Td correction de mécanique quantique smp4 série 3 mécanique

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T.D. de Mécanique Quantique - SMP4 Correction Série N°3

Solution 1 : Opérateur, commutateur et adjoint

1) Propriétés des commutateurs

Soient A, B et C des opérateurs linéaires.

a) Linéarité du commutateur

Montrons que [A, B + C] = [A, B] + [A, C].

Pour ce faire, on écrit :

[A, B + C] = A(B + C) − (B + C)A

= AB + AC − BA − CA

= (AB − BA) + (AC − CA)

D'où : [A, B + C] = [A, B] + [A, C].

Explication : Le commutateur est un outil fondamental en mécanique quantique pour exprimer la non-commutativité des opérateurs. Il est linéaire par rapport à l'addition.

Généralisation : L'identité se généralise pour des sommes d'opérateurs :

[∑_i A_i, ∑_k B_k] = ∑_i,k [A_i, B_k]

b) Règle de Leibniz pour le commutateur

Montrons que [A, BC] = [A, B]C + B[A, C].

On développe le second membre de l'égalité :

[A, B]C + B[A, C] = (AB − BA)C + B(AC − CA)

= ABC − BAC + BAC − BCA

= ABC − BCA

= A(BC) − (BC)A

D'où : [A, B]C + B[A, C] = [A, BC].

Explication : Cette identité est l'équivalent de la règle du produit (ou de Leibniz) pour la dérivation, mais appliquée aux commutateurs. Elle est très utile pour manipuler les expressions impliquant des produits d'opérateurs.

c) Déduction pour [A, Bⁿ]

Déduction : [A, Bⁿ] = ∑_i=0ⁿ⁻¹ Bⁱ[A, B]Bⁿ⁻ⁱ⁻¹.

Cette relation peut être prouvée par récurrence. En fait, on a :

[A, BC] = [A, B]C + B[A, C].

Si B = C, alors :

[A, B²] = [A, B]B + B[A, B]

Qui peut être écrit comme : B⁰[A, B]B¹ + B¹[A, B]B⁰.

Le développement est donc vérifié pour n=1 (trivialement, [A, B] = B⁰[A,B]B⁰) et n=2.

Supposons qu'il le soit pour n−1 (n ≥ 2) :

[A, Bⁿ⁻¹] = ∑_i=0ⁿ⁻² Bⁱ[A, B]Bⁿ⁻ⁱ⁻².

On a :

[A, Bⁿ] = [A, BBⁿ⁻¹]

= [A, B]Bⁿ⁻¹ + B[A, Bⁿ⁻¹]

= [A, B]Bⁿ⁻¹ + B(∑_i=0ⁿ⁻² Bⁱ[A, B]Bⁿ⁻ⁱ⁻²)

= [A, B]Bⁿ⁻¹ + ∑_i=0ⁿ⁻² Bⁱ⁺¹[A, B]Bⁿ⁻ⁱ⁻²

En posant j = i + 1 dans la somme (donc i = j−1), la somme devient de j=1 à n−1 :

= [A, B]Bⁿ⁻¹ + ∑_j=1ⁿ⁻¹ B^j[A, B]B^n−j−1

Le premier terme [A, B]Bⁿ⁻¹ correspond à j=0 dans la somme si l'on le réécrit comme B⁰[A,B]Bⁿ⁻¹.

D'où : [A, Bⁿ] = ∑_j=0ⁿ⁻¹ B^j[A, B]B^n−j−1.

d) Identité de Jacobi

Montrons que [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0.

On écrit les termes de l'identité :

[A, [B, C]] = A(BC − CB) − (BC − CB)A = ABC − ACB − BCA + CBA

[B, [C, A]] = B(CA − AC) − (CA − AC)B = BCA − BAC − CAB + ACB

[C, [A, B]] = C(AB − BA) − (AB − BA)C = CAB − CBA − ABC + BAC

En sommant ces trois expressions, tous les termes s'annulent :

ABC − ACB − BCA + CBA

+ BCA − BAC − CAB + ACB

+ CAB − CBA − ABC + BAC = 0

C'est l'identité de Jacobi.

Explication : L'identité de Jacobi est une propriété fondamentale des commutateurs, similaire à une règle d'associativité pour les opérateurs, mais dans le contexte de leur non-commutativité.

2) Hermiticité des opérateurs

Considérons un opérateur A qui n'est pas hermitique (c'est-à-dire A ≠ A†).

Un opérateur B est hermitique si B = B† (où B† est l'adjoint hermitique de B). Les opérateurs hermitiques représentent les observables en mécanique quantique, et leurs valeurs propres sont réelles.

