.
Lancer MATLAB R2018a à partir de l’icône du bureau ou de la barre de liste des programmes.
Dans MATLAB, sélectionner le chemin et le répertoire appropriés.
Dans la fenêtre de commande de MATLAB, lancer >>TPpasn.
Dans le menu, choisir le bouton « résolution de la fenêtre rectangulaire ».
Saisir les paramètres demandés dans la fenêtre de commande.
Pour lancer une nouvelle simulation, fermer les 4 fenêtres de graphiques et cliquer sur « Nouvel essai ».

L’étude des spectres sera restreinte à l’intervalle [0 ; F_e / 2]. L’objectif de ces manipulations est de déterminer la dynamique et la finesse du pas de calcul nécessaires à l’analyse d’un signal de caractéristiques connues au préalable, et ce, malgré la présence de fuites spectrales (leakage) : respectivement la résolution en amplitude δA et la résolution en fréquence δf minimales de la Transformée de Fourier Discrète (TFD). On utilisera pour cela la méthode de la séparation à 3 dB abordée en cours et en TD.

1. Étude de la résolution en fréquence

On considère un signal x(t) de la forme : x(t) = A₁ cos(2πF₁t) + A₂ cos(2πF₂t) où A₁ = 1, F₁ = 5,5 Hz et A₂ = 1 sont des valeurs fixes, et F₂ est une valeur variable, avec F₂ > F₁. Les paramètres de la TFD sont F_e = 256 Hz et Δf = 1 Hz.

a) Cas sans fuites spectrales (leakage)

On se place dans le cas où F₂ n’entraîne pas de fuites spectrales : quelle relation doit-il y avoir entre la valeur de F₂ et le pas de calcul Δf pour répondre à cette contrainte ?

b) Séparation des composantes et résolution fréquentielle à 3 dB

À partir de la valeur F₂ = 6 Hz, écarter progressivement (par pas de Δf) F₂ de F₁ jusqu’à ce que les deux composantes soient séparées selon le critère à 3 dB : on doit alors trouver au moins un échantillon « séparateur » P_k de la D.S.P. dont la valeur est d'au moins –3 dB de celle du maximum du pic le plus faible. La résolution fréquentielle à 3 dB, notée δf, correspond alors à la distance entre les deux fréquences de test utilisées (F₁ et F₂).

Pour chaque essai, répondre aux questions suivantes :

Décrire l’allure générale du spectre résultant de la TFD en le comparant au spectre théorique du signal analogique.
Donner la position et la valeur des raies saillantes de la D.S.P. (celles correspondant au maximum de chaque pic).
Commenter tous ces résultats au fur et à mesure.

c) Résolution à 3 dB avec une seule raie de fuites spectrales

En déduire la résolution à 3 dB pour le cas où seule une raie provoque des fuites spectrales.

d) Cas avec fuites spectrales (leakage)

Reprendre les questions précédentes b) et c) avec des valeurs de F₂ provoquant aussi des fuites spectrales, à partir de F₂ = 6,5 Hz.

e) Conclusion sur la résolution fréquentielle minimale

En comparant les résolutions fréquentielles obtenues dans les deux cas, conclure ces manipulations en estimant la valeur globale de la résolution fréquentielle pour ce choix d’amplitudes : c’est la valeur de résolution fréquentielle minimale nécessaire pour que deux raies présentant un rapport d’amplitude de 0 dB soient séparées par cette TFD, et ce quel que soit le nombre de raies provoquant des fuites spectrales.

2. Étude de la résolution en amplitude et de sa relation avec la résolution en fréquence

La résolution en amplitude δA d’une TFD associée à un fenêtrage décrit sa capacité à « séparer » des raies du spectre résultant, présentant un écartement particulier, dont l’une au moins subit des fuites spectrales, et ce en fonction du rapport d’amplitude que peuvent présenter deux raies du spectre de D.S.P. : elle désigne l’écart de puissance maximal (exprimé en décibels) que doivent présenter les raies de la D.S.P. ainsi obtenue pour que cette séparation soit possible, malgré les fuites spectrales, et ce pour une résolution fréquentielle donnée. On utilisera ici aussi le critère de séparation à 3 dB.

La résolution en amplitude δA peut être calculée comme la différence des niveaux de puissance en dB entre deux composantes (si A₂ < A₁) :

δA = P₁ dB - P₂ dB = 10 Log₁₀(P₁/P₂) = 20 Log₁₀(A₁/A₂)

a) Influence du rapport d’amplitude

Dans ces manipulations, on procède à l’inverse des précédentes : on fixe l’écart entre les fréquences, et on fait varier le rapport d’amplitude. Les paramètres de la TFD restent identiques. On étudie le même signal que précédemment, mais cette fois-ci avec F₂ = 7,5 Hz et A₂ est variable : étudier les valeurs suivantes de l’amplitude : A₂ = 0,5 ; A₂ = 0,1 ; A₂ = 0,01.

Dans chaque cas, commenter l’allure générale du spectre résultant de la TFD.
Conclure en estimant la résolution en amplitude δA compatible avec la résolution fréquentielle estimée à la question 1.e).

b) Détermination de la résolution fréquentielle associée

On fixe maintenant A₂ = 0,01 : il s’agit de déterminer la résolution fréquentielle associée.

Quelle nouvelle valeur de résolution en amplitude ce choix impose-t-il ?
Étudier les spectres obtenus (présence de 1 ou 2 pics, séparation à 3 dB des pics) pour F₂ variant de 24 Hz à 26,5 Hz par pas de 0,5 Hz.
Conclure sur la nouvelle résolution fréquentielle nécessaire.

3. Conclusion des manipulations

Conclure ces manipulations concernant le lien entre résolution fréquentielle et résolution en amplitude.

Foire aux questions (FAQ)

Qu'est-ce que le "leakage" (fuites spectrales) en analyse spectrale ?
Le "leakage" est un phénomène indésirable en analyse spectrale numérique, causé par la troncature d'un signal non-périodique ou dont la période n'est pas un multiple exact de la durée d'observation. Cela se manifeste par l'élargissement des pics dans le spectre et l'apparition de lobes secondaires, masquant potentiellement d'autres fréquences ou réduisant la précision des mesures d'amplitude et de fréquence.
Comment le critère de séparation à 3 dB est-il utilisé pour évaluer la résolution ?
Le critère de séparation à 3 dB est utilisé pour déterminer si deux composantes spectrales proches sont distinctement résolues. Il stipule que deux pics sont considérés comme séparés si le point le plus bas entre eux est à au moins 3 dB en dessous du niveau du pic le plus faible (ou si la valeur de puissance minimale entre les deux pics est inférieure ou égale à la moitié de la puissance du pic le plus faible).
Quel est le principal objectif de ces travaux pratiques ?
L'objectif principal de ces travaux pratiques est d'étudier et de quantifier les limites de l'analyse spectrale numérique en termes de résolution en fréquence (δf) et en amplitude (δA) d'une Transformée de Fourier Discrète (TFD), en particulier face à la présence de fuites spectrales. Il s'agit de comprendre comment ces résolutions sont déterminées et comment elles sont liées.