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Mécanique Quantique - Série d'Exercices N°1

Cette série d'exercices aborde des concepts fondamentaux de la mécanique quantique, incluant le rayonnement du corps noir, l'effet photoélectrique, l'effet Compton, la dualité onde-corpuscule, la diffraction et la description des états quantiques.

Exercice 1 : Rayonnement du Corps Noir

Le rayonnement du corps noir est un concept clé en physique quantique, décrivant l'émission électromagnétique d'un objet en équilibre thermique.

Donner l'expression de la loi du rayonnement de Planck en fonction de la longueur d'onde λ.
On pose x = hc / (λkT), montrez que la longueur d'onde correspondant au maximum est donnée par l'équation : 5 - x = 5e^-x.
Montrez que la loi du rayonnement de Planck mène à la loi de déplacement de Wien.
Montrez que I = ∫₀^∞ u(λ, T)dλ conduit à I = aT⁴, où a est la constante de Stefan-Boltzmann.

Exercice 2 : Effet Photoélectrique

L'effet photoélectrique, phénomène où des électrons sont émis par un matériau lorsqu'il est exposé à un rayonnement électromagnétique, a joué un rôle crucial dans le développement de la mécanique quantique.

On envoie sur une cathode en potassium deux radiations monochromatiques :

Une ultraviolette (raie du Hg) de longueur d'onde λ_Hg = 2537 Å, et on mesure une contre-tension |V₀| = 3.14 Volt.
L'autre visible (raie jaune du Na) dont λ_Na = 5890 Å et la contre-tension mesurée |V₀| est de 0.36 Volt.

On demande de calculer :

L'énergie maximale des photoélectrons éjectés.
La valeur de la constante de Planck.
L'énergie d'extraction minimale des électrons du potassium (travail de sortie).
La longueur d'onde maximale des radiations produisant un effet photoélectrique sur le potassium (seuil photoélectrique).
Dans le premier cas (i), le courant de saturation qui traverse la cellule est de 4µA. Quel est le nombre n d'électrons reçus par l'anode en une seconde ?

Exercice 3 : Effet Compton

L'effet Compton démontre la nature corpusculaire des photons, où un photon interagit avec un électron, entraînant un changement de sa longueur d'onde.

I - Mouvement d'un corpuscule

Le mouvement d'un corpuscule est parfaitement défini si on se donne : un nombre qui représente l'énergie de la particule et un vecteur qui représente l'impulsion de la particule. Sachant que ces grandeurs physiques sont données par : E = mc² et ⃗p = m⃗v, où m² = m₀² / (1 − β²) tel que β = v/c.

Montrer que l'on a : E² = m₀²c⁴ + p²c².

II - Diffusion Compton

On considère un faisceau de photons monochromatiques de longueur d'onde λ se déplaçant dans le vide. Ce faisceau est dirigé sur une cible ne contenant que des électrons libres que l'on supposera au repos. Soit m₀ la masse au repos de l'électron, ⃗p_γ, ⃗p'_γ et ⃗p'_e les impulsions du photon avant le choc, du photon après le choc et de l'électron après le choc, respectivement.

Écrire les équations de conservation de l'impulsion et de l'énergie lors du choc photon-électron.
Connaissant les expressions relativistes de l'énergie et de l'impulsion, calculer la variation de la longueur d'onde en fonction de l'angle θ que fait le photon diffusé avec le photon incident.
Montrer que l'énergie cinétique maximale transférée à l'électron après diffusion est : E_max = hν₀ / (1 + (mc² / (2hν₀))).

III - Application numérique

Un électron frappé par un Rayon X de 0.5 MeV acquiert une énergie de 0.1 MeV.

Calculer la longueur d'onde du photon diffusé sachant que l'électron était initialement au repos.
Calculer l'angle que fait le photon diffusé avec le photon incident.

On donne : h / (m_ec) = 0.024 Å (appelée longueur d'onde de Compton λ_C).