Un opérateur B est anti-hermitique si B = -B†.

• Pour B = A + A†

On a :

B† = (A + A†)† = A† + (A†)† = A† + A = B

Donc B est hermitique.

• Pour C = iA + A†

On a :

C† = (iA + A†)† = i*A† + (A†)† = -iA† + A

Pour un opérateur A général, C† n'est pas égal à C, ni à -C. Donc C n'est ni hermitique, ni anti-hermitique.

• Pour D = iA − A†

On a :

D† = (iA − A†)† = i*A† − (A†)† = -iA† − A

Pour un opérateur A général, D† n'est pas égal à D, ni à -D. Donc D n'est ni hermitique, ni anti-hermitique.

3) Décomposition d'un opérateur en opérateurs hermitiques

Montrons que tout opérateur linéaire F peut s'écrire sous la forme : F = A + iB, où A et B sont deux opérateurs hermitiques.

On considère un opérateur linéaire F agissant sur un espace vectoriel complexe V. La décomposition de F s'écrit :

F = ½(F + F†) + ½(F − F†)

En posant :

A = ½(F + F†)

B = ½i(F − F†)

On a bien F = A + iB.

Vérifions que A et B sont hermitiques :

A† = (½(F + F†))† = ½(F† + (F†)†) = ½(F† + F) = A. Donc A est hermitique.

B† = (½i(F − F†))† = (½i)* (F − F†)† = -½i (F† − (F†)†) = -½i (F† − F) = -½i (-(F − F†)) = ½i (F − F†) = B. Donc B est hermitique.

4) Valeurs moyennes d'opérateurs

Soit A un opérateur linéaire.

• Si A est hermitique (A† = A)

La valeur moyenne d'un opérateur A dans un état ⟨ψ|ψ⟩ est ⟨ψ|A|ψ⟩.

Par définition, ⟨ψ|A†|ψ⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩* (où * désigne le conjugué complexe).

Si A est hermitique, A† = A, alors :

⟨ψ|A|ψ⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩*

Cela signifie que la valeur moyenne ⟨ψ|A|ψ⟩ est un nombre réel.

• Si A est anti-hermitique (A† = −A)

Comme précédemment :

⟨ψ|A†|ψ⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩*

Si A est anti-hermitique, A† = -A, alors :

⟨ψ|-A|ψ⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩*

-⟨ψ|A|ψ⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩*

Cela signifie que la valeur moyenne ⟨ψ|A|ψ⟩ est un nombre imaginaire pur.

Solution 2 : Représentation matricielle d'un opérateur - Ensemble Complet d'Observables qui Commutent (ECOC)

On considère un espace des états muni de la base orthonormée {⟨u₁| , ⟨u₂| , ⟨u₃|}. L'hamiltonien H et deux opérateurs A et B sont représentés dans cette base par :

Matrice de H (H_b) :

        ℏω × | 1 0 0 |
              | 0 1 0 |
              | 0 0 2 |

Opérateur A : A = a(i |u₁⟩⟨u₂| − i |u₂⟩⟨u₁|)

Opérateur B est défini par son action sur les vecteurs de base :

B |u₁⟩ = b |u₃⟩
B |u₂⟩ = b |u₂⟩
B |u₃⟩ = b |u₁⟩

où ω est la pulsation, alors que a et b sont deux nombres réels.

1) Nouvelle représentation de l'hamiltonien H

Comme la matrice H_b est diagonale dans la base {⟨u₁| , ⟨u₂| , ⟨u₃|}, l'hamiltonien H s'exprime d'une manière simple par :

H = ℏω(|u₁⟩⟨u₁| + |u₂⟩⟨u₂| + 2|u₃⟩⟨u₃|)

2) Représentations matricielles des opérateurs A et B

Dans la base {⟨u₁| , ⟨u₂| , ⟨u₃|}.

• Pour A

On calcule l'action de A sur chaque vecteur de base :

A|u₁⟩ = a(i |u₁⟩⟨u₂| − i |u₂⟩⟨u₁|) |u₁⟩ = a(i |u₁⟩⟨u₂|u₁⟩ − i |u₂⟩⟨u₁|u₁⟩) = a(i |u₁⟩ × 0 − i |u₂⟩ × 1) = −ia |u₂⟩

A|u₂⟩ = a(i |u₁⟩⟨u₂| − i |u₂⟩⟨u₁|) |u₂⟩ = a(i |u₁⟩⟨u₂|u₂⟩ − i |u₂⟩⟨u₁|u₂⟩) = a(i |u₁⟩ × 1 − i |u₂⟩ × 0) = ia |u₁⟩

