Td mécanique quantique smp4 série 3 exercices 2019 2020 méca
Télécharger PDFLa Démonstration par Récurrence
La démonstration par récurrence est une méthode mathématique fondamentale utilisée pour prouver qu'une propriété P(n) est vraie pour tous les nombres entiers naturels n à partir d'un certain rang (souvent n=0 ou n=1).
Les étapes clés d'une preuve par récurrence :
1. Initialisation
On vérifie que la propriété P(n) est vraie pour le premier terme ou le rang initial (par exemple, pour n=0 ou n=1). Le texte suggère que la propriété est vérifiée pour n=0, n=1 et n=2.
2. Hypothèse de récurrence
On suppose que la propriété P(k) est vraie pour un entier k ≥ n₀ (où n₀ est le rang initial). C'est l'étape où l'on "suppose" que la propriété est tenue pour un certain k.
3. Hérédité
On démontre que si P(k) est vraie (l'hypothèse de récurrence), alors P(k+1) est également vraie. Cette étape établit le lien entre un terme et le suivant.
4. Conclusion
Si l'initialisation et l'hérédité sont prouvées, alors, par le principe de récurrence, la propriété P(n) est vraie pour tout n supérieur ou égal au rang initial n₀.
Ainsi, la propriété est bien vérifiée pour tout entier naturel n.
Fonctions d'Opérateurs et Commutateurs
En physique et en mathématiques, particulièrement en algèbre linéaire et en mécanique quantique, les opérateurs sont des transformations qui agissent sur des états ou des fonctions. Il est courant de définir des fonctions de ces opérateurs.
Si F et G sont deux fonctions des opérateurs A et B, des relations spécifiques peuvent exister entre elles, notamment en ce qui concerne leur commutation ou anti-commutation.
La Commutation d'Opérateurs
Deux opérateurs A et B sont dits "commuter" si leur produit ne dépend pas de l'ordre d'application, c'est-à-dire si AB = BA. Cette relation est souvent exprimée par le commutateur [A, B] = AB - BA. Si [A, B] = 0, alors A et B commutent.
Un principe important est que si un opérateur A commute avec un opérateur B, alors il commute également avec toute fonction de cet opérateur B, telle que f(B).
Cela signifie que si [A, B] = 0, alors [A, f(B)] = 0 pour de nombreuses fonctions f. Cette propriété est fondamentale pour simplifier des calculs ou déterminer les observables qui peuvent être mesurées simultanément en mécanique quantique.
Certaines expressions peuvent également faire référence à des conditions de nullité pour certains opérateurs ou à des identités fondamentales, comme A - A = 0, qui est toujours vraie.
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'une démonstration par récurrence ?
C'est une méthode de preuve mathématique utilisée pour établir qu'une propriété est vraie pour tous les nombres entiers naturels à partir d'un certain rang. Elle se déroule en trois étapes principales : l'initialisation, l'hypothèse de récurrence et l'hérédité, suivies d'une conclusion.
Que sont les opérateurs en physique ou mathématiques ?
En mathématiques (notamment en algèbre linéaire) et en physique (notamment en mécanique quantique), un opérateur est une transformation qui agit sur des fonctions, des vecteurs ou des états. Ils sont fondamentaux pour décrire les observables physiques et les transformations entre états.
Quand dit-on que deux opérateurs commutent ?
Deux opérateurs, A et B, commutent si leur ordre d'application n'affecte pas le résultat, c'est-à-dire si AB = BA. Cela est équivalent à dire que leur commutateur [A, B] = AB - BA est égal à zéro.