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Travaux Dirigés de Mécanique Quantique : Série N°4

Ce document explore des concepts fondamentaux en mécanique quantique à travers une série d'exercices détaillés. Il aborde les postulats de la mesure, l'évolution temporelle des systèmes quantiques, le calcul des valeurs moyennes et des incertitudes, ainsi que les applications à des systèmes spécifiques comme l'oscillateur harmonique et la molécule d'ammoniac.

Exercice 1 : Postulats de la mesure en mécanique quantique

Nous considérons un système physique S dont l'espace des états, à trois dimensions, est rapporté à la base orthonormée complète B = {|u1⟩, |u2⟩, |u3⟩}. L'énergie totale et deux autres grandeurs physiques A et B sont associées à ce système. Les observables quantiques correspondantes sont l'hamiltonien H, et les observables A et B.

Leurs actions sur les vecteurs de la base sont définies comme suit :

H |u1⟩ = ħω |u1⟩
H |u2⟩ = 2ħω |u2⟩
H |u3⟩ = ħω |u3⟩
A |u1⟩ = a |u1⟩
A |u2⟩ = a |u3⟩
A |u3⟩ = a |u2⟩
B |u1⟩ = b |u2⟩
B |u2⟩ = b |u1⟩
B |u3⟩ = b |u3⟩

où a, b et ω sont des constantes réelles positives. À l'instant t = 0, le système est dans l'état initial : |ψ(0)⟩ = |u1⟩ + (1/√2)|u2⟩ + (1/√2)|u3⟩.

1. Normalisation du vecteur d'état initial

L'une des premières étapes en mécanique quantique est de s'assurer que le vecteur d'état est normalisé, c'est-à-dire que la somme des probabilités de trouver le système dans n'importe quel état est égale à 1. L'expression normalisée du vecteur |ψ(0)⟩ est essentielle pour les calculs de probabilités ultérieurs.

2. Représentation matricielle des observables

Les observables H, A et B peuvent être représentées sous forme de matrices dans la base B. Cette représentation est cruciale pour effectuer des calculs algébriques et comprendre la structure des opérateurs.

3. Mesure de l'énergie à l'instant t = 0

Lorsqu'on mesure l'énergie du système à t = 0, plusieurs aspects sont à considérer :

Les valeurs possibles que l'on peut trouver correspondent aux valeurs propres de l'hamiltonien. Les probabilités associées à chaque valeur propre sont déterminées par les coefficients de l'état initial dans la base des états propres de l'énergie.
La valeur moyenne de l'énergie, notée ⟨H⟩0, représente l'espérance mathématique du résultat d'une mesure d'énergie sur un grand nombre de systèmes identiques préparés dans le même état |ψ(0)⟩. Attention, dans la formule originale, il y avait une erreur, il faut calculer ⟨ψ(0)|H|ψ(0)⟩ et non ⟨ψ(0)|A|ψ(0)⟩.
L'écart quadratique moyen ∆H mesure l'incertitude sur la mesure de l'énergie, reflétant la dispersion des résultats possibles autour de la valeur moyenne.

4. Mesure de la grandeur A à l'instant t = 0

Si la grandeur A est mesurée à t = 0 :

Les résultats possibles sont les valeurs propres de l'observable A, avec leurs probabilités respectives.
Le vecteur d'état immédiatement après la mesure est projeté sur l'état propre correspondant à la valeur propre mesurée, conformément au postulat de la réduction du paquet d'ondes.

5. Évolution temporelle du vecteur d'état

Le vecteur d'état |ψ(t)⟩ du système à un instant t peut être exprimé en utilisant l'opérateur d'évolution temporelle, qui dépend de l'hamiltonien H. Comprendre cette évolution est fondamental pour prédire le comportement du système au fil du temps.

6. Valeurs moyennes des observables A et B à l'instant t

Le calcul des valeurs moyennes ⟨A⟩t et ⟨B⟩t à l'instant t permet de suivre comment les propriétés du système évoluent. La comparaison de ces valeurs avec celles obtenues à t=0, ou la recherche de leur dépendance temporelle, peut révéler des informations importantes sur les commutations des observables avec l'hamiltonien.