A|u₃⟩ = a(i |u₁⟩⟨u₂| − i |u₂⟩⟨u₁|) |u₃⟩ = a(i |u₁⟩⟨u₂|u₃⟩ − i |u₂⟩⟨u₁|u₃⟩) = a(i |u₁⟩ × 0 − i |u₂⟩ × 0) = 0

Il s'ensuit alors que la représentation matricielle de A (notée A_b) est :

        A_b = a × | 0 +i 0 |
                  | -i  0 0 |
                  |  0  0 0 |

• De même pour B

En utilisant les définitions données :

B|u₁⟩ = b |u₃⟩
B|u₂⟩ = b |u₂⟩
B|u₃⟩ = b |u₁⟩

La représentation matricielle de B (notée B_b) est :

        B_b = b × | 0 0 1 |
                  | 0 1 0 |
                  | 1 0 0 |

3) Calcul des commutateurs [A, H], [B, H] et [A, B]

• Pour [A, H]

On a [A, H] = A_bH_b − H_bA_b :

        [A, H] = a ℏω × | 0 +i 0 | × | 1 0 0 | − a ℏω × | 1 0 0 | × | 0 +i 0 |
                      | -i  0 0 |   | 0 1 0 |             | 0 1 0 |   | -i  0 0 |
                      |  0  0 0 |   | 0 0 2 |             | 0 0 2 |   |  0  0 0 |

               = a ℏω × | 0 +i 0 | − a ℏω × | 0 +i 0 |
                      | -i  0 0 |             | -i  0 0 |
                      |  0  0 0 |             |  0  0 0 |
               = | 0 0 0 |
                 | 0 0 0 |
                 | 0 0 0 |

Donc [A, H] = 0. Les opérateurs A et H commutent.

• Pour [B, H]

On a [B, H] = B_bH_b − H_bB_b :

        [B, H] = b ℏω × | 0 0 1 | × | 1 0 0 | − b ℏω × | 1 0 0 | × | 0 0 1 |
                      | 0 1 0 |   | 0 1 0 |             | 0 1 0 |   | 0 1 0 |
                      | 1 0 0 |   | 0 0 2 |             | 0 0 2 |   | 1 0 0 |

               = b ℏω × | 0 0 2 | − b ℏω × | 0 0 1 |
                      | 0 1 0 |             | 0 1 0 |
                      | 1 0 0 |             | 2 0 0 |
               = b ℏω × |  0 0  1 |
                      |  0 0  0 |
                      | -1 0  0 |

Donc [B, H] ≠ 0. Les opérateurs B et H ne commutent pas.

• Pour [A, B]

On a [A, B] = A_bB_b − B_bA_b :

        [A, B] = a b × | 0 +i 0 | × | 0 0 1 | − a b × | 0 0 1 | × | 0 +i 0 |
                      | -i  0 0 |   | 0 1 0 |             | 0 1 0 |   | -i  0 0 |
                      |  0  0 0 |   | 1 0 0 |             | 1 0 0 |   |  0  0 0 |

               = a b × | 0  i 0 | − a b × | 0 0  0 |
                      | 0  0 -i |             | -i 0  0 |
                      | 0  0  0 |             |  0 i  0 |
               = a b × |  0  i  0 |
                      |  i  0 -i |
                      |  0 -i  0 |

Donc [A, B] ≠ 0. Les opérateurs A et B ne commutent pas.

Explication : Si deux opérateurs commutent ([X, Y] = 0), cela signifie que les observables qu'ils représentent peuvent être mesurées simultanément avec une précision arbitraire, et qu'ils partagent un ensemble commun de vecteurs propres. Si [X, Y] ≠ 0, les observables ne sont pas simultanément mesurables.

4) Hermiticité de A et B

Pour vérifier l'hermiticité d'une matrice, ses éléments diagonaux doivent être réels et ses éléments non-diagonaux doivent être conjugués symétriques (M_ij = M_ji*).

Pour A_b = a × | 0 +i 0 | :

              | -i  0 0 |
              |  0  0 0 |

Les éléments diagonaux (0, 0, 0) sont réels. Les éléments non-diagonaux sont : A₁₂ = ia et A₂₁ = -ia. On a A₁₂ = (A₂₁)* (ia = (-ia)* = ia). Les autres éléments sont nuls.

Donc A est hermitique.

Pour B_b = b × | 0 0 1 | :

              | 0 1 0 |
              | 1 0 0 |

Les éléments diagonaux (0, 1, 0) sont réels. Les éléments non-diagonaux sont : B₁₃ = b et B₃₁ = b. On a B₁₃ = (B₃₁)* (b = b* car b est réel). Les autres éléments sont nuls.

Donc B est hermitique.