Exercice 4 : Traitement Classique ou Quantique

Ce problème explore le critère de validité entre une description classique et une description quantique d'un système, basée sur la valeur de l'action associée au système comparée à la constante de Planck h.

Une action est une grandeur homogène à (quantité de mouvement) × (longueur) ou encore (énergie) × (temps). La constante h est le quantum fondamental d'action. Le critère admis est le suivant : lorsqu'une action associée au système prend une valeur proche de h, le comportement d'un tel système doit être décrit par la théorie quantique. Si au contraire une action est très grande par rapport à h, une description classique est suffisante.

Classer les systèmes suivants selon qu'ils relèvent de la théorie classique ou quantique :

Atome d'hydrogène dont l'énergie d'ionisation est 13 eV émettant une radiation de longueur d'onde λ = 100 nm.
Une montre à ressort possédant des parties mobiles de taille et de masse typiques : d = 0.1 mm et m = 0.1 mg et un temps typique t = 1 s.
Un noyau dont l'énergie de liaison (neutron ou proton) est typiquement de l'ordre de 8 MeV ; la dimension caractéristique du noyau se situe autour de r = 1 fm (1 fm = 10^-15 m) tandis que la masse d'un nucléon vaut 1.6 × 10^-27 Kg.

Exercice 5 : Diffraction sur un Cristal

La diffraction est un phénomène clé pour sonder la structure des matériaux à l'échelle atomique, et elle dépend de la longueur d'onde des particules ou des ondes utilisées.

On a réalisé des expériences de diffraction sur un cristal en utilisant divers types de particules :

Sachant que la distance inter-atomique d du cristal est de l'ordre de l'angström (Å), quelle doit être la longueur d'onde des rayons X à utiliser ? Quelle est l'énergie des photons correspondants ?
On remplace le faisceau de rayons X par des neutrons. À la température T, leur énergie est donnée par E = (3/2)k_BT. Calculer la longueur d'onde λ de l'onde de matière associée aux neutrons (T = 300K). Pourrait-on observer une figure de diffraction ?
On utilise à présent des électrons accélérés sous une tension U. Quel doit être l'ordre de grandeur de U pour réaliser l'expérience ?

Exercice 6 : Atome d'Hydrogène

Cet exercice explore les propriétés fondamentales de l'électron dans l'atome d'hydrogène, le système le plus simple pour étudier les principes de la mécanique quantique.

La fonction d'onde décrivant l'état fondamental de l'électron de l'atome d'hydrogène s'écrit, en coordonnées sphériques : ψ(r) = C e^-r/a, où C est une constante réelle et positive et a est le rayon de l'orbite de Bohr : a = 0.53 × 10^-10 m.

Calculer la constante C (condition de normalisation).
Calculer la densité de probabilité de présence de l'électron et tracer son allure.
Calculer la probabilité de trouver l'électron entre les deux sphères de rayons r et r + dr. Pour quelle valeur de r, cette probabilité est-elle maximale ?

Exercice 7 : Paquet d'Ondes Gaussien (Facultatif)

L'étude des paquets d'ondes gaussiens est essentielle pour comprendre la dynamique des particules quantiques et le principe d'incertitude de Heisenberg.

Une particule libre de masse m, d'impulsion p = ħk et d'énergie E est décrite par le paquet d'ondes ψ(x, t) à une dimension :

ψ(x, t) = (1 / √(2π)) ∫_-∞^+∞ g(k)e^i(kx−ωt)dk

Trouver la relation entre E et k. En déduire la relation de dispersion ω(k).
On considère le paquet d'ondes à l'instant initial : ψ(x, t = 0) = ψ(x).

Montrer que g(k) n'est autre que la transformée de Fourier de ψ(x).
Établir l'égalité de Parseval-Plancherel : ∫_-∞^+∞ |ψ(x)|²dx = ∫_-∞^+∞ |g(k)|²dk.

On suppose par la suite que la fonction g(k) est une gaussienne centrée en k₀ :

g(k) = (a² / (2π))^1/4 exp(-a²(k − k₀)² / 4), où a est une constante ayant la dimension d'une longueur.