7. Mesure des observables A et B à l'instant t

L'analyse des résultats d'une mesure de l'observable A, puis de l'observable B, à un instant t donné, permet d'interpréter la nature des observables et leur interaction avec le système en évolution. Des propriétés comme la conservation ou la non-conservation de ces grandeurs peuvent être déduites.

Exercice 2 : Éléments de matrice et Évolution de la Position et de l'Impulsion

Soit H l'opérateur hamiltonien d'un système physique. Nous désignons par |ϕn⟩ les vecteurs propres de H, de valeurs propres En, satisfaisant H |ϕn⟩ = En |ϕn⟩.

1. Propriété des commutateurs dans les états stationnaires

Pour un opérateur A quelconque, la relation ⟨ϕn| [A, H] |ϕn⟩ = 0 est un résultat fondamental. Elle indique que la valeur moyenne d'un commutateur [A, H] est nulle dans un état propre de l'hamiltonien. Cela a des implications directes pour les observables qui commutent ou ne commutent pas avec l'hamiltonien.

2. Application à un problème à une dimension

Considérons une particule de masse m dans un problème à une dimension, avec une énergie potentielle V(X). L'hamiltonien s'écrit : H = P_x^2 / (2m) + V(X), où P_x est l'opérateur impulsion et X est l'opérateur position.

Le calcul des commutateurs [H, Px], [H, X] et [H, X Px] est essentiel pour comprendre les relations entre ces grandeurs et leur dynamique. Ces commutateurs sont à la base du théorème d'Ehrenfest.
Il peut être démontré que l'élément de matrice ⟨ϕn| Px |ϕn⟩ = 0, ce qui signifie que la valeur moyenne de l'impulsion est nulle dans un état stationnaire.
Une relation peut être établie entre les éléments de matrice ⟨ϕn| P_x^2 / (2m) |ϕn⟩ (énergie cinétique moyenne) et ⟨ϕn| X (dV/dX) |ϕn⟩. Ce résultat est une forme du théorème du viriel en mécanique quantique.
Si l'énergie potentielle est de la forme V(X) = V0 X^k avec k = 2, 4, 6... et V0 > 0, une relation spécifique entre l'énergie cinétique moyenne ⟨T⟩ = ⟨ϕn| P_x^2 / (2m) |ϕn⟩ et l'énergie potentielle moyenne ⟨V⟩ = ⟨ϕn| V(X) |ϕn⟩ peut être déduite du théorème du viriel.

3. Cas particulier : oscillateur harmonique quantique

Dans le cas particulier où k = 2 (potentiel de l'oscillateur harmonique V(X) = V0 X^2), et si l'état de la particule est décrit par un ket |Ψ(t)⟩ quelconque à un instant t :

En utilisant le théorème d'Ehrenfest, on peut relier la dérivée temporelle de la valeur moyenne de la position, d⟨X⟩/dt, à la valeur moyenne de l'impulsion ⟨Px⟩t, et de même, d⟨Px⟩/dt à ⟨X⟩t. Une constante ω est définie par ω^2 = 2 V0/m, ayant les dimensions d'une pulsation.
À partir de ces relations, les dérivées secondes d^2⟨X⟩/dt^2 et d^2⟨Px⟩/dt^2 peuvent être déduites.
L'intégration de ces équations permet de trouver les lois de variation au cours du temps de ⟨X⟩t et ⟨Px⟩t, en considérant les conditions initiales ⟨X⟩t=0 = x0 et ⟨Px⟩t=0 = p0 pour l'état |Ψ(0)⟩. Ces lois décrivent le comportement oscillatoire attendu pour un oscillateur harmonique.
Si l'état initial est un état propre |Ψ(0)⟩ = |ϕn⟩, le comportement des valeurs moyennes est simplifié, révélant la nature stationnaire de ces états.