Ces deux opérateurs sont donc des observables.

5) Les valeurs propres et les vecteurs propres de A

Valeurs propres de A

La matrice A_b est :

        a × | 0 +i 0 |
              | -i  0 0 |
              |  0  0 0 |

Il est clair que λ = 0 est une valeur propre de A_b associée au vecteur propre |u₃⟩ (car A|u₃⟩ = 0|u₃⟩).

Pour les deux autres valeurs propres, elles sont déterminées en calculant le déterminant de la restriction de A_b à la sous-matrice 2×2 dans la base {⟨u₁| , ⟨u₂|} :

        det(A_b^res − λI_2×2) = | 0 − λ   ia   | = 0
                                 |  −ia   0 − λ |

⇔ (−λ)(−λ) − (ia)(−ia) = 0

⇔ λ² − i²a² = 0

⇔ λ² + a² = 0 ⇔ λ² = −a² ⇔ λ = ±ia

Correction: L'original mentionnait `λ^2 - a^2 = 0`. La dérivation correcte donne `λ^2 + a^2 = 0`. Les valeurs propres sont donc λ = +ia et λ = -ia.

Les valeurs propres de A sont donc λ = 0 (valeur propre simple), λ = +ia (valeur propre simple) et λ = −ia (valeur propre simple).

Vecteurs propres de A

Soient :

|φ₁⟩ le vecteur propre associé à λ = +ia.
|φ₂⟩ le vecteur propre associé à λ = −ia.
|φ₃⟩ le vecteur propre associé à λ = 0. Il est |φ₃⟩ = |u₃⟩.

Pour λ = +ia : A_b^res |φ₁⟩ = +ia |φ₁⟩.

Soit |φ₁⟩ = x₁ |u₁⟩ + x₂ |u₂⟩. L'équation aux valeurs propres devient :

        |  0   ia | |x₁| = ia |x₁|
        | -ia  0  | |x₂|    |x₂|

D'où :

ia x₂ = ia x₁ ⇒ x₂ = x₁

Normalisation : ⟨φ₁|φ₁⟩ = |x₁|² + |x₂|² = 1. Avec x₂ = x₁, on a 2|x₁|² = 1. Donc x₁ = 1/√2 (en choisissant la phase θ = 0).

Il s'ensuit que : |φ₁⟩ = ½√2;(|u₁⟩ + |u₂⟩).

Pour λ = −ia : A_b^res |φ₂⟩ = −ia |φ₂⟩.

Soit |φ₂⟩ = y₁ |u₁⟩ + y₂ |u₂⟩. L'équation aux valeurs propres devient :

        |  0   ia | |y₁| = -ia |y₁|
        | -ia  0  | |y₂|     |y₂|

D'où :

ia y₂ = -ia y₁ ⇒ y₂ = -y₁

Normalisation : ⟨φ₂|φ₂⟩ = |y₁|² + |y₂|² = 1. Avec y₂ = -y₁, on a 2|y₁|² = 1. Donc y₁ = 1/√2 (en choisissant la phase θ = 0).

Il s'ensuit que : |φ₂⟩ = ½√2;(|u₁⟩ − |u₂⟩).

On vérifie bien que ⟨φ₁|φ₂⟩ = 0, ⟨φ₁|φ₃⟩ = 0 et ⟨φ₂|φ₃⟩ = 0, ce qui confirme l'orthogonalité des vecteurs propres d'un opérateur hermitique.

6) Les valeurs propres et les vecteurs propres de B

Valeurs propres de B

La matrice B_b est :

        b × | 0 0 1 |
              | 0 1 0 |
              | 1 0 0 |

Il est clair que λ = b est une valeur propre de B_b associée au vecteur propre |u₂⟩ (car B|u₂⟩ = b|u₂⟩).

Pour les deux autres valeurs propres, elles sont déterminées en calculant le déterminant de la restriction de B_b à la sous-matrice 2×2 dans la base {⟨u₁| , ⟨u₃|} :

        det(B_b^res − λI_2×2) = | 0 − λ  b   | = 0
                                 |  b   0 − λ |

⇔ (−λ)(−λ) − (b)(b) = 0

⇔ λ² − b² = 0

⇔ λ = ±b

Finalement, les valeurs propres de B sont donc λ = +b (dégénérescence g=2, ou valeur propre double) et λ = −b (valeur propre simple).

Vecteurs propres de B

Soient :

|χ₁⟩ le vecteur propre associé à λ = +b.
|χ₂⟩ = |u₂⟩ le vecteur propre associé à λ = +b (dégénéré).
|χ₃⟩ le vecteur propre associé à λ = −b.