Paquet d'ondes à l'instant t = 0 :

Montrer que ψ(x, 0) est donnée par : ψ(x, 0) = (2 / (πa²))^1/4 e^ik₀x e^-x²/a².
On définit le centre du paquet d'ondes par le point x_M où |ψ(x, 0)|² est maximale ; donner la position du centre du paquet d'ondes.
Montrer que la probabilité de trouver la particule dans tout l'espace est égale à 1.
On définit la largeur Δy d'une gaussienne f(y) = exp(-y²/b²) par Δy = b/√2. Déterminer les largeurs Δx(0) de |ψ(x, 0)|² et Δk(0) de |g(k)|². En déduire que le paquet d'ondes ψ(x, 0) obéit à la relation d'incertitude d'Heisenberg.

Évolution du paquet d'ondes ψ(x, t) dans le temps :

À l'instant t > 0, l'expression du paquet d'ondes ψ(x, t) est de la forme (à ne pas démontrer) :

ψ(x, t) = (2a² / (π(a⁴ + 4ħ²t²/m²)))^1/4 e^iφ e^ik₀x exp(-(x - ħk₀t/m)² / (a² + 2iħt/m))

Calculer la densité de probabilité |ψ(x, t)|² associée à la particule à l'instant t.
Déterminer la position x_M(t) du centre du paquet d'ondes à l'instant t. Quelle est sa vitesse de déplacement ? La comparer à la vitesse de groupe associée au paquet.
Déterminer la largeur Δx(t) et l'amplitude A(t) de |ψ(x, t)|². Décrire qualitativement la variation de ces deux grandeurs en fonction du temps. Conclure quant à l'évolution de la forme de la densité de probabilité au cours du temps.

Données

∫_-∞^+∞ exp(-α²y² + βy)dy = √(π/α²) exp(β² / (4α²))
∫₀^+∞ x³ / (e^x - 1)dx = π⁴ / 15
Solution de l'équation : 5 - x = 5e^-x est x ≈ 4.965
m_e = 9.109 × 10^-31 Kg
h = 6.626 × 10^-34 J.s
c = 3 × 10⁸ m/s
k_B = 1.38 × 10^-23 SI

Foire Aux Questions (FAQ) sur la Mécanique Quantique

Qu'est-ce que l'effet photoélectrique et pourquoi est-il important ?

L'effet photoélectrique est l'émission d'électrons par un matériau (généralement un métal) lorsqu'il est exposé à un rayonnement électromagnétique (lumière). Il est crucial car il a démontré la nature quantifiée de la lumière (les photons) et a contribué à l'émergence de la théorie quantique, en montrant que l'énergie des électrons émis dépend de la fréquence de la lumière et non de son intensité.

Comment le critère de Planck aide-t-il à distinguer la physique classique de la physique quantique ?

Le critère de Planck stipule qu'un système doit être décrit par la théorie quantique si l'action associée à ce système est proche de la constante de Planck (h). Si l'action est très grande par rapport à h, alors une description classique est suffisante. Ce critère permet de déterminer quand les effets quantiques deviennent significatifs et ne peuvent plus être ignorés par la physique classique.

Qu'est-ce qu'un paquet d'ondes et quel est son lien avec le principe d'incertitude de Heisenberg ?

Un paquet d'ondes est une superposition d'ondes de différentes longueurs d'onde (ou impulsions) qui, collectivement, forme une onde localisée dans l'espace. En mécanique quantique, il représente une particule. Le principe d'incertitude de Heisenberg énonce qu'il est impossible de connaître avec une précision arbitraire simultanément la position et l'impulsion d'une particule. La largeur d'un paquet d'ondes en position (Δx) et en impulsion (Δp) est intrinsèquement liée par cette relation, ΔxΔp ≥ ħ/2, illustrant qu'une bonne localisation spatiale implique une grande incertitude sur l'impulsion, et vice-versa.