Exercice 3 : La Molécule d'Ammoniac

La molécule d'ammoniac NH3 est un exemple classique de système quantique présentant des phénomènes de superposition et d'effet tunnel. Dans ce modèle, les trois atomes d'hydrogène (H) forment la base triangulaire équilatérale, et l'atome d'azote (N) se déplace le long de l'axe perpendiculaire, sa coordonnée étant notée Z. L'hamiltonien H possède deux états propres normalisés |ϕ±⟩ d'énergies E± : H |ϕ±⟩ = E± |ϕ±⟩, avec E± = E0 ± ħω (où ω > 0). Dans ces états, l'atome d'azote est dans une superposition quantique, étant "des deux côtés à la fois".

1. Représentation matricielle de l'hamiltonien

La matrice H_b représentant H dans la base {|ϕ−⟩, |ϕ+⟩} est essentielle pour analyser les interactions et l'évolution du système.

2. Évolution temporelle de l'état

Si à t = 0, l'état de la molécule est |ψ(t = 0)⟩ = c− |ϕ−⟩ + c+ |ϕ+⟩ (où c± sont des coefficients complexes), l'expression de l'état |ψ(t)⟩ à un instant t est obtenue en appliquant l'opérateur d'évolution temporelle, montrant comment la superposition se maintient ou évolue.

3. Propriétés de l'opérateur de position Z

L'opérateur associé à la coordonnée Z de l'atome d'azote est représenté dans la base {|ϕ−⟩, |ϕ+⟩} par une matrice. En se basant sur la description physique, la matrice Zb peut être interprétée comme Zb = a * [[0, 1], [1, 0]], où a est une certaine longueur caractéristique.

La valeur moyenne et l'écart quadratique de Z dans l'état propre |ϕ+⟩ peuvent être calculés, révélant la position la plus probable de l'atome d'azote et son incertitude.
Les valeurs propres z1 et z2 de l'observable Z correspondent aux positions distinctes où l'atome d'azote pourrait être trouvé. Elles reflètent la nature symétrique du potentiel.
Les vecteurs propres normalisés |z1⟩ et |z2⟩ de Z peuvent être exprimés dans la base {|ϕ−⟩, |ϕ+⟩}. Ces vecteurs représentent les états où l'atome d'azote est localisé soit d'un côté, soit de l'autre de la base des hydrogènes.

4. Dynamique de la molécule après mesure

Supposons qu'à t = 0, la molécule est préparée dans l'état |z2⟩, et que |ψ(t)⟩ est l'état du système à l'instant t.

Les probabilités Pi de trouver les valeurs zi lors d'une mesure de Z effectuée à l'instant t montrent comment la localisation de l'atome d'azote oscille entre les deux positions au fil du temps, un phénomène caractéristique de l'effet tunnel.
La détermination des instants où l'on est sûr de trouver l'une de ces valeurs avec certitude révèle les périodes où la molécule est complètement localisée d'un côté ou de l'autre, à cause de l'interférence quantique entre les états d'énergie.

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce qu'un postulat de la mesure en mécanique quantique ?

Les postulats de la mesure décrivent comment les grandeurs physiques (observables) sont mesurées en mécanique quantique. Ils stipulent que les résultats possibles d'une mesure sont les valeurs propres de l'observable, que la probabilité d'obtenir une valeur propre est liée au carré de l'amplitude de probabilité de l'état du système dans l'état propre correspondant, et que le système est projeté dans l'état propre mesuré après la mesure.

Pourquoi les opérateurs d'impulsion et de position ne commutent-ils pas ?

Les opérateurs d'impulsion (P_x) et de position (X) ne commutent pas ([X, P_x] = iħ). Cette non-commutation est une caractéristique fondamentale de la mécanique quantique et est à la base du principe d'incertitude de Heisenberg, stipulant qu'il est impossible de connaître simultanément avec une précision arbitraire la position et l'impulsion d'une particule.

Qu'est-ce que l'effet tunnel quantique dans la molécule d'ammoniac ?

L'effet tunnel quantique dans la molécule d'ammoniac (NH3) est le phénomène où l'atome d'azote peut "traverser" la barrière de potentiel formée par le plan des atomes d'hydrogène pour se retrouver de l'autre côté, même s'il n'a pas classiquement assez d'énergie pour le faire. Cela se traduit par une oscillation de l'atome d'azote entre les deux configurations possibles, créant un moment dipolaire électrique oscillant.