Pour λ = +b : B_b^res |χ₁⟩ = +b |χ₁⟩.

Soit |χ₁⟩ = x₁ |u₁⟩ + x₃ |u₃⟩. L'équation aux valeurs propres devient :

        | 0 b | |x₁| = b |x₁|
        | b 0 | |x₃|   |x₃|

D'où :

b x₃ = b x₁ ⇒ x₃ = x₁

Normalisation : ⟨χ₁|χ₁⟩ = |x₁|² + |x₃|² = 1. Avec x₃ = x₁, on a 2|x₁|² = 1. Donc x₁ = 1/√2.

Il s'ensuit que : |χ₁⟩ = ½√2;(|u₁⟩ + |u₃⟩).

Pour λ = −b : B_b^res |χ₃⟩ = −b |χ₃⟩.

Soit |χ₃⟩ = y₁ |u₁⟩ + y₃ |u₃⟩. L'équation aux valeurs propres devient :

        | 0 b | |y₁| = -b |y₁|
        | b 0 | |y₃|    |y₃|

D'où :

b y₃ = -b y₁ ⇒ y₃ = -y₁

Normalisation : ⟨χ₃|χ₃⟩ = |y₁|² + |y₃|² = 1. Avec y₃ = -y₁, on a 2|y₁|² = 1. Donc y₁ = 1/√2.

Il s'ensuit que : |χ₃⟩ = ½√2;(|u₁⟩ − |u₃⟩).

On vérifie bien que ⟨χ₁|χ₂⟩ = 0, ⟨χ₁|χ₃⟩ = 0 et ⟨χ₂|χ₃⟩ = 0.

7) A et B sont-ils des observables ?

Oui, A et B sont des observables.

Comme démontré à la question 4), les opérateurs A et B sont hermitiques. En mécanique quantique, les observables physiques sont représentées par des opérateurs hermitiques. De plus, puisque l'espace des états est de dimension finie (ici 3 dimensions), leurs représentations matricielles (A_b et B_b) sont diagonalisables. Par conséquent, A et B sont bien des observables.

8) Ensembles formant un Ensemble Complet d'Observables qui Commutent (ECOC)

Un Ensemble Complet d'Observables qui Commutent (ECOC) est un ensemble d'opérateurs qui remplissent les conditions suivantes :

Tous les opérateurs de l'ensemble commutent deux à deux ([X, Y] = 0).
Ils admettent une base commune de vecteurs propres.
Les valeurs propres combinées de cet ensemble identifient de manière unique chaque vecteur propre de la base commune (pas de dégénérescence des valeurs propres combinées).

À la lumière de ces critères et des résultats des questions 3), 5) et 6) :

Pour {A} seul : Les valeurs propres de A sont λ = +ia, λ = −ia et λ = 0. Elles sont toutes simples (non dégénérées). Par conséquent, {A} forme à elle seule un ECOC.
Pour {B} seul : La valeur propre λ = +b est deux fois dégénérée (associée à |χ₁⟩ et |χ₂⟩). Donc {B} ne forme pas un ECOC seul.
Pour {H} seul : En regardant la représentation matricielle de H, la valeur propre μ = ℏω est deux fois dégénérée (associée à |u₁⟩ et |u₂⟩). Donc {H} ne forme pas un ECOC seul.
Pour {A, B} : Le commutateur [A, B] est non-nul. Donc {A, B} ne forme pas un ECOC.
Pour {B, H} : Le commutateur [B, H] est non-nul. Donc {B, H} ne forme pas un ECOC.

Pour {A, H} :

Nous avons déjà vérifié que [A, H] = 0. Les opérateurs commutent.
Vérifions si les vecteurs propres de A sont aussi vecteurs propres de H :
- H |φ₁⟩ = H ½√2;(|u₁⟩ + |u₂⟩) = ½√2;(H|u₁⟩ + H|u₂⟩) = ½√2;(ℏω|u₁⟩ + ℏω|u₂⟩) = ℏω |φ₁⟩
- H |φ₂⟩ = H ½√2;(|u₁⟩ − |u₂⟩) = ½√2;(H|u₁⟩ − H|u₂⟩) = ½√2;(ℏω|u₁⟩ − ℏω|u₂⟩) = ℏω |φ₂⟩
- H |φ₃⟩ = H |u₃⟩ = 2ℏω |u₃⟩ = 2ℏω |φ₃⟩
Les vecteurs |φ₁⟩, |φ₂⟩, |φ₃⟩ sont bien des vecteurs propres communs à A et H.

