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L'Effet Tunnel Quantique : Une Introduction

Cet article explore le phénomène de l'effet tunnel quantique. Considérons une particule de masse m et d'énergie E se déplaçant le long de l'axe des x. Cette particule est soumise à un potentiel rectangulaire de la forme :

V(x) = V₀ pour 0 ≤ x ≤ a (la barrière de potentiel)
V(x) = 0 partout ailleurs (avant et après la barrière)

Nous analyserons le comportement de cette particule sous ce potentiel, d'abord selon la physique classique, puis selon la mécanique quantique.

Cas Classique du Potentiel Rectangulaire

Dans la physique classique, l'énergie totale E d'une particule est la somme de son énergie cinétique E_c et de son énergie potentielle V(x). Si l'énergie potentielle V(x) est supérieure à l'énergie totale E dans une certaine région (c'est-à-dire E < V(x)), la particule ne peut pas pénétrer dans cette région. Son énergie cinétique devrait être négative, ce qui est impossible classiquement.

Pour notre barrière de potentiel rectangulaire :

Si E < V₀ (l'énergie de la particule est inférieure à la hauteur de la barrière), la particule rebrousse chemin devant la barrière. Il y a une réflexion totale, et la particule ne peut en aucun cas traverser la barrière.
Si E > V₀ (l'énergie de la particule est supérieure à la hauteur de la barrière), la particule traverse la barrière sans être réfléchie, bien que sa vitesse puisse changer à l'intérieur de celle-ci.

Cas Quantique : L'Effet Tunnel

En mécanique quantique, le comportement de la particule est décrit par une fonction d'onde ψ(x), qui est solution de l'équation de Schrödinger. Contrairement au cas classique, la mécanique quantique prédit une probabilité non nulle pour la particule de traverser la barrière même si E < V₀.

L'Équation de Schrödinger

L'équation de Schrödinger indépendante du temps pour une particule de masse m dans un potentiel V(x) est la suivante :

−(ħ²/2m) d²ψ/dx² + V(x)ψ(x) = Eψ(x)

Où ħ (prononcé "h barre") est la constante de Planck réduite.

Les Fonctions d'Onde

Pour résoudre cette équation, nous définissons les fonctions d'onde dans les trois régions distinctes, en considérant le cas où E < V₀ (le cas pertinent pour l'effet tunnel) :

Région I (x < 0, V(x) = 0) :
La fonction d'onde est une superposition d'une onde incidente et d'une onde réfléchie :
ψ_I(x) = A₁e^ikx + B₁e^-ikx
Où k = √(2mE)/ħ est le nombre d'onde associé à la particule dans les régions libres.
Région II (0 ≤ x ≤ a, V(x) = V₀) :
Puisque E < V₀, la fonction d'onde est évanescente (exponentielle réelle), indiquant une atténuation de la probabilité de trouver la particule à l'intérieur de la barrière :
ψ_II(x) = A₂e^qx + B₂e^-qx
Où q = √(2m(V₀-E))/ħ est le facteur d'atténuation dans la barrière.
Région III (x > a, V(x) = 0) :
Seule une onde transmise est présente, car nous supposons qu'il n'y a pas de source de particules venant de l'infini positif et donc pas d'onde réfléchie de cette région :
ψ_III(x) = A₃e^ikx

Conditions de Continuité

Pour que la fonction d'onde décrive une particule physiquement plausible, elle et sa première dérivée doivent être continues aux frontières des régions, c'est-à-dire en x=0 et en x=a. Ces conditions sont :

ψ_I(0) = ψ_II(0)
dψ_I/dx |_x=0 = dψ_II/dx |_x=0
ψ_II(a) = ψ_III(a)
dψ_II/dx |_x=a = dψ_III/dx |_x=a

La résolution de ce système de quatre équations linéaires, qui relient les coefficients A₁, B₁, A₂, B₂ et A₃, permet de déterminer les rapports entre ces amplitudes, et notamment le rapport entre l'amplitude de l'onde transmise et l'amplitude de l'onde incidente.

