Td mécanique quantique smp4 série 4 postulats de la mesure m

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Application des postulats de la mesure

Cet article explore un système physique S dans un espace d'états à trois dimensions, basé sur les kets orthonormés u1, u2 et u3. Nous examinons l'énergie totale et deux autres grandeurs physiques, A et B, associées au système, représentées par l'hamiltonien H et les observables A et B. Les constantes ω0, a et b sont des valeurs réelles positives.

À l'instant t = 0, le système est dans l'état initial : ψ(t = 0) = u1 + u2 + u3. L'expression normalisée de ce vecteur est : ψ(t = 0) = (1/√2) * (u1 + u2 + u3).

Mesure de l'énergie du système à t = 0

Lors de la mesure de l'énergie du système à t = 0 :

Valeurs possibles et probabilités : Les valeurs possibles correspondent aux valeurs propres de l'hamiltonien H, soit ħω0 et 2ħω0.
- La probabilité d'obtenir ħω0 est de 1/2.
- La probabilité d'obtenir 2ħω0 est de 1/2.
Valeur moyenne de l'énergie : La valeur moyenne de l'énergie H est 3ħω0/2.
Écart quadratique moyen ΔH : L'écart quadratique moyen ΔH est ħω0/2.

Mesure de la grandeur A à t = 0

Si, au lieu de l'énergie, on mesure la grandeur A à t = 0 :

Résultats possibles et probabilités : Les résultats possibles sont les valeurs propres de l'observable A, c'est-à-dire a et -a.
- La probabilité d'obtenir a est de 1.
- La probabilité d'obtenir -a est de 0.
Cela signifie que lorsqu'on mesure la grandeur A dans l'état initial ψ(0), on obtient certainement la valeur a. L'état ψ(0) est donc un état propre de l'observable A associé à la valeur propre a.
Vecteur d'état après la mesure : Immédiatement après la mesure, le système reste dans l'état ψ(0) puisque cet état est déjà un état propre de l'observable A pour la valeur mesurée.

Évolution temporelle et valeurs moyennes

Le vecteur d'état du système à l'instant t est donné par : ψ(t) = (1/√2) * (e^(-iħω0t/ħ)u1 + e^(-2iħω0t/ħ)u2 + e^(-2iħω0t/ħ)u3).

Concernant les valeurs moyennes des observables A et B à l'instant t :

Valeur moyenne de A : La valeur moyenne de A est constante dans le temps et égale à a. L'observable A est une constante du mouvement car elle commute avec l'hamiltonien et ne dépend pas explicitement du temps.
Valeur moyenne de B : La valeur moyenne de B est une fonction périodique du temps, donnée par B = b * (1/4 + (3/4)cos(ω0t)). Sa période est T = 2π/ω0. L'observable B n'est pas une constante du mouvement.

Mesure des observables A et B à l'instant t

À l'instant t, si l'on mesure l'observable A :

Les résultats possibles sont a et -a.
La probabilité de trouver a est de 1.
La probabilité de trouver -a est de 0.

Puisque l'observable A est une constante du mouvement, les probabilités de mesure se conservent dans le temps.

À l'instant t, si l'on mesure l'observable B :

Les résultats possibles sont b et -b.
La probabilité de trouver b est de (3/8) + (5/8)cos(ω0t).
La probabilité de trouver -b est de (5/8) - (5/8)cos(ω0t).

Les probabilités de mesure de l'observable B sont des fonctions périodiques du temps, car l'observable B n'est pas une constante du mouvement.

Mesures des observables de spin et leurs évolutions sous l’effet d’un champ magnétique statique

Ce problème étudie un système de spin à deux dimensions, dans la base orthonormée {+, -}. Nous considérons les observables de spin Sx, Sy et Sz.

Propriétés des observables de spin

Matrices représentatives : Les observables Sx, Sy et Sz sont représentées par des matrices dans la base {+, -}.
Commutateurs : Les commutateurs entre ces observables sont non nuls, par exemple, [Sx, Sy] = iħSz. Cela indique que ces observables ne peuvent pas être mesurées simultanément avec une précision arbitraire, conformément au principe d'incertitude.
Hermiticité : Les opérateurs Sx, Sy et Sz sont hermitiques. Cette propriété garantit que leurs valeurs propres sont réelles, ce qui est essentiel pour qu'elles représentent des grandeurs physiques mesurables.

Valeurs et vecteurs propres

Opérateur Sz : Les valeurs propres de Sz sont ħ/2 et -ħ/2, associées respectivement aux vecteurs propres + et -.
Opérateur Sy : Les valeurs propres de Sy sont également ħ/2 et -ħ/2. Les vecteurs propres associés, notés u et v, sont des combinaisons linéaires des vecteurs de base + et -.

Calculs pour l'état +

Si le système est dans l'état +, les valeurs moyennes sont :

La valeur moyenne de Sx est 0.
La valeur moyenne de (Sx)^2 est ħ^2/4.
L'écart quadratique moyen ΔSx est ħ/2.