Le tableau suivant regroupe les différentes valeurs propres et vecteurs propres :

Vecteurs propres communs	Vp de A	Vp de H
\|φ₁⟩	+ia	ℏω
\|φ₂⟩	-ia	ℏω
\|φ₃⟩	0	2ℏω

À chaque couple de valeurs propres de A et H correspond un seul vecteur propre commun : {+ia, ℏω} ⇔ |φ₁⟩, {−ia, ℏω} ⇔ |φ₂⟩ et {0, 2ℏω} ⇔ |φ₃⟩.

On vérifie que l'ensemble { |φ₁⟩, |φ₂⟩, |φ₃⟩ } vérifie les deux relations fondamentales d'orthonormalisation et de fermeture :

Orthogonalité et normalisation : ⟨φ_i|φ_j⟩ = δ_ij
Relation de fermeture : ∑_i=1³ |φ_i⟩⟨φ_i| = I (opérateur identité)

Par conséquent, l'ensemble { |φ₁⟩, |φ₂⟩, |φ₃⟩ } forme une base de l'espace des états. Et les deux observables A et H commutent et admettent une base de vecteurs propres communs, par conséquent ils forment un E.C.O.C.

Solution 3 : Équation aux valeurs propres (facultatif)

Soit {⟨u₁| , ⟨u₂|} une base orthonormée de l'espace des états à deux dimensions, et soit le ket |Ψ⟩ défini par : |Ψ⟩ = |u₁⟩ + i|u₂⟩.

1) Normalisation du ket |Ψ⟩

a) Montrons que |Ψ⟩ n'est pas normé à l'unité

On a :

⟨Ψ|Ψ⟩ = (⟨u₁| − i⟨u₂|) (|u₁⟩ + i|u₂⟩)

= ⟨u₁|u₁⟩ + i⟨u₁|u₂⟩ − i⟨u₂|u₁⟩ − i²⟨u₂|u₂⟩

= 1 + i × 0 − i × 0 − (−1) × 1

= 1 + 1 = 2 ≠ 1

Donc |Ψ⟩ n'est pas normé à l'unité.

b) Définition d'un ket normé à l'unité (|Φ⟩) à partir de |Ψ⟩

Un ket normé à l'unité |Φ⟩ est obtenu en divisant |Ψ⟩ par sa norme :

|Φ⟩ = |Ψ⟩ / √⟨Ψ|Ψ⟩ = ½√2;(|u₁⟩ + i|u₂⟩).

2) Matrice représentant l'opérateur projecteur K

Soit K = P_Φ = |Φ⟩⟨Φ| l'opérateur projecteur sur le ket |Φ⟩. Calculons les entrées de la matrice qui représente K dans la base {⟨u₁| , ⟨u₂|}.

⟨Φ|u₁⟩ = ½√2;(⟨u₁| − i⟨u₂|)|u₁⟩ = ½√2;⟨u₁|u₁⟩ = ½√2;.

⟨Φ|u₂⟩ = ½√2;(⟨u₁| − i⟨u₂|)|u₂⟩ = −i½√2;⟨u₂|u₂⟩ = −i½√2;.

K |u₁⟩ = |Φ⟩⟨Φ|u₁⟩ = ½√2; |Φ⟩ = ½√2; × ½√2;(|u₁⟩ + i|u₂⟩) = ½(|u₁⟩ + i|u₂⟩) = ½|u₁⟩ + ½i|u₂⟩
K |u₂⟩ = |Φ⟩⟨Φ|u₂⟩ = −i½√2; |Φ⟩ = −i½√2; × ½√2;(|u₁⟩ + i|u₂⟩) = −½i(|u₁⟩ + i|u₂⟩) = −½i|u₁⟩ + ½|u₂⟩

Finalement, la représentation matricielle de K (notée K_b) est :

        K_b = ½ × | 1  -i |
                  | i   1 |

Les éléments diagonaux de cette matrice (1/2, 1/2) sont réels, tandis que les éléments non-diagonaux (K₁₂ = -i/2, K₂₁ = i/2) sont symétriques conjugués ((-i/2)* = i/2). Donc K est hermitique.

3) Calcul des valeurs propres et vecteurs propres de K

Valeurs propres de K

On calcule le déterminant : det(K_b − λI_2×2) = 0

        | ½ − λ  −i/2 | = 0
        |  i/2   ½ − λ |

⇔ (½ − λ)² − (−i/2)(i/2) = 0

⇔ (½ − λ)² − (−i²/4) = 0

⇔ (½ − λ)² − (−(−1)/4) = 0

⇔ (½ − λ)² − ¼ = 0

⇔ ((½ − λ) − ½) ((½ − λ) + ½) = 0

⇔ (−λ)(1 − λ) = 0

Donc les valeurs propres sont λ = 0 (simple) et λ = 1 (simple).