Courants de Probabilité et Coefficient de Transmission

En mécanique quantique, le courant de probabilité J représente le flux de particules. Il est défini par :

J = (ħ / 2mi) (ψ* dψ/dx - ψ dψ*/dx)

Pour les ondes planes, le courant de probabilité d'une onde incidente d'amplitude A₁ est proportionnel à |A₁|², et celui d'une onde transmise d'amplitude A₃ est proportionnel à |A₃|².

Le coefficient de transmission T est défini comme le rapport de l'amplitude du courant de probabilité transmis à l'amplitude du courant de probabilité incident :

T = |A₃ / A₁|²

Formule du Coefficient de Transmission T

Pour une barrière de potentiel rectangulaire où l'énergie de la particule est inférieure à la hauteur de la barrière (E < V₀), le coefficient de transmission T est donné par :

T = [1 + ( V₀² / (4E(V₀-E)) ) × sinh²(qa)]^-1

Où :

V₀ est la hauteur de la barrière de potentiel.
E est l'énergie de la particule.
q = √(2m(V₀-E))/ħ est le facteur d'atténuation de l'onde à l'intérieur de la barrière.
a est la largeur de la barrière de potentiel.
sinh est la fonction sinus hyperbolique.

Discussion et Implications de l'Effet Tunnel

L'effet tunnel révèle une probabilité non nulle pour une particule de traverser une barrière de potentiel même si son énergie est classiquement insuffisante. C'est un phénomène purement quantique sans équivalent en physique classique.

Plusieurs facteurs influencent fortement cette probabilité de tunnellisation :

Largeur de la barrière (a) : La probabilité de transmission diminue exponentiellement avec l'augmentation de la largeur de la barrière. Plus la barrière est large, moins la particule a de chances de la traverser.
Hauteur de la barrière (V₀ - E) : L'augmentation de la différence entre la hauteur de la barrière et l'énergie de la particule réduit également la probabilité de transmission de manière exponentielle. Une barrière plus haute ou une énergie de particule plus faible rend le tunnel plus difficile.
Masse de la particule (m) : La probabilité de tunnellisation diminue également de manière exponentielle avec l'augmentation de la masse de la particule. C'est pourquoi l'effet tunnel est plus souvent observé pour des particules légères comme les électrons plutôt que pour des objets macroscopiques.
Limite classique (ħ → 0) : Dans la limite où la constante de Planck réduite ħ tend vers zéro, le coefficient de transmission T tend vers zéro. Cela signifie que l'effet tunnel disparaît dans le monde classique, où ħ est négligeable à l'échelle macroscopique.

L'effet tunnel est essentiel pour comprendre de nombreux phénomènes en physique, y compris la désintégration alpha radioactive, certaines réactions nucléaires dans les étoiles, et le fonctionnement d'appareils technologiques comme le microscope à effet tunnel (STM) et les diodes tunnel.

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce que l'effet tunnel quantique ?

L'effet tunnel quantique est un phénomène où une particule subatomique peut traverser une barrière de potentiel, même si elle n'a pas l'énergie suffisante pour le faire selon les lois de la physique classique. C'est une conséquence directe de la nature ondulatoire des particules en mécanique quantique, qui permet une probabilité non nulle de les trouver dans des régions classiquement interdites.

Quand l'effet tunnel est-il observable ?

L'effet tunnel est principalement observable à l'échelle quantique, pour des particules de petite masse (comme les électrons) et pour des barrières de potentiel très fines (quelques nanomètres) et pas trop hautes. Il est moins prononcé pour des particules plus massives ou des barrières plus larges ou plus hautes en raison de la dépendance exponentielle du coefficient de transmission.

Quelles sont les applications pratiques de l'effet tunnel ?

L'effet tunnel a de nombreuses applications, notamment dans la désintégration radioactive alpha, les réactions de fusion nucléaire dans les étoiles, et dans des technologies modernes telles que le microscope à effet tunnel (STM) qui permet d'imager des surfaces à l'échelle atomique, les diodes tunnel (utilisées en électronique à haute fréquence), les mémoires flash et certains types de transistors.