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Télécharger PDFAnalyse Temps-Fréquence par Spectrogramme
Ce travail pratique explore l'analyse fréquentielle en se concentrant sur la méthode temps-fréquence via le spectrogramme, une approche essentielle pour comprendre l'évolution des signaux dans le temps.
Limites de l'Analyse de Fourier Classique
Pourquoi la Transformée de Fourier a ses Limites
L'analyse spectrale que nous avons utilisée depuis le début du cours ne nous permet pas de créer de lien entre le temps et la fréquence. En effet, la transformée de Fourier nous permet de visualiser les fréquences présentes dans un signal mais sans savoir dans quel ordre elles sont apparues. En d'autres termes, elle nous donne le "quoi" (quelles fréquences) mais pas le "quand".
Afin de mettre en évidence ce problème, nous générons un signal y(t) étant la somme de deux signaux avec des fréquences pures différentes à deux instants distincts. Soit notre signal y(t) avec f1=25 Hz et f2=100 Hz. Si l’on inverse les fréquences f1 et f2, on constate que les deux représentations temporelles sont inversées mais que leurs représentations fréquentielles sont identiques. Elles ne nous permettent donc pas de savoir à quel moment les fréquences f1 et f2 apparaissent. Pour ne pas perdre cette information temporelle, nous devons donc utiliser une autre représentation.
Introduction à l'Analyse Temps-Fréquence par Spectrogramme
Principe du Spectrogramme
Afin de pouvoir observer les fréquences présentes dans un signal ainsi que leur ordre d'apparition, nous allons utiliser un spectrogramme. Pour cela, nous devons calculer la transformée de Fourier du signal multiplié par une fenêtre (rectangulaire, de Hanning, de Hamming par exemple) centrée à différents instants t. Le spectrogramme produit une représentation visuelle en 2D où l'axe horizontal représente le temps, l'axe vertical la fréquence, et l'intensité de la couleur indique l'amplitude de la fréquence à cet instant donné.
Première Expérience : Analyse de Notes de Musique
Le but de cette première expérience était de se familiariser avec le spectrogramme et de comprendre son fonctionnement à partir de 3 signaux ayant chacun une fréquence pure différente des autres. Les étapes détaillées sont généralement décrites dans le code utilisé pour cette analyse.
Explications et Résultats de l'Expérience Musicale
Nous obtenons ainsi un spectrogramme permettant d’exprimer les fréquences en fonction du temps. Nous constatons qu’entre 0 et 1 seconde, la fréquence du signal se situe aux alentours de 554 Hz, ce qui correspond à la première note de notre signal, le Do. Nous constatons ensuite à 1 seconde que le signal change de fréquence, ce changement est visible par une perturbation. De 1 seconde à 2 secondes, la fréquence du signal se situe à environ 587 Hz, ce qui correspond à la fréquence du Ré. Nous constatons à 2 secondes une perturbation qui correspond au changement de fréquence du signal. Enfin, après 2 secondes, le signal a une fréquence d’environ 659 Hz, ce qui représente la fréquence du Mi. Grâce au spectrogramme, nous avons donc pu déterminer la fréquence de chaque morceau du signal ainsi que leur position dans l’espace-temps.
Influence du Type de Fenêtre sur le Spectrogramme
Le choix du type de fenêtre est un paramètre important qui affecte la qualité et la précision de l'analyse par spectrogramme.
Fenêtre Rectangulaire
Pour cet exemple, nous avons utilisé un code similaire à celui de la première expérience avec les notes de musique Do, Ré, Mi, mais en utilisant cette fois une fenêtre rectangulaire à la place de celle de Hanning. On voit apparaître des raies de fréquences autour de nos fréquences f1, f2 et f3. Néanmoins, ces défauts sont compensés par une précision plus grande sur les fréquences réelles f1, f2 et f3 (en effet, les raies sont plus fines avec la fenêtre rectangulaire qu'avec la fenêtre de Hanning). En revanche, aux alentours des changements de fréquences, on a une moins bonne précision qu’avec une fenêtre de Hanning.
Fenêtre de Hanning
En utilisant une fenêtre de Hanning, on voit également apparaître des raies de fréquences autour de nos fréquences f1, f2 et f3. En revanche, leur amplitude étant bien plus faible que pour la fenêtre rectangulaire, elles n'apparaissent pas dans le résultat, mais les raies principales f1, f2 et f3 sont moins précises. Néanmoins, le comportement aux alentours du changement de fréquences est plus clair. En effet, il est plus facile de déterminer l'instant du changement.
Largeur de Fenêtre et Compromis Temps-Fréquence
Intéressons-nous maintenant aux conséquences des modifications sur la taille des fenêtres :
Petite Fenêtre (Nfen Faible)
Prenons des fenêtres de faibles tailles (Nfen=40), le nombre de fenêtres se trouve alors très grand (NbFen=225). Nous constatons que la précision des fréquences du signal est faible ; en effet, pour une fréquence, le spectre s’étend sur plus de 200 Hz. En revanche, la séparation des fréquences sur l’espace-temps est très nette : on voit bien que le Do occupe l’intervalle compris entre 0s et 1s, que le Ré occupe l’intervalle compris entre 1s et 2s, et que le Mi occupe l’intervalle compris entre 2s et 3s.