Vecteurs propres de K

Soit, en général, |φ⟩ = α |u₁⟩ + β |u₂⟩ un vecteur propre de K associé à la valeur propre λ.

L'équation aux valeurs propres est K_b |φ⟩ = λ |φ⟩ :

        ½ × | 1  -i | |α| = λ |α|
              | i   1 | |β|   |β|

Ceci donne le système d'équations :

½(α − iβ) = λα

½(iα + β) = λβ

• Pour λ = 0 :

½(α − iβ) = 0 ⇒ α = iβ

Le vecteur propre est donc |φ₁⟩ = iβ |u₁⟩ + β |u₂⟩.

Normalisation : ⟨φ₁|φ₁⟩ = |iβ|² + |β|² = |β|² + |β|² = 2|β|² = 1 ⇒ β = 1/√2 (en choisissant la phase).

Finalement, on écrit : |φ₁⟩ = i½√2;|u₁⟩ + ½√2;|u₂⟩.

• Pour λ = 1 :

½(α − iβ) = α ⇒ α − iβ = 2α ⇒ α = −iβ ⇒ β = iα

Le vecteur propre est donc |φ₂⟩ = α |u₁⟩ + iα |u₂⟩.

Normalisation : ⟨φ₂|φ₂⟩ = |α|² + |iα|² = |α|² + |α|² = 2|α|² = 1 ⇒ α = 1/√2 (en choisissant la phase).

Finalement, on écrit : |φ₂⟩ = ½√2;|u₁⟩ + i½√2;|u₂⟩.

4) Relation d'orthonormalisation et de fermeture

Orthogonalité

Vérifions l'orthogonalité :

⟨φ₁|φ₂⟩ = (−i½√2;⟨u₁| + ½√2;⟨u₂|) (½√2;|u₁⟩ + i½√2;|u₂⟩)

= (−i½√2;) (½√2;) ⟨u₁|u₁⟩ + (−i½√2;) (i½√2;) ⟨u₁|u₂⟩ + (½√2;) (½√2;) ⟨u₂|u₁⟩ + (½√2;) (i½√2;) ⟨u₂|u₂⟩

= −i/2 × 1 + (−i²)/2 × 0 + 1/2 × 0 + i/2 × 1

= −i/2 + i/2 = 0

Donc les deux vecteurs propres |φ₁⟩ et |φ₂⟩ sont orthogonaux, comme attendu pour des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes d'un opérateur hermitique.

Relation de fermeture

On calcule la somme des projecteurs : |φ₁⟩⟨φ₁| + |φ₂⟩⟨φ₂|

|φ₁⟩⟨φ₁| = (i½√2;|u₁⟩ + ½√2;|u₂⟩) (−i½√2;⟨u₁| + ½√2;⟨u₂|)

= (i/2)|u₁⟩⟨u₁| + (i/2)|u₁⟩⟨u₂| − (i/2)|u₂⟩⟨u₁| + (1/2)|u₂⟩⟨u₂|

|φ₂⟩⟨φ₂| = (½√2;|u₁⟩ + i½√2;|u₂⟩) (½√2;⟨u₁| − i½√2;⟨u₂|)

= (1/2)|u₁⟩⟨u₁| − (i/2)|u₁⟩⟨u₂| + (i/2)|u₂⟩⟨u₁| + (1/2)|u₂⟩⟨u₂|

En sommant les deux :

|φ₁⟩⟨φ₁| + |φ₂⟩⟨φ₂| = |u₁⟩⟨u₁| + |u₂⟩⟨u₂| = I_2×2.

C'est la relation de fermeture.

5) Opérateur racine carrée et puissance d'un opérateur

L'opérateur A est représenté par la matrice dans la base {⟨u_i|} :

        A_b = | 2 1 |
              | 1 2 |

Comme vu précédemment pour le calcul des valeurs propres (Vp) et vecteurs propres (Vp), on trouve pour cette matrice :

λ₁ = 1 ⇒ |ψ₁⟩ = ½√2;[|u₁⟩ − |u₂⟩]
λ₂ = 3 ⇒ |ψ₂⟩ = ½√2;[|u₁⟩ + |u₂⟩]

À partir de ces vecteurs propres, on peut exprimer les vecteurs de base |u₁⟩ et |u₂⟩ en fonction de |ψ₁⟩ et |ψ₂⟩ :

|u₁⟩ = ½√2;[|ψ₁⟩ + |ψ₂⟩]

|u₂⟩ = ½√2;[|ψ₂⟩ − |ψ₁⟩]

a) La matrice représentant l'opérateur √A

Dans la base propre { |ψ₁⟩, |ψ₂⟩ }, l'opérateur A est diagonal, et l'opérateur √A est simplement obtenu en prenant la racine carrée de chaque valeur propre :