Mesure de Sz et Sy pour un état général

Considérons le système dans l'état : ψ = cosθ + + sinθ -.

Mesure de Sz :
- Les résultats possibles sont ħ/2 et -ħ/2.
- Les probabilités sont P(ħ/2) = cos²θ et P(-ħ/2) = sin²θ.
- Immédiatement après la mesure, l'état du système se réduit à + ou - selon le résultat obtenu.
Mesure de Sy :
- Les résultats possibles sont ħ/2 et -ħ/2.
- Les probabilités sont P(ħ/2) = 1/2 et P(-ħ/2) = 1/2.

Évolution sous l'effet d'un champ magnétique statique

Lorsque le système est placé dans un champ magnétique constant parallèle à Oz, l'hamiltonien d'interaction est H = ωSz. À t = 0, le système est dans l'état ψ(0) = (1/√2) (+ + -)).

Valeurs moyennes à t = 0 : Les valeurs moyennes de Sx, Sy et Sz dans cet état sont : Sx = 0, Sy = -ħ/2, Sz = 0.
État à tout instant t > 0 : L'état du système à un instant t > 0 est ψ(t) = (1/√2) (e^(-iωt/2) + e^(iωt/2) -).
Valeurs moyennes à l'instant t : Les valeurs moyennes de Sx, Sy et Sz dans l'état ψ(t) sont : Sx = -(ħ/2)sin(ωt), Sy = -(ħ/2)cos(ωt), Sz = 0.
Théorème d'Ehrenfest : L'application de ce théorème permet de calculer les dérivées temporelles des valeurs moyennes de Sx, Sy et Sz. Les équations différentielles de second degré vérifiées par les valeurs moyennes de Sx et Sy décrivent une précession du vecteur de spin autour de l'axe Oz, similaire au comportement d'un moment magnétique classique dans un champ magnétique.

Électron d’une molécule triatomique linéaire

Nous étudions les états quantiques d'un électron dans une molécule triatomique linéaire (atomes A, B, C). La base {φA, φB, φC} représente les états où l'électron est localisé autour de chaque atome. L'hamiltonien de couplage H est donné par une matrice 3x3 dans cette base, avec a une constante réelle positive.

Énergies et vecteurs propres

Les énergies propres de H, classées par ordre croissant, sont E1, E2 et E3, avec leurs vecteurs propres associés ψ1, ψ2 et ψ3.

Localisation de l'électron à t = 0 et évolution

À l'instant t = 0, l'électron est localisé autour de l'atome A : ψ(t = 0) = φA. Cet état peut être exprimé comme une combinaison linéaire des états propres de H : ψ(t = 0) = C1(0)ψ1 + C2(0)ψ2 + C3(0)ψ3.

En utilisant l'opérateur d'évolution, l'état ψ(t) du système à un instant t > 0 peut être déterminé. On pose a/2 = ħω.

Probabilité de localisation autour de l'atome C

La probabilité P_C(t) que l'électron soit localisé autour de l'atome C (c'est-à-dire qu'il soit dans l'état φC) varie avec le temps, montrant un transfert de probabilité entre les atomes.

L'électron est certainement localisé autour de l'atome C à des instants t spécifiques, déterminés par la maximisation de cette probabilité.

Observable D

L'observable D est définie par D = -d φA φA + d φC φC, où d est une constante réelle positive.

Matrice de l'observable D : D peut être représentée par une matrice dans la base {φA, φB, φC}.
Résultats de mesure et probabilités : À l'instant t > 0, la mesure de la grandeur physique correspondant à l'observable D peut donner plusieurs résultats possibles, chacun avec une probabilité dépendante de l'état ψ(t).
Valeur moyenne de D : La valeur moyenne D de l'observable D à l'instant t > 0 peut être calculée à partir de l'état du système et des résultats de mesure possibles.

FAQ sur les Fondamentaux de la Mécanique Quantique

Qu'est-ce qu'une observable en mécanique quantique ?

Une observable est un opérateur mathématique associé à une grandeur physique mesurable (comme l'énergie, la position, le spin, etc.). Les résultats possibles d'une mesure sont les valeurs propres de cet opérateur, et l'état du système se projette sur l'état propre correspondant après la mesure.

Quel est le rôle de l'hamiltonien dans l'évolution d'un système quantique ?

L'hamiltonien (H) est l'opérateur d'énergie totale du système. Il gouverne l'évolution temporelle de l'état quantique d'un système via l'équation de Schrödinger. Si une observable commute avec l'hamiltonien et ne dépend pas explicitement du temps, sa valeur moyenne est conservée au cours du temps, elle est alors une "constante du mouvement".

Pourquoi la mesure d'une grandeur physique peut-elle altérer l'état d'un système quantique ?

Selon le postulat de la mesure en mécanique quantique, après la mesure d'une grandeur physique, le système se retrouve instantanément dans un état propre de l'observable correspondant à la valeur mesurée. Ce processus, appelé réduction du paquet d'ondes, signifie que l'état du système est généralement modifié par l'acte de mesure, à moins qu'il ne soit déjà dans un état propre de l'observable mesurée.