Grande Fenêtre (Nfen Élevée)
Prenons maintenant des fenêtres de grandes tailles (Nfen=2000), le nombre de fenêtres se retrouve alors petit (NbFen=4), ce qui a pour conséquence une baisse de précision de l’emplacement des fréquences sur l’espace-temps, caractérisée par la perturbation entre t=0,75s et t=1,25s. Au contraire, la fréquence peut être déterminée de façon beaucoup plus précise (± 5 Hz). Il faut cependant faire attention au nombre de fréquences différentes car un nombre de fenêtres plus petit que le nombre de fréquences rendrait des perturbations beaucoup trop longues, ce qui rendrait inexploitable le spectrogramme.
Conclusion sur le Choix de la Largeur des Fenêtres
Nous pouvons donc en conclure qu’il est nécessaire de trouver un bon compromis entre la taille des fenêtres et leur nombre. Si la précision temporelle est plus importante, nous devrons donc choisir des fenêtres de petites tailles ; au contraire, si la précision fréquentielle est plus importante, nous devrons choisir des fenêtres de grandes tailles.
Deuxième Expérience : Étude d'un Échantillon Sonore Complexe
Nous avons ensuite essayé d’effectuer une analyse temps-fréquence par spectrogramme pour un signal composé de plus de fréquences, qui se rapproche davantage des signaux émis lors d’une conversation téléphonique ou d’un morceau de musique. Nous avons par exemple analysé un son de notre choix.
Explications et Résultats sur l'Échantillon Sonore
Nous avons utilisé un code similaire à celui de l’analyse temps-fréquence pour les notes de musique Do, Ré, Mi. Nous remarquons que le spectrogramme obtenu après l’analyse est complexe à analyser. En effet, même si nous pouvons en déduire que les fréquences de ce signal sont pour la plupart inférieures à 200 Hz, et qu’entre 17 et 18 secondes le signal a une fréquence d’environ 115 Hz, le spectrogramme ne nous permet pas de déterminer précisément toutes les fréquences du signal et leur position dans le temps.
Conclusion
Nous avons vu au cours de ce travail pratique qu’il est possible de déterminer les fréquences d’un signal ainsi que leur ordre dans l’espace-temps à l’aide d’une analyse temps-fréquence par spectrogramme. Nous avons ainsi pu distinguer les 3 fréquences d’un signal simple ainsi que leur disposition temporelle.
De plus, pour le choix du type de fenêtre, tout dépendra de l'information que l'on souhaite obtenir. La fenêtre rectangulaire permet d'obtenir une bonne précision au niveau des fréquences réellement présentes dans le signal mais il y a de nombreux parasites qui apparaissent. Nous avons également montré que la taille d’une fenêtre influe sur la précision des résultats de l’analyse et qu’une augmentation de la précision temporelle engendre une baisse de la précision fréquentielle, et vice versa. Enfin, nous avons soulevé les limites de cette analyse avec un signal «son» que nous n’avons pas réussi à analyser dans les moindres détails.
Foire Aux Questions (FAQ)
Pourquoi la Transformée de Fourier classique est-elle limitée pour l'analyse temporelle des fréquences ?
La Transformée de Fourier fournit une représentation globale du contenu fréquentiel d'un signal, indiquant quelles fréquences sont présentes, mais sans aucune information sur leur localisation temporelle. Elle ne peut pas dire quand une fréquence spécifique est apparue ou a disparu dans le signal, ce qui limite son utilité pour les signaux non stationnaires.
Qu'est-ce qu'un spectrogramme et comment fonctionne-t-il ?
Un spectrogramme est un outil d'analyse temps-fréquence qui visualise l'évolution des fréquences d'un signal au cours du temps. Il fonctionne en divisant le signal en de courtes sections (appelées "fenêtres") qui se chevauchent, puis en calculant la Transformée de Fourier pour chacune de ces sections. Le résultat est une image où le temps est sur l'axe X, la fréquence sur l'axe Y, et l'amplitude de la fréquence à un instant donné est représentée par une intensité de couleur.
Comment le choix du type et de la largeur de fenêtre affecte-t-il l'analyse par spectrogramme ?
Le type de fenêtre (ex. rectangulaire, Hanning) influe sur la suppression des "fuites spectrales" et la résolution fréquentielle. La fenêtre rectangulaire offre une meilleure résolution en fréquence mais plus d'artefacts (lobes secondaires), tandis que les fenêtres de Hanning ou Hamming réduisent ces artefacts au détriment d'une légère baisse de résolution fréquentielle. La largeur de la fenêtre détermine un compromis entre la précision temporelle et la précision fréquentielle : une petite fenêtre offre une excellente précision temporelle mais une faible précision fréquentielle, idéale pour localiser des événements brefs. Une grande fenêtre, à l'inverse, permet une très bonne précision fréquentielle mais une localisation temporelle moins fine, utile pour identifier des fréquences stables sur de longues durées.