        A_ψ = | λ₁ 0 | = | 1 0 |
             | 0 λ₂ |   | 0 3 |

        (√A)_ψ = | √λ₁ 0 | = | 1    0   |
                 | 0 √λ₂ |   | 0 √3; |

Pour obtenir la représentation de √A dans la base {⟨u_i|}, nous utilisons la définition de l'opérateur en fonction de ses valeurs et vecteurs propres :

√A |u₁⟩ = ½((1+√3;)|u₁⟩ + (−1+√3;)|u₂⟩)

√A |u₂⟩ = ½((√3;−1)|u₁⟩ + (√3;+1)|u₂⟩)

La matrice de l'opérateur √A dans la base {⟨u_i|} est donc :

        (√A)_u = ½ × | √3;+1  √3;−1 |
                     | √3;−1  √3;+1 |

On procède de la même manière pour l'opérateur A^3/2 en utilisant les valeurs propres (λ₁)^3/2 = 1^3/2 = 1 et (λ₂)^3/2 = 3^3/2 = 3√3;.

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce qu'un opérateur hermitique en mécanique quantique et pourquoi est-il important ?

Un opérateur hermitique, ou auto-adjoint, est un opérateur qui est égal à son propre adjoint hermitique (A = A†). En mécanique quantique, les opérateurs hermitiques sont cruciaux car ils représentent les observables physiques, c'est-à-dire les grandeurs mesurables comme l'énergie, la quantité de mouvement ou la position. Leurs valeurs propres sont toujours réelles, ce qui correspond aux résultats possibles d'une mesure, et leurs vecteurs propres associés forment une base orthogonale de l'espace des états.

Quelle est la signification physique d'un commutateur d'opérateurs nul ?

Le commutateur de deux opérateurs A et B est défini comme [A, B] = AB - BA. Si le commutateur est nul ([A, B] = 0), cela signifie que les opérateurs A et B commutent. Physiquement, cela implique que les observables correspondantes peuvent être mesurées simultanément avec une précision arbitraire, sans que la mesure de l'une n'affecte la mesure de l'autre. De plus, les opérateurs qui commutent partagent un ensemble commun de vecteurs propres.

Qu'est-ce qu'un Ensemble Complet d'Observables qui Commutent (ECOC) ?

Un ECOC est un ensemble d'opérateurs hermitiques qui satisfont trois conditions principales :

Ils commutent tous deux à deux.
Ils admettent une base commune de vecteurs propres.
Les valeurs propres combinées de tous les opérateurs de l'ensemble identifient de manière unique chaque vecteur de cette base commune, ce qui signifie qu'il n'y a pas de dégénérescence pour les états propres de l'ECOC.

L'importance d'un ECOC réside dans le fait qu'il permet de caractériser un état quantique de manière unique par un ensemble de valeurs propres, c'est-à-dire que la mesure de toutes les observables d'un ECOC détermine complètement l'état du système.

Td correction de mécanique quantique smp4 série 3 mécanique

T.D. de Mécanique Quantique - SMP4 Correction Série N°3

Solution 1 : Opérateur, commutateur et adjoint

1) Propriétés des commutateurs

2) Hermiticité des opérateurs

3) Décomposition d'un opérateur en opérateurs hermitiques

4) Valeurs moyennes d'opérateurs

Solution 2 : Représentation matricielle d'un opérateur - Ensemble Complet d'Observables qui Commutent (ECOC)

1) Nouvelle représentation de l'hamiltonien H

2) Représentations matricielles des opérateurs A et B

3) Calcul des commutateurs [A, H], [B, H] et [A, B]

4) Hermiticité de A et B

5) Les valeurs propres et les vecteurs propres de A

6) Les valeurs propres et les vecteurs propres de B

7) A et B sont-ils des observables ?

8) Ensembles formant un Ensemble Complet d'Observables qui Commutent (ECOC)

Solution 3 : Équation aux valeurs propres (facultatif)

1) Normalisation du ket |Ψ⟩

2) Matrice représentant l'opérateur projecteur K

3) Calcul des valeurs propres et vecteurs propres de K

4) Relation d'orthonormalisation et de fermeture

5) Opérateur racine carrée et puissance d'un opérateur

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce qu'un opérateur hermitique en mécanique quantique et pourquoi est-il important ?

Quelle est la signification physique d'un commutateur d'opérateurs nul ?

Qu'est-ce qu'un Ensemble Complet d'Observables qui Commutent (ECOC) ?

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